1. Conjunto
Definición: Llamaremos conjunto a cualquier colección de objetos, los cuales
llamaremos elementos.
Llamaremos conjunto universal, el cual denotaremos porU, al conjunto que
contiene todos los elementos a considerar.
Existen dos formas de determinar un conjunto: por extensión y por
comprensión.
a. Por extensión: Cuando todos sus elementos son enumerados uno a uno.
Ejemplo: Los siguientes conjuntos están determinados por extensión.
A = {1,3,5,7}, B = {a,x,y,z,w}
b. Por comprensión: Cuando están dados como dominio de una función
proposicional, es decir, los elementos de un conjunto que cumplen una condición
dada.
Ejemplo: Los siguientes conjuntos están dados por comprensión.
A = {n Î N / 1£ n £ 5} (Todos los números naturales mayores o iguales a 1 y
menores o iguales a 5)
B = { x Î R / x divide a 18} (Los números reales divisores de 18)
C = {x Î R / | x | < 4 } ( Los números reales cuyos valores absolutos son
menores que 4)
Subconjuntos
Relación de Inclusión
Si A es el conjunto formado por todos los Barquisimetanos y B es el conjunto
formado por todos los Venezolanos entonces, tenemos que todo elemento de A es
también elemento de B. Este resultado lo expresamos diciendo que el conjunto A
está incluido o contenido en el conjunto B, o bien, que A es un subconjunto de B.
Esta nueva relación se simboliza por A Ì B.
Definición: Sean A y B conjuntos. Diremos que A es subconjunto de B lo cual
denotaremos por A Ì B, si todo elemento de A es también un elemento de B.
Simbólicamente lo expresaremos como:
A Ì B Û ( " x Î U) ( x Î A Þ x Î B )

2. Teorema: La relación de inclusión entre conjuntos es:
1. Reflexiva: A Ì A, para todo conjunto A.
2. Antisimétrica: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B.
3. Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C.
Demostración
Demostremos (1) La Reflexiva A Ì A, para todo conjunto A.
Puesto que, para cualquier x se cumple que x Î A Þ x Î A concluimos que A Ì A.
Demostremos (2) La Antisimétrica : A Ì B Ù B Ì A Þ A = B, la antisimetría de la
inclusión es parte del teorema anterior, por tanto, ya está demostrada.
La tercera Transitiva: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C se deja al lector.
Conjunto Potencia
Si A es un conjunto, se define el conjunto Potencia de A o conjunto partes de
A como Ã(A) = { X / X Ì A}, es decir, es el conjunto formado por todos los
subconjuntos de A.
Ejemplo: Si A = {x,y,z} entonces
Ã(A) = {{f }, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z}}
Características del Conjunto Potencia
- La principal característica de este conjunto es que es un conjunto de
conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.
- Dado un conjunto A podemos conocer el número de elementos de à (A), ya
que si A tiene n elementos, entonces Ã(A) tiene 2n elementos.
El siguiente teorema nos dice que el conjunto partes conserva la relación de
inclusión.
Teorema. A Ì B Û Ã(A) Ì Ã(B)

3. Igualdad de Conjuntos
Si dos conjuntos tienen los mismos elementos diremos que son iguales, por
ejemplo: A = {2,3,5,9,10} y B = {10,5,3,2,9} son iguales.
El siguiente teorema nos permite determinar cuando dos conjuntos son iguales.
Teorema: Sean A Y B dos conjuntos. Luego,
A=BÛAÌBÙBÌA
Union e Interseccion de Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos. Se define la unión de A y B como el conjunto:
A U B = { xÎ U / xÎ A Ú xÎ B}
Propiedades de la Unión de Conjuntos
Sean A y B dos conjuntos, luego se cumplen las siguientes propiedades:
i. A U A = A
ii. A U U = U
iii. A U f = A
iv. AUB = BUA
Sean A y B dos conjuntos. La intersección de A con B se define como el
conjunto:
A I B = { xÎ U / xÎ A Ù xÎ B}
Propiedades de la Intersección de Conjuntos
Sean A y B conjuntos, luego se cumple:
i. A I A = A , " A
ii. A I U = A , donde U es el conjunto universal
iii. A I f = f
iv. A I B = B I A

4. Diferencia y Complemento
Si A y B son conjuntos, entonces se define la diferencia entre A y B como el
siguiente conjunto:
A - B = { xÎ U / xÎ A Ù xÏ B}. Es decir, son todos los elementos que están en A
pero que no están en B
Propiedades de la Diferencia de Conjuntos
Sean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:
i. (AUB) - C = (A - C) U (B - C)
ii. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)
iii. (AD B) - C = (A - C) D (B - C)
iv. A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)
v. (B - C) I A = (B I A) - (C I A)
vi. Sea B un conjunto. Se define el Complemento de B como el conjunto.
vii. C(B) = {xÎ U/ xÏ B}. Es decir, el complemento de B son los elementos que le
faltan a B para llegar a ser igual a U.
viii. Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.
ix.
Teorema: (Leyes de De Morgan para conjuntos)
i. C(AUB) = C(A) I C(B)
ii. C(AIB) = C(A) U C(B)
Algebra de Conjuntos
Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional,
en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos
a continuación.
1. Leyes de Idempotencia
a. A U A = A I A = A
b. A
2. Leyes Asociativas
a. A U (BUC) = (AUB) U C
b. A I (BIC) = (AIB) I C
3. Leyes Conmutativas
a. A U B = B U A
b. A I B = B I A
4. Leyes Distributivas
a. A U (B I C) = (A U B) I (A U C) I (B U C) = (A I B) U (A I C)
b. A

5. 5. Leyes de Identidad
a. A U f = A I f = f
b. A
6. Leyes de Dominación
a. A U U = U U: conjunto universal
b. A I U = A
7. Leyes de Complementación
a. A U C(A) = U
b. A I C(A) = f f f) = U
c. C (C(A)) = A
d. C (U) =
e. C (
8. Leyes de De Morgan
a. C(A U B) = C(A) I C (B) I B) = C(A) U C (B)
b. C(A)
Producto Cartesiano
9. Sean A y B dos conjuntos. Se define el conjunto producto o producto
cartesiano de A y B como el conjunto Ax B = { (a,b) / aÎ B Ù bÎ B}
10. Ejemplo: Si A = {a,b} y B = {1,5,8}
11. entonces Ax B = {(a,1), (a,5), (a,8), (b,1), (b,5), (b,8)}
12. mientras que BxA = {(1,a), (1,b), (5,a), (5,b), (8,a),(8,b)}
Partición
13. Sea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que
{Ai}iÎ I es una partición de X, si y sólo si:
14. Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una
familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección
entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros
da X.
Cardinalidad
15. Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún
número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus
elementos. En caso contrario se dice que es infinito.
16. Ejemplo: El conjunto {a,b,c,d,e} es finito porque contiene 5 elementos, el
conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de
conjuntos infinitos.
17. Definición: Sea A un conjunto finito. Se dice que:
18. i. El cardinal de A es 0 si A =f.

6. 19. ii. El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n
elementos.