Apunte clases teoricas

1. TEORÍA DE CONJUNTOS
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA
ANALÍTICA
LICENCIATURA EN SISTEMAS
Lic. Silvina San Miguel

2. CONCEPTOS PRIMITIVOS
 Conjunto: agrupación de objetos llamados
elementos.
 Relación de pertenencia: Si A es un conjunto y x
es un elemento de A, la expresión simbólica x  A,
se lee “x pertenece a A” y significa que “x es un
elemento del conjunto A”

3. RELACIÓN DE INCLUSIÓN:
Sean A y B dos conjuntos, A está incluido en B, lo
que se denota A  B si, y sólo si, todo elemento de
A es elemento de B.
A  B  x: (x  A  x  B)

4. PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE
INCLUSIÓN
(a) A  A;  A (Propiedad reflexiva)
(b) A,B: si A  B  B  A  A=B
(Propiedad antisimétrica)
(c)  A, B, C: si A  B  B  C  A  C
(Propiedad transitiva)

5. AXIOMAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
 Axioma 1. (Axioma de Sustitución)
“Sea P(x) una proposición respecto a la variable x.
Si P(x) es verdadera y si u = x, entonces P(u) es
también verdadera”.
 Axioma 2. (Axioma de Extensión)
“Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si
tienen los mismos elementos”.
Simbólicamente: A = B  [ A  B  B  A ]

6. PROPIEDADES DE LA RELACIÓN DE
IGUALDAD
(a) A = A;  A (Propiedad reflexiva)
(b) A,B: si A = B  B = A
(Propiedad simétrica)
(c)  A, B, C: si A = B  B = C  A = C
(Propiedad transitiva)
Por cumplir estas tres propiedades se trata de
una relación de equivalencia

7. AXIOMAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
 Axioma 3. (Axioma de Especificación)
“Dado un conjunto U y una función proposicional
P(x) con x  U, existe un único subconjunto A de
U, cuyos elementos son todos los elementos x  U tales
que P(x) es verdadera”.
A = {x  U / P(x)}
 Conjunto vacío:  = {x / f(x)}
Ejemplo:  = {x  R / x ≠ x}
 Propiedades del conjunto vacío
único
es
)
:
)
:
)



c
A
A
b
a
a
a





8. AXIOMAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
 Axioma 4. (Axioma del conjunto potencia)
“Dado un conjunto E, existe un conjunto y
solamente uno cuyos elementos son todos los
subconjuntos de E”.
P (E) = {A / A  E}
 Observación:
a) Como para todo conjunto E,   E y E  E,
entonces
  P (E) y E  P (E)
b) Se demuestra que, si A es un conjunto que
tiene n elementos, entonces P (A) tiene 2n
elementos.

9. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Unión de Conjuntos
 Axioma 5 (Axioma de la unión de conjuntos)
“Dados dos conjuntos A y B, existe un conjunto U
tal que A  U y B  U”.
 Definición.- Sean A  U y B  U dos conjuntos,
la unión de A y B, denotada por , es el
conjunto formado por todos los elementos x  U
tales que x  A o x  B.
Simbólicamente
= {x  U / x  A v x  B}
Es decir
x  ( )  [x  A v x  B]
B
A
B
A
B
A

10. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Intersección de Conjuntos
 Definición.- Sean A  U y B  U dos conjuntos,
la intersección de A y B, denotada por
es el conjunto formado por todos los elementos x
de U, tales que x  A y x  B.
Simbólicamente:
Es decir
 
B
x
A
x
U
x
B
A 




 /
   
B
x
A
x
B
A
x 





B
A

11. OBSERVACIÓN
Si =  , se dirá que los conjuntos A y B
son disjuntos.
B
A

12. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Diferencia de Conjuntos
 Definición.- Dados los conjuntos A  U y B  U,
la diferencia de A y B, denotado por A -B, es el
conjunto formado por todos los elementos x de U
tales que x  A y x  B.
Simbólicamente: A - B = {xU / xA  xB}
Es decir,
x(A – B)  [ xA  xB ]

13. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Complemento de un Conjunto.
 Definición.- Sean A y B dos conjuntos tales que A 
B  U. Se llama complemento de A con respecto
al conjunto B, y se denota por CBA, a la diferencia
B -A.
Es decir, CBA = B -A.
 Observación: Si B = U, el complemento de A
respecto a U se denota simplemente por: ó CA.
En este caso se tiene por definición que: x pertenece
a si, y sólo si, x no es elemento de A.
En símbolos,
x   x  A
A
A
A

14. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Diferencia simétrica.
 Definición.- Sean A y B dos conjuntos tales que
A  U y B  U. Se llama diferencia simétrica
entre A y B, y se denota por , al conjunto
formado por todos los elementos x de U tales que
x  A y x  B o x  B y x  A.
Simbólicamente: .
B
A
   
 
A
x
B
x
B
x
A
x
U
x
B
A 








 /

15. PROPIEDADES DE LA UNIÓN
 Teorema 1
Dado los conjuntos A, B, C, D, y , en un
conjunto universal U, se cumplen las siguientes
propiedades:
a) A 
b) A  D B  D  D
c) A A = A (Idempotencia)
d) (A B) C = A (B C) (Asociativa)
e) A B = B A (Conmutativa)
f) A  = A (Elemento Neutro)
g) A  B  A B = B
h) A U = U
   
B
A
B
B
A 



  
 B
A

  

 




16. PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN
 Teorema 2
 Dado los conjuntos A, B, C y , en el conjunto
universal U, se cumplen las siguientes
propiedades:
a) (A B)  A  (A B )  B
b) A A = A (Idempotencia)
c) (A B) C = A (B C) (Asociativa)
d) A B = B A (Conmutativa)
e) A  B  A B = A
f) A  = 
g) A U = A
 

   
 




17. PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS
 Teorema 3
Dado los conjuntos A, B y C se cumplen las
siguientes propiedades distributivas:
a) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
b) A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

18. PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE
CONJUNTOS
 Teorema 4
Dado los conjuntos A, B, C, y , se cumplen las
siguientes propiedades:
a) A -  = A
b) A - A = 
c) A(B-C) = (AB) - (AC)
d) d) A - B = (AB) - B = A - (AB) = A  CB

19. PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO
 Teorema 5.
Dado los conjuntos , A U y B U, se cumplen
las siguientes propiedades:
a) C (CA) = A
b) A  B  CB  CA; CB  CA  AB
c) C (AB) = CA CB
d) C (AB) = CA CB
e) A CA = 
f) A CA = U
g) C = U y CU = .

20. RELACIONANDO EL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
CON EL ÁLGEBRA DE PROPOSICIONES.
Álgebra de Conjuntos Álgebra de proposiciones
Unión ( ) Disyunción (  )
Intersección ( ) Conjunción (  )
Complemento (`) Negación ( ~ )
Conjunto vacío ( ) Falso ( f )
Conjunto Universal ( U ) Verdadero ( v )
Diferencia simétrica (  ) Disyunción excluyente (  

21. ÁLGEBRA DE CONJUNTO: PROPIEDADES
Idempotencia
A A = A A  A = A
Conmutatividad
A  A A  A
Asociatividad
(A  B)  C = A  (B  C) (A  B)  C = A  (B  C)
Distributividad
A  (B  C) B)  (A  C) A  (B  C) B) (A  C)
Elemento Neutro
A   = A A  U = A
Elemento Absorbente
A  U = U A  = 
Absorción
A  (A  B) = A A  (A  B) = A
Involución
Leyes de De Morgan
A - (B  C) = (A - B) - C A - (B  C) = (A - B) - C
A
A 
__
__
_________
B
A
B
A 


__
__
_________
B
A
B
A 



22. PAR ORDENADO
 Es todo conjunto de dos elementos en el que se
distingue un primer elemento y un segundo
elemento.
(a, b) par ordenado de primera componente a y
segunda componente b

23. PRODUCTO CARTESIANO DE DOS
CONJUNTOS : A X B
 Es el conjunto que tiene por elementos todos los pares
ordenados cuya primera componente pertenece a A y
cuya segunda componente pertenece a B.
 Ejemplo 1: Sean
Hallar A x B
 Efectuar A x B, considerando cada uno de los
conjuntos anteriores en el universo de los reales.
 
 
B
y
A
x
y
x
B
A 



 /
,
 
 
1
1
/
2
1
/

-




-


x
N
x
B
x
Z
x
A

24. PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO
a)
b)
c) Si
d) Si
e)
f)
g)
A
B
B
A 




 


 A
A
   
D
B
C
A
D
C
B
A 






      D
C
B
A
C
A
D
B
C
A 








 
     
C
B
C
A
C
B
A 





     
C
B
C
A
C
B
A 





     
C
B
C
A
C
B
A 
-



-

25. RELACIÓN BINARIA
 Entre los elementos de los conjuntos A y B, es
todo subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplos:
 
 
xRy
B
A
y
x
R /
, 


 
 
 
 
 
2
3
2
1
/
,
/
,
/
,
x
y
B
A
y
x
R
y
x
B
A
y
x
R
y
x
B
A
y
x
R




















26. CONJUNTOS IMPORTANTES
 A es el conjunto de partida de la relación.
 B es el conjunto de llegada de la relación.
 Dominio de la relación: es el conjunto que
tiene por elementos las primeras componentes de
los pares ordenados de la relación.
 Imagen de la relación: es el conjunto que tiene
por elementos las segundas componentes de los
pares ordenados de la relación.

27. RELACIÓN DEFINIDA EN UN CONJUNTO
 Es toda relación definida a partir del producto
cartesiano A x A. El conjunto de partida es igual
al conjunto de llegada.
 Ejemplo:
 
 
1
2
/
,
1
3
1
/
-











-



x
y
A
A
y
x
R
x
x
R
x
A