Este documento presenta conceptos básicos sobre teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de subconjunto, igualdad de conjuntos, operaciones como unión e intersección, y propiedades de estas operaciones. También introduce la lógica proposicional y su relación con la teoría de conjuntos, definiendo proposiciones y los conectivos lógicos AND, OR y NOT.
(1) El documento introduce conceptos básicos de álgebra de conjuntos como la unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica de conjuntos. (2) Define propiedades como conmutatividad, asociatividad y distribución de estas operaciones. (3) Presenta teoremas como las leyes de De Morgan y caracterizaciones de la relación de contención en términos de operaciones.
1. Se define un conjunto como una colección de objetos bien definidos llamados elementos o miembros. Se introducen conceptos como subconjunto, conjunto universal, conjunto potencia y conjunto vacío.
2. Se describen operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento, diferencia y producto cartesiano.
3. Se establecen leyes de la teoría de conjuntos como asociatividad, conmutatividad, distribución, absorción e idempotencia.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjuntos, subconjuntos, uniones, intersecciones y operaciones complementarias. También presenta teoremas clave sobre propiedades de conjuntos y cómo representar conjuntos de validez de funciones proposicionales usando operaciones de conjuntos.
Este documento presenta nociones básicas de teoría de conjuntos. Define los conceptos primitivos de conjunto, elemento y pertenencia. Explica las formas de describir conjuntos por extensión o comprensión. Introduce la igualdad y subconjuntividad de conjuntos. Define conjuntos vacíos, unitarios y universales. Finalmente, describe operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento presenta información sobre los conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Define qué es un conjunto, sus elementos y modos de representación. Explica tipos de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y identidades importantes entre conjuntos. Por último, resume cómo se pueden representar conjuntos en un computador usando cadenas de bits.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo el concepto de conjunto, conjunto vacío, igualdad de conjuntos, subconjuntos, superconjuntos, cardinalidad, y operaciones entre conjuntos como unión e intersección. Explica estos conceptos a través de definiciones, ejemplos y diagramas de Venn.
1) El álgebra de Boole es una herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales. 2) Se presentan los postulados del álgebra de Boole, incluyendo la existencia de neutros, conmutatividad, asociatividad, distributividad y complementos. 3) Se dan tres ejemplos clásicos de álgebras de Boole: lógica proposicional, álgebra de conjuntos y álgebra de interruptores.
Este documento presenta información sobre los conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Define qué es un conjunto, sus elementos y modos de representación. Explica tipos de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y identidades importantes entre conjuntos. Por último, resume cómo se pueden representar conjuntos en un computador usando cadenas de bits.
(1) El documento introduce conceptos básicos de álgebra de conjuntos como la unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica de conjuntos. (2) Define propiedades como conmutatividad, asociatividad y distribución de estas operaciones. (3) Presenta teoremas como las leyes de De Morgan y caracterizaciones de la relación de contención en términos de operaciones.
1. Se define un conjunto como una colección de objetos bien definidos llamados elementos o miembros. Se introducen conceptos como subconjunto, conjunto universal, conjunto potencia y conjunto vacío.
2. Se describen operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, complemento, diferencia y producto cartesiano.
3. Se establecen leyes de la teoría de conjuntos como asociatividad, conmutatividad, distribución, absorción e idempotencia.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjuntos, subconjuntos, uniones, intersecciones y operaciones complementarias. También presenta teoremas clave sobre propiedades de conjuntos y cómo representar conjuntos de validez de funciones proposicionales usando operaciones de conjuntos.
Este documento presenta nociones básicas de teoría de conjuntos. Define los conceptos primitivos de conjunto, elemento y pertenencia. Explica las formas de describir conjuntos por extensión o comprensión. Introduce la igualdad y subconjuntividad de conjuntos. Define conjuntos vacíos, unitarios y universales. Finalmente, describe operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
Este documento presenta información sobre los conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Define qué es un conjunto, sus elementos y modos de representación. Explica tipos de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y identidades importantes entre conjuntos. Por último, resume cómo se pueden representar conjuntos en un computador usando cadenas de bits.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo el concepto de conjunto, conjunto vacío, igualdad de conjuntos, subconjuntos, superconjuntos, cardinalidad, y operaciones entre conjuntos como unión e intersección. Explica estos conceptos a través de definiciones, ejemplos y diagramas de Venn.
1) El álgebra de Boole es una herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales. 2) Se presentan los postulados del álgebra de Boole, incluyendo la existencia de neutros, conmutatividad, asociatividad, distributividad y complementos. 3) Se dan tres ejemplos clásicos de álgebras de Boole: lógica proposicional, álgebra de conjuntos y álgebra de interruptores.
Este documento presenta información sobre los conceptos básicos de conjuntos matemáticos. Define qué es un conjunto, sus elementos y modos de representación. Explica tipos de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y identidades importantes entre conjuntos. Por último, resume cómo se pueden representar conjuntos en un computador usando cadenas de bits.
1) El documento resume las clases impartidas por el profesor Cristóbal Bone Obando sobre lógica matemática a un grupo de estudiantes de la Universidad Técnica "Luis Vargas Torres".
2) Se definen conceptos como proposiciones, valores de verdad, tablas de verdad, y operadores lógicos como negación, conjunción, disyunción y condicional.
3) También se explican otros temas como lenguajes formales, cuantificadores, conjuntos y subconjuntos.
El documento presenta las definiciones básicas de conjuntos y las leyes que rigen las operaciones entre conjuntos, como unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica. Define cada operación y presenta las leyes de idempotencia, asociatividad, conmutatividad, distribución e identidad que gobiernan las relaciones entre conjuntos.
Este documento describe las álgebras de Boole. Define una álgebra como un conjunto con operaciones de suma y producto que cumplen ciertas propiedades. Un álgebra de Boole es un álgebra que además tiene un complementario para cada elemento. Se dan ejemplos como los subconjuntos de un conjunto, las proposiciones lógicas y los circuitos digitales. También se define el álgebra libre generada por un conjunto, los morfismos de álgebras y los ideales.
Este documento introduce las álgebras y σ-álgebras de conjuntos. Define álgebras de conjuntos como colecciones que cierran bajo unión e intersección complementaria, y σ-álgebras como álgebras que también cierran bajo uniones numerables. Demuestra que para cualquier colección de subconjuntos existe una mínima álgebra y σ-álgebra que la contiene. Finalmente, proporciona una bibliografía sobre el tema.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística. Define experimentos aleatorios y sucesos elementales. Explica que un espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales posibles de un experimento. También define operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia, y presenta propiedades como leyes de Morgan y propiedades de álgebra de Boole. Por último, introduce la idea intuitiva de probabilidad a través de frecuencias relativas obtenidas al repetir un experimento aleatorio varias veces.
Este documento contiene 15 ejercicios de geometría sobre conceptos como puntos, líneas, ángulos y figuras geométricas. Los ejercicios incluyen identificar elementos geométricos en figuras, calcular medidas de ángulos y segmentos, establecer relaciones entre ángulos y resolver ecuaciones para hallar valores desconocidos.
El documento explica los diagramas de Venn y las propiedades de la diferencia de conjuntos. Define la diferencia de conjuntos A - B como los elementos que pertenecen a A pero no a B. Presenta ejemplos para ilustrar las propiedades de la diferencia de conjuntos y resuelve un ejercicio con múltiples operaciones sobre conjuntos.
Este documento presenta las definiciones y leyes fundamentales del álgebra de conjuntos. Define operaciones como unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica. Luego enlista las principales leyes como las leyes de idempotencia, asociatividad, conmutatividad, distribución, identidad, complemento y De Morgan.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad. Define experimentos aleatorios, espacios muestrales y eventos. Explica las operaciones entre eventos como unión, intersección y complemento. Introduce las nociones de probabilidad condicional, variables aleatorias discretas y continuas, y desigualdad de Chebyshev.
Este documento introduce conceptos básicos de estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. Define qué es una ley de composición interna y propiedades como asociatividad, conmutatividad y elementos neutros e inversos. Explica que una estructura algebraica se define por los axiomas que rigen sus operaciones. Luego, define específicamente qué es un grupo como un conjunto con una operación interna asociativa que tiene un elemento neutro e inversos para cada elemento. Proporciona ejemplos de grupos como los enteros y reales positivos b
El documento presenta una introducción a diferentes sistemas de referencia, incluyendo sistemas unidimensionales, bidimensionales (coordenadas rectangulares y polares), tridimensionales y geográficos. También cubre funciones y gráficas, definiendo conceptos como funciones, funciones directamente proporcionales y sus representaciones gráficas.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones del tema 0 de Mecánica de Fluidos de la Universidad Técnica de Loja. Introduce conceptos básicos de álgebra y cálculo vectorial como suma, multiplicación por escalar, producto punto y cruz de vectores, y diferenciación e integración de funciones vectoriales.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra lineal relevantes para el análisis en Rn, incluyendo espacios vectoriales, bases, transformaciones lineales y producto de matrices. Explica que una transformación lineal de Rn en Rm equivale a una matriz de n x m y preserva combinaciones lineales. También define la base canónica en Rn y algunos ejemplos de transformaciones lineales como proyecciones y rotaciones.
El documento resume los principales temas relacionados con las funciones matemáticas, incluyendo su definición, dominio y codominio, notación, recorrido, funciones inyectivas, biyectivas y epiyectivas, inversa de una función, funciones reales como la constante, identidad, lineal, cuadrática, potencia, exponencial y logarítmica, y sus aplicaciones en áreas como economía, ingeniería, medicina y química.
Este documento contiene 10 ejercicios sobre estructuras algebraicas. Los ejercicios involucran analizar si ciertas operaciones definidas en diferentes conjuntos cumplen las propiedades para ser grupos, incluyendo la existencia de elemento neutro e inversos. También involucran determinar si las operaciones son conmutativas o no. Al final se incluyen las respuestas a los ejercicios.
Leyes de Conjuntos (Estructuras Discreta y Grafos) Mirmar Moreno
Este documento presenta las propiedades y operaciones básicas de conjuntos, incluyendo la unión, intersección, diferencia, complemento, asociatividad, conmutatividad, distributividad e idempotencia. También contiene ejemplos para ilustrar estas propiedades y operaciones.
El documento describe el producto cartesiano de dos conjuntos A y B. El producto cartesiano de A y B, denotado A x B, consiste en todos los pares ordenados (x, y) donde x pertenece a A y y pertenece a B. El número de elementos en A x B es igual al producto de los cardinales de A y B. El documento también explica las propiedades de las relaciones binarias y de orden.
El documento presenta la constante de Euler-Mascheroni (γ), una constante matemática definida como el límite de una suma parcial. Explica que Euler estableció su existencia y significado, mientras que Mascheroni introdujo su símbolo. A pesar de que Mascheroni calculó γ incorrectamente, lleva sus nombres unidos por un guión. El documento también señala que se desconoce si γ es racional o irracional, y que resolver este problema abriría la puerta a la fama pero sería extremadamente difícil.
Este documento describe los cálculos realizados por Aristarco de Samos en el siglo III a.C. para determinar los tamaños relativos de la Luna, el Sol y la Tierra, así como las distancias entre ellos. Aristarco observó los eclipses lunares y la velocidad angular de la Luna para calcular que el diámetro de la Tierra es tres veces mayor que el de la Luna. Más tarde, Hiparco refinó este cálculo y obtuvo una relación de 3.7 veces. Aristarco también midió el ángulo entre la Tierra, la Luna y
El teorema de Menelao establece que tres puntos X, Y y Z están alineados si y solo si el producto de las razones de los segmentos divididos es igual a -1. Este teorema proporciona un criterio de alineación y puede usarse para demostrar otras propiedades geométricas relacionadas con la alineación de puntos.
Este documento presenta 9 problemas de aplicación relacionados con el cálculo de límites de funciones. Cada problema describe una situación del mundo real modelizada mediante una función y formula preguntas sobre el comportamiento de dicha función cuando la variable independiente tiende a cierto valor límite.
Este documento presenta 100 ejercicios resueltos de estadística básica organizados en capítulos sobre estadística descriptiva, probabilidad, variables aleatorias y vectores aleatorios. El prólogo explica que los ejercicios han sido desarrollados y depurados a lo largo de años de impartir la asignatura de Estadística I en la Facultad de Economía y Empresa de la Universitat Autònoma de Barcelona. Los ejercicios están dirigidos a estudiantes de grados de economía y empresa y buscan aplicaciones est
1) El documento resume las clases impartidas por el profesor Cristóbal Bone Obando sobre lógica matemática a un grupo de estudiantes de la Universidad Técnica "Luis Vargas Torres".
2) Se definen conceptos como proposiciones, valores de verdad, tablas de verdad, y operadores lógicos como negación, conjunción, disyunción y condicional.
3) También se explican otros temas como lenguajes formales, cuantificadores, conjuntos y subconjuntos.
El documento presenta las definiciones básicas de conjuntos y las leyes que rigen las operaciones entre conjuntos, como unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica. Define cada operación y presenta las leyes de idempotencia, asociatividad, conmutatividad, distribución e identidad que gobiernan las relaciones entre conjuntos.
Este documento describe las álgebras de Boole. Define una álgebra como un conjunto con operaciones de suma y producto que cumplen ciertas propiedades. Un álgebra de Boole es un álgebra que además tiene un complementario para cada elemento. Se dan ejemplos como los subconjuntos de un conjunto, las proposiciones lógicas y los circuitos digitales. También se define el álgebra libre generada por un conjunto, los morfismos de álgebras y los ideales.
Este documento introduce las álgebras y σ-álgebras de conjuntos. Define álgebras de conjuntos como colecciones que cierran bajo unión e intersección complementaria, y σ-álgebras como álgebras que también cierran bajo uniones numerables. Demuestra que para cualquier colección de subconjuntos existe una mínima álgebra y σ-álgebra que la contiene. Finalmente, proporciona una bibliografía sobre el tema.
Este documento introduce conceptos básicos de probabilidad y estadística. Define experimentos aleatorios y sucesos elementales. Explica que un espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales posibles de un experimento. También define operaciones con sucesos como unión, intersección y diferencia, y presenta propiedades como leyes de Morgan y propiedades de álgebra de Boole. Por último, introduce la idea intuitiva de probabilidad a través de frecuencias relativas obtenidas al repetir un experimento aleatorio varias veces.
Este documento contiene 15 ejercicios de geometría sobre conceptos como puntos, líneas, ángulos y figuras geométricas. Los ejercicios incluyen identificar elementos geométricos en figuras, calcular medidas de ángulos y segmentos, establecer relaciones entre ángulos y resolver ecuaciones para hallar valores desconocidos.
El documento explica los diagramas de Venn y las propiedades de la diferencia de conjuntos. Define la diferencia de conjuntos A - B como los elementos que pertenecen a A pero no a B. Presenta ejemplos para ilustrar las propiedades de la diferencia de conjuntos y resuelve un ejercicio con múltiples operaciones sobre conjuntos.
Este documento presenta las definiciones y leyes fundamentales del álgebra de conjuntos. Define operaciones como unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica. Luego enlista las principales leyes como las leyes de idempotencia, asociatividad, conmutatividad, distribución, identidad, complemento y De Morgan.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad. Define experimentos aleatorios, espacios muestrales y eventos. Explica las operaciones entre eventos como unión, intersección y complemento. Introduce las nociones de probabilidad condicional, variables aleatorias discretas y continuas, y desigualdad de Chebyshev.
Este documento introduce conceptos básicos de estructuras algebraicas como grupos, anillos y cuerpos. Define qué es una ley de composición interna y propiedades como asociatividad, conmutatividad y elementos neutros e inversos. Explica que una estructura algebraica se define por los axiomas que rigen sus operaciones. Luego, define específicamente qué es un grupo como un conjunto con una operación interna asociativa que tiene un elemento neutro e inversos para cada elemento. Proporciona ejemplos de grupos como los enteros y reales positivos b
El documento presenta una introducción a diferentes sistemas de referencia, incluyendo sistemas unidimensionales, bidimensionales (coordenadas rectangulares y polares), tridimensionales y geográficos. También cubre funciones y gráficas, definiendo conceptos como funciones, funciones directamente proporcionales y sus representaciones gráficas.
Este documento presenta un resumen de 3 oraciones del tema 0 de Mecánica de Fluidos de la Universidad Técnica de Loja. Introduce conceptos básicos de álgebra y cálculo vectorial como suma, multiplicación por escalar, producto punto y cruz de vectores, y diferenciación e integración de funciones vectoriales.
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra lineal relevantes para el análisis en Rn, incluyendo espacios vectoriales, bases, transformaciones lineales y producto de matrices. Explica que una transformación lineal de Rn en Rm equivale a una matriz de n x m y preserva combinaciones lineales. También define la base canónica en Rn y algunos ejemplos de transformaciones lineales como proyecciones y rotaciones.
El documento resume los principales temas relacionados con las funciones matemáticas, incluyendo su definición, dominio y codominio, notación, recorrido, funciones inyectivas, biyectivas y epiyectivas, inversa de una función, funciones reales como la constante, identidad, lineal, cuadrática, potencia, exponencial y logarítmica, y sus aplicaciones en áreas como economía, ingeniería, medicina y química.
Este documento contiene 10 ejercicios sobre estructuras algebraicas. Los ejercicios involucran analizar si ciertas operaciones definidas en diferentes conjuntos cumplen las propiedades para ser grupos, incluyendo la existencia de elemento neutro e inversos. También involucran determinar si las operaciones son conmutativas o no. Al final se incluyen las respuestas a los ejercicios.
Leyes de Conjuntos (Estructuras Discreta y Grafos) Mirmar Moreno
Este documento presenta las propiedades y operaciones básicas de conjuntos, incluyendo la unión, intersección, diferencia, complemento, asociatividad, conmutatividad, distributividad e idempotencia. También contiene ejemplos para ilustrar estas propiedades y operaciones.
El documento describe el producto cartesiano de dos conjuntos A y B. El producto cartesiano de A y B, denotado A x B, consiste en todos los pares ordenados (x, y) donde x pertenece a A y y pertenece a B. El número de elementos en A x B es igual al producto de los cardinales de A y B. El documento también explica las propiedades de las relaciones binarias y de orden.
El documento presenta la constante de Euler-Mascheroni (γ), una constante matemática definida como el límite de una suma parcial. Explica que Euler estableció su existencia y significado, mientras que Mascheroni introdujo su símbolo. A pesar de que Mascheroni calculó γ incorrectamente, lleva sus nombres unidos por un guión. El documento también señala que se desconoce si γ es racional o irracional, y que resolver este problema abriría la puerta a la fama pero sería extremadamente difícil.
Este documento describe los cálculos realizados por Aristarco de Samos en el siglo III a.C. para determinar los tamaños relativos de la Luna, el Sol y la Tierra, así como las distancias entre ellos. Aristarco observó los eclipses lunares y la velocidad angular de la Luna para calcular que el diámetro de la Tierra es tres veces mayor que el de la Luna. Más tarde, Hiparco refinó este cálculo y obtuvo una relación de 3.7 veces. Aristarco también midió el ángulo entre la Tierra, la Luna y
El teorema de Menelao establece que tres puntos X, Y y Z están alineados si y solo si el producto de las razones de los segmentos divididos es igual a -1. Este teorema proporciona un criterio de alineación y puede usarse para demostrar otras propiedades geométricas relacionadas con la alineación de puntos.
Este documento presenta 9 problemas de aplicación relacionados con el cálculo de límites de funciones. Cada problema describe una situación del mundo real modelizada mediante una función y formula preguntas sobre el comportamiento de dicha función cuando la variable independiente tiende a cierto valor límite.
Este documento presenta 100 ejercicios resueltos de estadística básica organizados en capítulos sobre estadística descriptiva, probabilidad, variables aleatorias y vectores aleatorios. El prólogo explica que los ejercicios han sido desarrollados y depurados a lo largo de años de impartir la asignatura de Estadística I en la Facultad de Economía y Empresa de la Universitat Autònoma de Barcelona. Los ejercicios están dirigidos a estudiantes de grados de economía y empresa y buscan aplicaciones est
Este documento presenta la resolución de 6 problemas relacionados con distribuciones de probabilidad. En el primer problema se resume un caso sobre el funcionamiento de una máquina de refrescos y se concluye que la decisión tomada fue razonable. Los problemas 2 a 5 involucran el cálculo de probabilidades utilizando distribuciones normales y chi cuadrado. El sexto problema pide encontrar valores críticos de chi cuadrado para diferentes niveles de significancia.
Este documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo definiciones de conjuntos, subconjuntos, uniones, intersecciones y operaciones complementarias. También presenta teoremas clave sobre propiedades de conjuntos y cómo representar conjuntos de validez de funciones proposicionales usando operaciones de conjuntos.
Este documento define conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, subconjuntos, conjuntos potencia, igualdad de conjuntos, operaciones entre conjuntos como unión e intersección, diferencia y complemento, y propiedades de estas operaciones. También introduce el producto cartesiano, particiones y la cardinalidad de conjuntos.
Este documento trata sobre la teoría de conjuntos. Define los conceptos básicos como elementos, conjuntos y representaciones. Explica las relaciones entre conjuntos como inclusión, igualdad e intersección. También cubre operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
El documento describe conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, subconjunto, conjunto potencia, unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos. También explica propiedades como las leyes de distribución, De Morgan, idempotencia y conmutatividad para operaciones con conjuntos.
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos. Define lo que es un conjunto y sus elementos, y explica conceptos como la pertenencia, la determinación de conjuntos, conjuntos numéricos, relaciones entre conjuntos, representaciones gráficas, y operaciones entre conjuntos como la unión, intersección, diferencia y complemento.
El documento describe conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, subconjunto, conjunto potencia, unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos. También presenta propiedades como las leyes de distribución, De Morgan, idempotencia y conmutatividad para operaciones con conjuntos.
Este documento introduce los conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, elementos, representación de conjuntos, pertenencia, subconjuntos, igualdad de conjuntos, operaciones básicas como unión e intersección, y propiedades como conmutatividad y asociatividad.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre tuplas, sucesiones y conjuntos de potencia. Introduce las nociones de par ordenado, producto cartesiano, colecciones de conjuntos, sucesiones y cadenas. Explica propiedades como que las tuplas son útiles para organizar datos y que las sucesiones están relacionadas con las cadenas, importantes en informática. Recomienda bibliografía y propone una autoevaluación sobre estos temas.
El documento presenta información sobre conjuntos, incluyendo las definiciones de conjunto, subconjunto, conjunto potencia, unión, intersección y diferencia de conjuntos. También cubre propiedades de estas operaciones y teoremas como las leyes de De Morgan y Morgan para conjuntos. Finalmente, introduce conceptos como particiones de conjuntos y cardinalidad de conjuntos finitos.
El documento proporciona una introducción a los conceptos básicos de conjuntos, incluidas las definiciones de conjunto, subconjunto, conjunto universal, determinación de conjuntos, conjunto de potencia, igualdad de conjuntos, unión e intersección de conjuntos, diferencia y complemento, álgebra de conjuntos, producto cartesiano, operaciones generalizadas, partición y cardinalidad.
Este documento presenta una introducción a los conceptos básicos de conjuntos y probabilidad. En la primera sección, define conceptos como conjuntos, elementos, pertenencia a un conjunto, igualdad de conjuntos, subconjuntos, operaciones básicas de conjuntos como unión e intersección, y tipos de conjuntos como conjuntos finitos y contables. La segunda sección lista varias referencias bibliográficas sobre probabilidad y estadística.
1) El documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, pertenencia, notación, operaciones y propiedades. 2) Define conjuntos especiales como los conjuntos numéricos y los conjuntos vacío y unitario. 3) Explica conceptos como inclusión, igualdad, cardinalidad, operaciones como unión e intersección y sus propiedades.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre conjuntos matemáticos. Los ejercicios cubren temas como determinar si proposiciones sobre conjuntos son verdaderas o falsas, encontrar conjuntos por extensión o comprensión, y operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección y diferencia. El documento proporciona una guía detallada para que los estudiantes practiquen y demuestren su comprensión de los conceptos básicos de los conjuntos.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos. Define los conceptos básicos de conjunto, pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos. También introduce operaciones como la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos, y establece algunas de sus propiedades fundamentales. Finalmente, asume la existencia de un conjunto universo de referencia U.
Este documento presenta una introducción a los conjuntos. Define los conceptos básicos de conjunto, pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos. También introduce operaciones como la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos, y establece algunas de sus propiedades fundamentales. Finalmente, asume la existencia de un conjunto universo de referencia U.
Este documento define conceptos básicos de teoría de conjuntos como conjuntos, elementos, pertenencia, notación, relaciones entre conjuntos, operaciones como unión e intersección, y propiedades. Explica conjuntos especiales como el conjunto vacío y los conjuntos numéricos. Finalmente, presenta ejemplos y problemas para aplicar estos conceptos.
Curso introductorio a la teoría de conjuntos, basado en lógica matemática y cálculo proposicional, dirigido a estudiantes de tecnologías de la información.
El documento presenta las definiciones básicas de conjuntos y las leyes que rigen las operaciones entre conjuntos, como unión, intersección, diferencia, complemento y diferencia simétrica. Define cada operación y presenta las leyes de idempotencia, asociatividad, conmutatividad, distribución e identidad que gobiernan las relaciones entre conjuntos.
Este documento presenta 9 problemas de aplicación relacionados con el cálculo de límites de funciones. Cada problema describe una situación del mundo real modelizada mediante una función y formula preguntas sobre el comportamiento de dicha función cuando la variable independiente tiende a cierto valor límite.
Este documento describe los cálculos realizados por Aristarco de Samos en el siglo III a.C. para determinar los tamaños relativos de la Luna, el Sol y la Tierra, así como las distancias entre ellos. Aristarco observó los eclipses lunares y la velocidad angular de la Luna para calcular que el diámetro de la Tierra es tres veces mayor que el de la Luna. Más tarde, Hiparco refinó este cálculo y obtuvo una relación de 3.7 veces. Aristarco también midió el ángulo entre la Tierra, la Luna y
Trazoide problemas de giro - geometría proyectiva - 999Luis Elias
Este documento explica cómo encontrar el centro de giro de una transformación geométrica. Indica que para hallar el centro de giro, se debe unir los puntos P y P' y trazar su mediatriz, y hacer lo mismo con los puntos Q y Q'. El punto donde se corten las dos mediatrizas será el centro de giro. También incluye enlaces a otros temas relacionados con geometría proyectiva como simetría, homotecia y traslación.
El teorema de Menelao establece que tres puntos X, Y y Z están alineados si y solo si el producto de las razones de los segmentos divididos es igual a -1. Este teorema proporciona un criterio de alineación y puede usarse para demostrar otras propiedades geométricas relacionadas con la alineación de puntos.
Este documento describe las funciones trigonométricas y su uso para resolver triángulos rectángulos. Explica las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), cómo usar el teorema de Pitágoras para calcular lados desconocidos, y cómo resolver triángulos rectángulos dadas diferentes medidas. También cubre el uso de las funciones trigonométricas en cualquier cuadrante y provee ejemplos numéricos.
Este documento resume las funciones trigonométricas seno y coseno. Explica que el seno es la coordenada y y el coseno es la coordenada x de un punto en una circunferencia. También define las funciones seno y coseno generalizadas mediante ecuaciones que incluyen parámetros como amplitud, periodo, frecuencia y desfase.
Este documento resume las funciones trigonométricas seno y coseno. Explica que el seno es la coordenada y y el coseno es la coordenada x de un punto en una circunferencia. También define las funciones seno y coseno generalizadas mediante ecuaciones que incluyen parámetros como amplitud, periodo, frecuencia y desfase.
Función trigonométrica wikipedia, la enciclopedia libreLuis Elias
Las funciones trigonométricas se definen para extender las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Existen seis funciones trigonométricas básicas - seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante - que se pueden definir geométricamente usando un triángulo rectángulo o una circunferencia unitaria, o analíticamente como soluciones de ecuaciones diferenciales o mediante series infinitas.
Este documento explica las funciones trigonométricas de seno. Describe la circunferencia trigonométrica y cómo graficar la función seno. Explica que las funciones circulares son periódicas con un período de 2π y sólo necesitan ser graficadas entre 0 y 2π. También describe cómo los parámetros A, B, C y D modifican la amplitud, período, fase y desplazamiento vertical u horizontal de la función general F(x) = A sen(Bx - C) + D. Sugiere actividades para graficar funciones seno
Este documento describe diferentes métodos numéricos para aproximar el cálculo de integrales definidas. Explica las fórmulas de Newton-Cotes como la regla del trapecio y de Simpson, y el algoritmo de Romberg como una técnica de extrapolación recursiva para obtener aproximaciones más precisas de una integral. También incluye ejemplos ilustrativos de cómo aplicar estos métodos numéricos.
Este documento explica qué es una función medible. Una función medible es aquella definida en un espacio de medida donde todos los subconjuntos tienen asignada una medida, y cuyas antiimágenes de cualquier subconjunto medible del espacio de llegada también es un subconjunto medible del espacio de partida. El documento ilustra este concepto con el ejemplo de funciones indicatrices y explica por qué estas funciones cumplen con la propiedad de ser medibles.
El teorema de Menelao establece que tres puntos X, Y y Z están alineados si y solo si el producto de las razones de los segmentos divididos es igual a -1. Este teorema proporciona un criterio de alineación y puede usarse para demostrar otras propiedades geométricas relacionadas con la alineación de puntos.
1. Conjuntos, relaciones y funciones
1. Repaso sobre la teor´ de conjuntos.
ıa
Denotaremos por IN al conjunto de los n´meros naturales y por Z al de los enteros.
u Z
Dados dos conjuntos A y B decimos que A est´ contenido en B o tambi´n que A es
a e
un subconjunto de B si cada elemento de A es tambi´n un elemento de B, es decir, si
e
x ∈ A =⇒ x ∈ B. En tal caso escribimos A ⊆ B.
Decimos que los conjuntos A y B son iguales si A ⊆ B y B ⊆ A. En tal caso escribimos
A = B. Decimos que A est´ contenido estrictamente en B si A ⊆ B y B ⊆ A, es decir, si
a
A ⊆ B y A = B. En ese caso escribimos A ⊂ B.
Ejemplos.
i) A = {1, 2, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
En este caso A ⊆ B pero no vale que B ⊆ A pues 4 ∈ B y 4 ∈ A. Luego, A est´ contenido
/ a
estrictamente en B.
ii) A = {a, b, {3}, 2}, B = {a, b, 3, 2}
En este caso A ⊆ B pues {3} ∈ A y {3} ∈ B. Adem´s, B ⊆ A pues 3 ∈ B y 3 ∈ A.
/ a /
iii) ∅ ⊆ A cualquiera sea el conjunto A, donde ∅ denota el conjunto vac´
ıo.
iv) A = {a, b, c, d}, B = {b, d, c, a}. En este caso A = B.
Operaciones con conjuntos. Sean A y B dos subconjuntos de un conjunto dado V ,
al que llamaremos conjunto referencial. Definimos la uni´n, intersecci´n, complemento,
o o
diferencia y diferencia sim´trica de la siguiente manera:
e
A ∪ B = {x ∈ V / x ∈ A o x ∈ B} (uni´n)
o
A ∩ B = {x ∈ V / x ∈ A y x ∈ B} (intersecci´n)
o
A′ = {x ∈ V / x ∈ A}
/ (complemento respecto del conjunto referencial V )
A − B = {x ∈ V / x ∈ A y x ∈ B}
/ (diferencia)
A△B = (A ∪ B) − (A ∩ B) (diferencia sim´trica)
e
Grafiquemos estos conjuntos en un diagrama de Venn:
V V
A B A B
A∪B A∩B
1
2. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
V V
A
A B
A′ A−B
V
A B
A△B
Observemos que, de estos conjuntos, el unico que realmente depende del conjunto refe-
´
′
rencial V es A . En general, cuando trabajemos con conjuntos, siempre supondremos
que todos los conjuntos considerados son subconjuntos de un conjunto referencial y s´lo
o
aclararemos cu´l es ese conjunto referencial cuando sea necesario.
a
Ejercicio. Probar que A − B = A ∩ B ′ = {x ∈ A / x ∈ B}.
/
Diremos que los conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅.
Ejemplo. Dado el conjunto referencial V = {a, b, c, d, 2, {2}, 3, {3}, 7} sean A, B y C los
subconjuntos de V definidos por:
A = {a, b, 2, {3}} B = {a, b, 2, 3} C = {2, 3, 7}
se tiene que
A ∪ B = {a, b, 2, 3, {3}}, A ∩ B = {a, b, 2}, B − C = {a, b}
A△C = {a, b, {3}, 3, 7}, (A ∩ B) − (A△C) = {2}, (A ∩ B)′ = {c, d, {2}, {3}, 3, 7}
Adem´s, B − C y (A ∩ B)′ son disjuntos.
a
Ejercicio. Sean A, B y C los conjuntos del ejemplo anterior. Hallar todos los subconjuntos
de B ∪ C que sean disjuntos con A.
Ejercicio. Sean A = {1, ∅, a, 7} y B = {{1}, a, b, 4}, C = {3, 6, b, a}. ¿Cu´les de las
a
siguientes afirmaciones son verdaderas?
i) ∅ ∈ A ∪ B
ii) ∅ ∈ A ∩ B
iii) ∅ ⊆ A
iv) ∅ ⊆ C
v) 7 ∈ (A ∪ C) ∩ (A△B)
2
3. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
Propiedades de las operaciones. Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto referen-
cial V . Entonces valen:
i) A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A y A△B = B△A
ii) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C y A△(B△C) = (A△B)△C
iii) A ⊆ B y B ⊆ C =⇒ A ⊆ C
iv) A ⊆ B y A ⊆ C =⇒ A ⊆ B ∩ C
v) A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B
vi) A ⊆ C y B ⊆ C =⇒ A ∪ B ⊆ C
vii) A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B
viii) (A′ )′ = A, A ∩ A′ = ∅ y A ∪ A′ = V
ix) A△B = (A − B) ∪ (B − A)
x) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
xi) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
xii) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′
xiii) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′
Demostraci´n: S´lo demostraremos iv), vi), viii) y xi) y dejamos como ejercicio la de-
o o
mostraci´n de las restantes propiedades.
o
Demostraci´n de iv): Sabemos que A ⊆ B y que A ⊆ C. Debemos probar que A ⊆ B ∩ C:
o
Sea x ∈ A. Como A ⊆ B y x ∈ A entonces x ∈ B y como A ⊆ C y x ∈ A entonces x ∈ C.
Luego resulta que x ∈ B y x ∈ C, es decir, x ∈ B ∩ C.
Demostraci´n de vi): Sabemos que A ⊆ C y que B ⊆ C. Debemos probar que A ∪ B ⊆ C:
o
Sea x ∈ A ∪ B. Entonces x ∈ A o x ∈ B.
Si x ∈ A entonces, como A ⊆ C resulta que x ∈ C. Si x ∈ B entonces, como B ⊆ C
resulta que x ∈ C.
Hemos probado entonces que x ∈ C.
Demostraci´n de viii): S´lo probaremos que A ∩ A′ = ∅ y dejamos el resto como ejercicio.
o o
Queremos ver que ∃ x / x ∈ A ∩ A′ . Supondremos que s´ y llegaremos a una contradicci´n.
ı o
′ ′
Supongamos que existe x ∈ A ∩ A . Entonces x ∈ A y x ∈ A = {x / x ∈ A}. Luego
/
resultar´ que x ∈ A y x ∈ A, lo que es una contradicci´n.
ıa / o
Demostraci´n de xi): Debemos probar que (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), es decir, que
o
(A ∪ B) ∩ C ⊆ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) y (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ C
Primero probemos que (A ∪ B) ∩ C ⊆ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C). Sea x ∈ (A ∪ B) ∩ C. Entonces
x ∈ A ∪ B y x ∈ C. Luego, x ∈ A o x ∈ B, y adem´s x ∈ C. Entonces debemos examinar
a
dos casos:
Si x ∈ A entonces x ∈ A y x ∈ C de donde x ∈ A ∩ C y por lo tanto x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Si x ∈ B entonces x ∈ B y x ∈ C de donde x ∈ B ∩ C y por lo tanto x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Luego, cualquiera sea el caso, x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) como quer´
ıamos probar.
3
4. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
Ahora probemos que (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ C. Por la propiedad v), A ∩ C ⊆ A
y, por vii), A ⊆ A ∪ B. Luego, usando iii) resulta que A ∩ C ⊆ A ∪ B.
Por otra parte, por v), A ∩ C ⊆ C. Por lo tanto se tiene que A ∩ C ⊆ A ∪ B y A ∩ C ⊆ C.
Ahora, usando iv) se tiene que A ∩ C ⊆ (A ∪ B) ∩ C.
An´logamente se demuestra que B ∩ C ⊆ (A ∪ B) ∩ C. Luego, usando ahora la propiedad
a
vi) resulta que (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ C.
Diagramas de Venn. Supongamos que queremos determinar si la siguiente afirmaci´n o
es cierta:
Cualesquiera sean los conjuntos A, B y C se verifica que A ∪ (B − C) = (A ∪ B) − C.
Graficamos ambos miembros de esa igualdad en un diagrama de Venn
A B A B
C C
A ∪ (B − C) (A ∪ B) − C
Como se ve, los conjuntos no parecen ser iguales: el primero contiene los elementos que
pertenecen a A∩C y el segundo no. Probemos entonces que la afirmaci´n es falsa: debemos
o
mostrar conjuntos A, B y C tales que A ∪ (B − C) = (A ∪ B) − C. Notar que de los
diagramas se deduce que para lograr eso debemos elegir A, B y C de tal manera que A ∩ C
no sea vac´ Por ejemplo, elegimos A = {1, 2, 3}, B = {2, 5, 9, 0} y C = {1, 4, 5}. Entonces
ıo.
A∪(B −C) = {1, 2, 3}∪{2, 9, 0} = {1, 2, 3, 9, 0} y (A∪B)−C = {1, 2, 3, 5, 9, 0}−{1, 4, 5} =
{2, 3, 9, 0}, y por lo tanto no son iguales.
Los diagramas de Venn nos ayudan a intuir si la afirmaci´n es verdadera o no. Luego, si
o
pensamos que es verdadera debemos dar una demostraci´n y si sospechamos que es falsa
o
exhibir un contraejemplo.
Conjunto de partes. Dado un conjunto A definimos el conjunto de partes de A como el
conjunto
P(A) = {B / B ⊆ A}
es decir, el conjunto formado por todos los subconjuntos de A.
Ejemplo. Si A = {a, b, c} entonces su conjunto de partes es
P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
4
5. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
2. L´gica proposicional y su relaci´n con la teor´ de conjuntos.
o o ıa
Una proposici´n es una afirmaci´n que s´lo puede tomar dos valores de verdad: VER-
o o o
DADERA o FALSA. Por ejemplo, la afirmaci´n “18 es divisible por 3” es una proposici´n.
o o
Tambi´n lo son la afirmaciones “todos los n´meros naturales son pares” y ”no existe en
e u
el plano ninguna recta que pase por el origen”. La primera proposici´n es verdadera, la
o
segunda y la tercera son falsas.
Si p y q son proposiciones, podemos constru´ nuevas proposiciones a partir de ellas usando
ır
los conectivos l´gicos ∧, ∨ y ¬, donde ¬p es la negaci´n de p. La proposici´n p ∧ q es
o o o
verdadera si y s´lo si p y q lo son, la proposici´n p ∨ q es verdadera si y s´lo si p es
o o o
verdadera o q lo es y la proposici´n ¬p es verdadera si y s´lo si p es falsa. Por ejemplo,
o o
dadas las proposiciones p: 18 es divisible por 3, q: todos los n´meros naturales son mayores
u
que 7 y r: un n´mero entero menor que 8 nunca es divisible por 11, entonces p ∧ q es la
u
proposici´n “18 es divisible por 3 y todos los n´meros naturales son mayores que 7”, p ∨ r
o u
es la proposici´n “18 es divisible por 3 o un n´mero entero menor que 8 nunca es divisible
o u
por 11” y ¬r es la proposici´n “existe un n´mero entero menor que 8 que es divisible por
o u
11”. Adem´s p ∧ q es falsa pues q es falsa, p ∨ r es verdadera pues p es verdadera y ¬r es
a
verdadera pues r es falsa.
En resumen, los valores de verdad de p ∧ q, p ∨ q y ¬p est´n dados por las tablas de verdad
a
p q p∧q p q p∨q
1 1 1 1 1 1 p ¬p
1 0 0 1 0 1 1 0
0 1 0 0 1 1 0 1
0 0 0 0 0 0
donde 1 significa VERDADERO y 0 significa FALSO
Una proposici´n importante es ¬p ∨ q, veamos su tabla de verdad
o
p q ¬p ¬p ∨ q
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
Observemos que ¬p ∨ q es verdadera cuando la validez de p implica la validez de q: para
que sea verdadera ¬p ∨ q debe ocurrir que cuando p es verdadera entonces q tambi´n debe
e
serlo (en cambio, cuando p es falsa, no importa si q es verdadera o no). Debido a esto
decimos que p implica q cuando ¬p ∨ q es verdadera. En tal caso escribimos p =⇒ q.
Otra proposici´n importante es (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p), que es verdadera cuando p =⇒ q y
o
q =⇒ p. En tal caso decimos que p y q son equivalentes y escribimos p ⇐⇒ q. Dejamos
como ejercicio verificar que su tabla de verdad es
5
6. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
p q p ⇐⇒ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Luego, dos proposiciones son equivalentes cuando ambas son verdaderas o ambas son fal-
sas. Dejamos como ejercicio demostrar que las proposiciones p =⇒ q y ¬q =⇒ ¬p son
equivalentes.
Sea X un conjunto. Si para cada x ∈ X tenemos una proposici´n p(x) decimos que p es
o
una funci´n proposicional predicable sobre X. Por ejemplo, p(n) : n(n + 1) ≤ 2n es una
o
funci´n proposicional predicable sobre IN.
o
Si p y q son funciones proposicionales predicables sobre un conjunto V podemos considerar
el subconjunto A de V cuyos elementos son los x ∈ V tales que p(x) es verdadera y el
subconjunto B de V formado por los x ∈ V tales que q(x) es verdadera. Por ejemplo,
√
si V = IR, dadas las funciones proposicionales p(x) : x ≤ 2 y q(x) : x2 = x − 7
√
entonces A = {x ∈ IR / x ≤ 2} y B = {x ∈ IR / x2 = x − 7}. En general se tiene
que A = {x ∈ V / p(x)} y B = {x ∈ V / q(x)}. Es f´cil ver que:
a
i) A ⊆ B si y s´lo si p(x) =⇒ q(x) para todo x ∈ V
o
ii) A = B si y s´lo si p(x) ⇐⇒ q(x) para todo x ∈ V
o
iii) A ∩ B = {x ∈ V / p(x) ∧ q(x)}
iv) A ∪ B = {x ∈ V / p(x) ∨ q(x)}
v) A′ = {x ∈ V / ¬p(x)}
Veamos ahora c´mo podemos probar que (A∩B)′ = A′ ∪B ′ , donde A y B son subconjuntos
o
de un conjunto referencial V . Para cada x ∈ V definimos las proposiciones p(x) : x ∈ A y
q(x) : x ∈ B. Entonces se tiene que A = {x ∈ V / p(x)} y B = {x ∈ V / q(x)}.
Ahora, (A ∩ B)′ = {x ∈ V / ¬(p(x) ∧ q(x))} y A′ ∪ B ′ = {x ∈ V / ¬p(x) ∨ ¬q(x)}. Por
lo tanto, para probar la igualdad de conjuntos nos basta mostrar que las proposiciones
¬(p(x) ∧ q(x)) y ¬p(x) ∨ ¬q(x) son equivalentes.
Como dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad (cada una es
verdadera si y s´lo si la otra lo es), basta entonces hallar las tablas de verdad de cada una
o
de estas proposiciones y ver que son iguales.
p q p∧q ¬(p ∧ q) p q ¬p ¬q ¬p ∨ ¬q
1 1 1 0 1 1 0 0 0
1 0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 1 0 1
0 0 0 1 0 0 1 1 1
Esta es otra manera de probar las igualdades de conjuntos.
6
7. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
3. Relaciones.
Si A1 , A2 , . . . , An son conjuntos, definimos el producto cartesiano de A1 , A2 , . . . , An en la
forma
A1 × A2 × . . . × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) / ai ∈ Ai ∀i (1 ≤ i ≤ n)}
En particular, si A y B son conjuntos, el producto cartesiano de A por B es
A × B = {(a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B}
Ejemplo. Si A = {1, 2} y B = {1, 3, a} entonces
A × B = {(1, 1), (1, 3), (1, a), (2, 1), (2, 3), (2, a)}
Decimos que R es una relaci´n de A en B si R es un subconjunto de A × B. Decimos que
o
R es una relaci´n en A si R es una relaci´n de A en A, es decir, un subconjunto de A × A.
o o
Si R es una relaci´n de A en B tambi´n escribiremos a R b en lugar de (a, b) ∈ R.
o e
Ejemplos.
i) Sea A = IN y sea B = {1, 2, −1, 0}. Las siguientes son relaciones de A en B:
a) R1 = {(1, 0), (2, −1)}
b) R2 = ∅
c) R3 = {(n, 2) ∈ IN × B / n es impar}
ii) R = {(a, b) ∈ Z × Z / a + b ≥ 0} es una relaci´n en Z
Z Z o Z
iii) R = {(n, a) ∈ IN × Z / 2n = a2 } es una relaci´n de IN en Z
Z o Z
Sea R una relaci´n en un conjunto A. Decimos que R es
o
reflexiva sii a R a para todo a ∈ A
sim´trica sii a R b =⇒ b R a
e
antisim´trica sii a R b ∧ b R a =⇒ a = b
e
transitiva sii a R b ∧ b R c =⇒ a R c
Ejemplo. Dado A = {1, 2, 3}, consideremos la relaci´n en A
o
R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 2)}
Esta relaci´n no es reflexiva: (2, 2) ∈ R1 .
o /
Tampoco es sim´trica: (1, 2) ∈ R1 pero (2, 1) ∈ R1 ni es antisim´trica: (3, 2) ∈ R1 y
e / e
(2, 3) ∈ R1 pero 2 = 3.
Por ultimo, no es transitiva: (3, 2) ∈ R1 y (2, 3) ∈ R1 pero (3, 3) ∈ R1 .
´ /
En cambio, si definimos en el mismo conjunto A la relaci´n
o
R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
7
8. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
resulta que es reflexiva, sim´trica, antisim´trica y transitiva.
e e
Y si ahora consideramos en A la relaci´n R3 = ∅, vemos que no es reflexiva, pero es
o
sim´trica, antisim´trica y transitiva. Dejamos como ejercicio verificar estas afirmaciones.
e e
Finalmente, la relaci´n R4 en A definida por
o
R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
es reflexiva, sim´trica y transitiva pero no es antisim´trica.
e e
Relaciones de orden y relaciones de equivalencia. Dada una relaci´n R en un o
conjunto A decimos que
R es una relaci´n de orden si y s´lo si R es reflexiva, antisim´trica y transitiva.
o o e
R es una relaci´n de equivalencia si y s´lo si R es reflexiva, sim´trica y transitiva.
o o e
Ejemplos.
i) La relaci´n en A = IR definida por a R b sii a ≤ b es una relaci´n de orden.
o o
ii) Cualquiera sea el conjunto A, la relaci´n en A definida por a R b sii a = b es una relaci´n
o o
de equivalencia.
iii) Sea X un conjunto. La relaci´n en A = P(X) definida por A R B sii A ⊆ B es una
o
relaci´n de orden.
o
iv) En A = {1, 2, 3, 4}. definimos las siguientes relaciones
R1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3)}
R2 = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (3, 4), (4, 3), (4, 4)}
Dejamos como ejercicio verificar que R1 es una relaci´n de orden y R2 es una relaci´n de
o o
equivalencia.
Sea R una relaci´n de equivalencia en un conjunto A. Si a R b decimos que a y b son
o
equivalentes.
Ejercicio. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
i) Definir una relaci´n de orden R en A tal que (6, 5) ∈ R y (1, 5) ∈ R
o /
ii) Determinar si existe una relaci´n de equivalencia R tal que (6, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R y
o
(3, 6) ∈ R. Justificar.
/
iii) Determinar si existe una relaci´n de orden R tal que (6, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R y (3, 6) ∈ R.
o
Justificar.
iv) ¿Existe alguna relaci´n de orden en A que sea tambi´n de equivalencia?
o e
Relaciones de equivalencia y particiones. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Dada la
relaci´n de equivalencia en A
o
R1 ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (1, 2), (2, 1),
(1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 5), (5, 4), (6, 8), (8, 6)}
8
9. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
graficamos la relaci´n poniendo un punto por cada elemento de A y una flecha de a a b
o
para cada a, b ∈ A tal que (a, b) ∈ R1 .
2 4
1 6
7
3 5 8
Como se observa en el gr´fico, podemos partir al conjunto A en cuatro subconjuntos
a
disjuntos dos a dos, no vac´ cada uno de ellos formado por todos los elementos de A que
ıos,
est´n relacionados entre s´
a ı:
{1, 2, 3}, {4, 5}, {7}, {6, 8}
Rec´
ıprocamente, dada la partici´n de A en los subconjuntos disjuntos dos a dos, no vac´
o ıos
{1, 4, 5}, {2, 7}, {3, 6, 8}
poniendo ahora un punto por cada elemento de A y una flecha de a a b para los a, b ∈ A
que pertenecen a un mismo subconjunto se tiene
2 6 8
1 4
3
5 7
de donde obtenemos la relaci´n de equivalencia
o
R2 ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (1, 4), (4, 1), (1, 5), (5, 1),
(4, 5), (5, 4), (2, 7), (7, 2), (3, 6), (6, 3), (6, 8), (8, 6), (3, 8), (8, 3)}
Notemos adem´s que si constru´
a ımos la relaci´n de equivalencia correspondiente a la par-
o
tici´n
o
{{1, 2, 3}, {4, 5}, {7}, {6, 8}}
volvemos a obtener la relaci´n R1 y si constru´
o ımos la partici´n correspondiente a R2
o
volvemos a obtener la partici´n
o
{{1, 4, 5}, {2, 7}, {3, 6, 8}}
Es decir, estas construcciones son rec´
ıprocas. Para hacer esto en general, veamos c´mo
o
hallamos la partici´n de A usando R1 : {1, 2, 3} es el subconjunto de A formado por todos
o
9
10. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
los elementos de A que son equivalentes a 1, {4, 5} es el subconjunto de A formado por
todos los elementos de A que son equivalentes a 4, {7} es el subconjunto de A formado por
todos los elementos de A que son equivalentes a 7 y {6, 8} es el subconjunto de A formado
por todos los elementos de A que son equivalentes a 6. Para cada a ∈ A consideremos el
subconjunto de todos los elementos de A que son equivalentes a a, Ca = {b ∈ A / b R1 a},
al que llamaremos clase de equivalencia de a. Entonces resulta que los conjuntos disjuntos
dos a dos y no vac´ que forman la partici´n de A son las clases de equivalencia de los
ıos o
elementos 1, 4, 7 y 6. {1, 2, 3} = C1 , {4, 5} = C4 , {7} = C7 y {6, 8} = C6 .
Notar que C1 = C2 = C3 , C4 = C5 y C6 = C8 . Esto se debe a que R1 es una relaci´n de
o
equivalencia. En general, si R es una relaci´n de equivalencia en un conjunto A entonces
o
se verifican:
i) a ∈ Ca para todo a ∈ A
ii) Ca = Cb si y s´lo si (a, b) ∈ R
o
iii) Ca ∩ Cb = ∅ si y s´lo si (a, b) ∈ R
o /
Probaremos esto m´s adelante.
a
Rec´ıprocamente, dada la partici´n {{1, 4, 5},
o {2, 7}, {3, 6, 8}} hab´
ıamos constru´ la
ıdo
relaci´n de equivalencia
o
R2 ={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (1, 4), (4, 1), (1, 5), (5, 1),
(4, 5), (5, 4), (2, 7), (7, 2), (3, 6), (6, 3), (6, 8), (8, 6), (3, 8), (8, 3)}
Notemos que esta relaci´n R2 queda definida por
o
(a, b) ∈ R2 si y s´lo si
o a y b pertenecen al mismo subconjunto de la partici´n
o
En un momento veremos que la relaci´n as´ obtenida es de equivalencia pues los conjuntos
o ı
que forman la partici´n son disjuntos dos a dos, no vac´ y su uni´n es A.
o ıos o
Veamos ahora el caso general, pero primero definamos el concepto de partici´n: sea A un
o
conjunto y sea P un conjunto formado por subconjuntos de A. Decimos que P es una
partici´n de A si se verifican:
o
1) P = ∅ para todo P ∈ P (los elementos de la partici´n son no vac´
o ıos)
2) Dados P, Q ∈ P, si P = Q entonces P ∩ Q = ∅ (dos elementos distintos de la partici´n
o
son disjuntos)
3) ∀a ∈ A ∃ P ∈ P / a ∈ P (todo elemento de A pertenece a alg´n elemento de la partici´n
u o
o, lo que es lo mismo, A es la uni´n de todos los elementos de la partici´n)
o o
Ejemplo. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, a, b, c, d}. Entonces
P = {{1, a, c}, {2, 3, 4, 5}, {b, d}}
es una partici´n de A pero no son particiones de A
o
10
11. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
{{5, b, c}, {2, 3, 4, 1}, {d}} ni {{1, a, c}, {2, 3, 4, 5}, {b, d, 1}}
pues en el primer caso no se verifica 3) y en el segundo no se verifica 2).
Importante: no confundir el concepto de partici´n de un conjunto A con el conjunto de
o
partes de A.
Cuando una relaci´n es de equivalencia tambi´n suele denot´rsela por ≃ en lugar de R.
o e a
Sea ≃ una relaci´n de equivalencia en un conjunto A. Definimos la clase de equivalencia
o
de a como el subconjunto de A formado por todos los elementos que son equivalentes a a:
Ca = {b ∈ A / b ≃ a}
A veces diremos simplemente la clase de a en lugar de la clase de equivalencia de a.
Ejemplo. Consideremos la relaci´n ≃ en Z definida por a ≃ b si y s´lo si b − a es divisible
o Z o
por 4. Dejamos como ejercicio verificar que es una relaci´n de equivalencia. En este caso
o
hay 4 clases de equivalencia:
C0 = {a ∈ Z / a = 4k / para alg´n k ∈ Z
Z u Z}
C1 = {a ∈ Z / a = 4k + 1 / para alg´n k ∈ Z
Z u Z}
C2 = {a ∈ Z / a = 4k + 2 / para alg´n k ∈ Z
Z u Z}
C3 = {a ∈ Z / a = 4k + 3 / para alg´n k ∈ Z
Z u Z}
Es f´cil verificar que la clase de equivalencia de cualquier a ∈ Z es igual a alguna de ´stas.
a Z e
Ejercicio. Sea ≃ la relaci´n de equivalencia en el conjunto de matrices de n × n con
o
coeficientes 0 y 1 definida por
A ≃ B si y s´lo si A y B tienen la misma cantidad de unos
o
i) Determinar cu´ntas clases de equivalencia distintas hay.
a
1 1 1
ii) Para n = 3, determinar la clase de equivalencia de la matriz 1 0 1
1 1 1
Proposici´n. Sea ≃ una relaci´n de equivalencia en un conjunto A. Entonces se verifican:
o o
i) a ∈ Ca para todo a ∈ A
ii) Ca = Cb si y s´lo si a ≃ b
o
iii) Ca ∩ Cb = ∅ si y s´lo si a ≃ b
o
Demostraci´n: i) Sea a ∈ A. Como ≃ es reflexiva entonces a ≃ a. Luego, a ∈ Ca .
o
ii) (=⇒) Si Ca = Cb , como a ∈ Ca por i), entonces a ∈ Cb de donde a ≃ b.
ii) (⇐=) Supongamos que a ≃ b. Debemos probar que Ca = Cb :
⊆: Si c ∈ Ca entonces c ≃ a y como a ≃ b y ≃ es transitiva entonces c ≃ b de donde c ∈ Cb
11
12. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
⊇: Si c ∈ Cb entonces c ≃ b. Como a ≃ b y ≃ es sim´trica entonces b ≃ a. Luego, c ≃ b y
e
b ≃ a. Usando ahora la transitividad resulta que c ≃ a de donde c ∈ Ca .
iii) (=⇒) Supongamos que Ca ∩ Cb = ∅. Queremos ver que a ≃ b. Supongamos que s´ ı,
entonces por ii) se tiene que Ca = Cb de donde Ca = Ca ∩ Cb = ∅ lo cual contradice i).
iii) (⇐=) Supongamos que a ≃ b. Queremos ver que Ca ∩ Cb = ∅. Supongamos que no,
entonces sea c ∈ Ca ∩ Cb . Luego, c ≃ a y c ≃ b pero esto implica, usando ii), que Cc = Ca
y Cc = Cb . Por lo tanto, Ca = Cb de donde por ii) nuevamente resulta que a ≃ b, una
contradicci´n.
o
Ejercicio. Sea ≃ una relaci´n de equivalencia en un conjunto A y sean a, b ∈ A. Probar
o
que Ca ∩ Cb = ∅ si y s´lo si Ca = Cb
o
Corolario. Sea ≃ una relaci´n de equivalencia en un conjunto A y sean a, b ∈ A. Entonces
o
a ≃ b si y s´lo si ∃c ∈ A / a, b ∈ Cc
o
Demostraci´n: (=⇒) Si a ≃ b entonces a ∈ Cb . Adem´s, por i) de la proposici´n se tiene
o a o
que b ∈ Cb de donde a, b ∈ Cb
(⇐=) Si a, b ∈ Cc para alg´n c ∈ A entonces, por i), a ∈ Ca ∩ Cc y por lo tanto Ca ∩ Cc = ∅.
u
Entonces, por el ejercicio anterior, Ca = Cc . Del mismo modo se ve que Cb = Cc . Luego
Ca = Cb de donde, por ii) de la proposici´n, resulta que a ≃ b
o
Teorema. Sea A un conjunto. Se verifican:
i) Si ≃ es una relaci´n de equivalencia en A entonces P = {Ca / a ∈ A} es una partici´n
o o
de A.
ii) Si P es una partici´n de A entonces la relaci´n ≃ en A definida por
o o
a ≃ b si y s´lo si ∃P ∈ P / a, b ∈ P }
o
es de equivalencia.
iii) Las construcciones precedentes son rec´
ıprocas.
Demostraci´n: i) Sea ≃ una relaci´n de equivalencia en A. Veamos que P = {Ca / a ∈ A}
o o
es una partici´n de A. Para ello debemos ver que se cumplen los ´
o ıtems 1), 2) y 3) de la
definici´n de partici´n.
o o
1) Cada elemento de la partici´n es no vac´ pues, por la proposici´n anterior, parte i), se
o ıo o
tiene que a ∈ Ca para todo a ∈ A
2) Dos elementos distintos de la partici´n son disjuntos ya que si Ca = Cb entonces, por la
o
proposici´n anterior, parte ii), a ≃ b de donde resulta, por iii), que Ca ∩ Cb = ∅
o
3) Todo elemento de A pertenece a alg´n elemento de la partici´n porque, por i) de la
u o
proposici´n, dado a ∈ A se tiene que a ∈ Ca
o
ii) Sea P una partici´n de A. Debemos probar que la relaci´n ≃ en A definida por
o o
a ≃ b si y s´lo si ∃P ∈ P / a, b ∈ P }
o
12
13. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
es de equivalencia.
≃ es reflexiva pues dado a ∈ A, como todo elemento de A pertenece a alg´n elemento de
u
la partici´n, se tiene que ∃P ∈ P / a ∈ P . Luego, a ≃ a
o
Es obvio que ≃ es sim´trica. Veamos que es transitiva. Sean a, b, c ∈ A tales que a ≃ b y
e
b ≃ c. Entonces ∃P ∈ P / a, b ∈ P y ∃Q ∈ P / b, c ∈ Q. Si fuese P = Q entonces se tendr´
ıa
que P ∩ Q = ∅ ya que dos elementos distintos de la partici´n deben ser disjuntos. Pero
o
eso no ocurre pues b ∈ P ∩ Q, por lo tanto debe ser P = Q de donde resulta que a, c ∈ P
y por lo tanto a ≃ c
iii) Sea R una relaci´n de equivalencia en A y sea P = {Cc / c ∈ A} la partici´n de A
o o
′
constru´ a partir de R. Si ahora definimos la relaci´n R correspondiente a la partici´n
ıda o o
P en la forma
(a, b) ∈ R′ si y s´lo si ∃P ∈ P / a, b ∈ P }
o
debemos ver que R = R′ , es decir, que (a, b) ∈ R si y s´lo si (a, b) ∈ R′ :
o
Por el corolario, (a, b) ∈ R ⇐⇒ ∃c ∈ A / a, b ∈ Cc ⇐⇒ ∃P ∈ P / a, b ∈ P ⇐⇒ (a, b) ∈ R′
Finalmente, sea P una partici´n cualquiera de A y sea R la relaci´n de equivalencia en A
o o
definida por
(a, b) ∈ R si y s´lo si ∃P ∈ P / a, b ∈ P }
o
ımos la partici´n de A correspondiente a la relaci´n R
Si ahora constru´ o o
P ′ = {Cc / c ∈ A}
donde Cc = {b ∈ A / b R c}, debemos probar que P = P ′ . Para ello utilizaremos el siguiente
resultado
Afirmaci´n: Si P ∈ P y a ∈ P entonces P = Ca .
o
Demostremos esta afirmaci´n: Sea P ∈ P y sea a ∈ P . Debemos probar que P = Ca . Para
o
ello veamos las dos inclusiones:
⊆: si b ∈ P entonces, como a ∈ P , entonces b, a ∈ P . Luego, (b, a) ∈ R y por lo tanto
b ∈ Ca
⊇: Si b ∈ Ca entonces (b, a) ∈ R. Luego ∃Q ∈ P / b, a ∈ Q y como a ∈ P ∩ Q entonces
resulta que P ∩ Q = ∅. Pero P es una partici´n de A, por lo tanto debe ser P = Q. Luego,
o
b ∈ P.
Ahora finalmente probemos que P = P ′ :
⊆: sea P ∈ P y sea a ∈ P (existe a pues P = ∅). Luego, por la afirmaci´n, P = Ca y por
o
′
lo tanto P ∈ P .
⊇: sea Ca ∈ P ′ . Como a ∈ A y P es una partici´n de A entonces existe P ∈ P tal que
o
a ∈ P . Luego, por la afirmaci´n, P = Ca y por lo tanto Ca ∈ P
o
13
14. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
4. Repaso sobre funciones.
Sean A y B conjuntos. Diremos que una relaci´n f de A en B es una funci´n si para cada
o o
a ∈ A existe un unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . Escribiremos f : A −→ B para indicar que
´
f es una funci´n de A en B y denotaremos por f (a) al unico b ∈ B tal que (a, b) ∈ f .
o ´
Si f : A −→ B y g : A −→ B son funciones entonces f = g si y s´lo si f (a) = g(a) para
o
todo a ∈ A.
Si f : A −→ B es una funci´n llamaremos imagen de f al subconjunto de B definido por
o
Im (f ) = {b ∈ B / f (a) = b para alg´n a ∈ A}
u
Si f : A −→ B es una funci´n y S es un subconjunto de B denotaremos por f −1 (S) al
o
subconjunto de A
f −1 (S) = {a ∈ A / f (a) ∈ S}
Ejemplos.
i) Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {0, 2, 6}. Entonces f1 = {(1, 0), (2, 2), (3, 6)} no es una
funci´n pues ∃b ∈ B tal que (4, b) ∈ f1
o
f2 = {(1, 0), (2, 0), (3, 2), (4, 6), (1, 2)} no es una funci´n pues (1, 0) ∈ f2 y (1, 2) ∈ f2
o
f3 = {(1, 0), (2, 0), (3, 6), (4, 0)} es una funci´n. En este caso se tiene que f3 (1) = 0,
o
f3 (2) = 0, f3 (3) = 6, f3 (4) = 0 y la imagen de f3 es Im (f3 ) = {0, 6}.
ii) Sean A = IN y B = IR. Entonces f = {(a, b) ∈ IN × IR / a − 4b = 3} es la funci´n
o
a−3
f : IN −→ IR, f (a) = 4 . En este caso
−2 −1 1 2 3
Im (f ) = { , , 0, , , , . . .}
4 4 4 4 4
iii) Si A es un conjunto, iA : A −→ A, iA (a) = a es una funci´n, llamada la funci´n
o o
identidad del conjunto A, y su imagen es A.
iv) Sea f : IR −→ IR, f (x) = x2 .
√ √
Entonces Im (f ) = IR≥0 y f −1 ({3, 16, −2}) = { 3, − 3, 4, −4}.
Diremos que una funci´n f : A −→ B es
o
inyectiva si vale: f (a) = f (a′ ) =⇒ a = a′
suryectiva o sobreyectiva si ∀b ∈ B ∃a ∈ A / f (a) = b (es decir, si Im (f ) = B)
biyectiva si ∀b ∈ B ∃! a ∈ A / f (a) = b (es decir, si es inyectiva y suryectiva)
Ejemplos. i) f : IR −→ IR, f (x) = x2
Esta funci´n no es inyectiva pues f (2) = f (−2). Tampoco es suryectiva pues −5 ∈ Im (f )
o /
ii) f : IN −→ IN, f (n) = n2
Esta funci´n es inyectiva: f (n) = f (m) =⇒ n2 = m2 =⇒ n = m o n = −m. Pero como
o
n, m > 0 entonces debe ser n = m
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15. ALGEBRA I
Conjuntos, relaciones y funciones
Esta funci´n no es suryectiva pues 3 ∈ Im (f ).
o /
7 si n = 1
iii) f : IN −→ IN, f (n) =
n − 1 si n ≥ 2
Esta funci´n no es inyectiva pues f (8) = f (1). Veamos que es suryectiva: dado m ∈ IN,
o
sea n = m + 1. Luego n ∈ IN y, como n ≥ 2 pues m ∈ IN, entonces f (n) = n − 1 = m
Composici´n de funciones. Si f : A −→ B y g : B −→ C, definimos la composici´n de
o o
g con f como la funci´n g ◦ f : A −→ C, (g ◦ f )(a) = g(f (a))
o
Ejercicio. Probar que si f : A −→ B, g : B −→ C y h : C −→ D son funciones entonces
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f
Funci´n inversa. Dada una funci´n f : A −→ B decimos que f es inversible si existe
o o
una funci´n g : B −→ A tal que g ◦ f = iA y f ◦ g = iB . En tal caso g es unica, se llama
o ´
−1 −1
la funci´n inversa de f y se denota por f . Adem´s, si g = f
o a entonces f = g −1 .
Proposici´n. Sea f : A −→ B una funci´n. Entonces f es inversible si y s´lo si f es
o o o
biyectiva.
Demostraci´n: (=⇒) Sea f −1 la funci´n inversa de f . Veamos que f es inyectiva y
o o
sobreyectiva.
f es inyectiva: Supongamos que f (a) = f (a′ ). Entonces
a = iA (a) = (f −1 ◦ f )(a) = f −1 (f (a)) = f −1 (f (a′ )) = (f −1 ◦ f )(a′ ) = iA (a′ ) = a′
Luego, a = a′ .
f es sobreyectiva: Sea b ∈ B. Debemos hallar a ∈ A tal que f (a) = b.
Sea a = f −1 (b) ∈ A. Entonces f (a) = f (f −1 (b)) = (f ◦ f −1 )(b) = iB (b) = b.
(⇐=) Supongamos ahora que f es biyectiva. Entonces, para cada b ∈ B existe un unico
´
a ∈ A tal que f (a) = b. Definimos g : B −→ A en la forma:
g(b) = a si y s´lo si a es el unico elemento de A tal que f (a) = b
o ´
Dejamos como ejercicio probar que la funci´n g as´ definida es la inversa de f .
o ı
Ejemplo. La funci´n f : IR −→ IR, f (x) = 2x3 − 1 es biyectiva. Encontremos su inversa:
o
−1
dado y ∈ IR, f (y) es el unico x tal que f (x) = y. Como
´
y+1 y+1
f (x) = y ⇐⇒ 2x3 − 1 = y ⇐⇒ 2x3 = y + 1 ⇐⇒ x3 =
3
⇐⇒ x =
2 2
entonces la funci´n inversa de f es
o
y+1
f −1 (y) =
3
2
Ejercicio. Sea f : IR −→ IR la funci´n definida por
o
−x2 si x ≥ 0
f (x) =
x2 si x < 0
Determinar si f es biyectiva y en tal caso calcular su inversa.
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