Este documento presenta un resumen de 3 oraciones del tema 0 de Mecánica de Fluidos de la Universidad Técnica de Loja. Introduce conceptos básicos de álgebra y cálculo vectorial como suma, multiplicación por escalar, producto punto y cruz de vectores, y diferenciación e integración de funciones vectoriales.

1. Universidad Técnica de Loja
Escuela de Ingeniería Química
Mecánica de Fluidos
Marzo 2008 – Agosto 2008
MECÁNICA DE FLUIDOS
Tema 0. Análisis Vectorial
1

2. 1. Álgebra vectorial
Suma de vectores:
A = aA A
B Regla del
D
+ paralelogramo
A
=
=
A
C
-B
A
aA =
A -B
-B
B Regla
+
A cabeza cola
=
D
B C
=
A
-B
2

3. Multiplicación de un escalar por un vector:
k A = aA (kA)
A
aA aA
El producto de un escalar positivo por un vector, multiplica k
veces el módulo de A, sin modificar su dirección.
3

4. Producto punto o escalar:
A·B = AB cos θAB
Algunas propiedades:
A·B = B·A
A·A = A2 o A = (A·A)1/2
4

5. Producto cruz o vectorial:
A x B = an AB sen θAB
AxB=-BxA
5

6. Producto escalar triple:
A·(BxC) = (A·an) BC sen α
A·(BxC) = C·(AxB) = B·(CxA)
6

7. 2. Sistemas de coordenadas
ortogonales
Coordenadas cartesianas:
z
x = xo
y = yo
z = zo
P(xo,yo,zo)
x y
7

8. z
dz r = xa x + ya y + za z
dx dy dr = dx a x + dy a y + dz a z
az r
r + dr dv = dx dy dz
ax ay
A = A x a x + A ya y + A za z
A·B = A x B x + A y B y + A z B z
x y
ax ay az
⎧a x ·a x = a y ·a y = a z ·a z = 1
⎪
⎨ A × B = Ax Ay Az
⎪a x ·a y = a y ·a z = a x ·a z = 0
⎩
Bx By Bz
⎧a x × a x = a y × a y = a z × a z = 0
⎪
⎨
⎪a x × a y = a z , a z × a x = a y , a y × a z = a x
⎩ 8

9. Coordenadas cilíndricas:
9

10. r = ra r + za z
dr = rdθ a θ + dr a r + dz a z
dv = rdθdrdz
A = A r a r + A θa θ + A za z
A·B = A r B r + A θ B θ + A z B z
ar aθ az
A × B = Ar Aθ Az
Br Bθ Bz
⎧a r × a r = a θ × a θ = a z × a z = 0 ⎧a r ·a r = a θ ·a θ = a z ·a z = 1
⎨ ⎨
⎩a r × a θ = a z , a z × a r = a θ , a θ × a z = a r ⎩a r ·a θ = a r ·a z = a θ ·a z = 0
10

11. ⎧a r = a x cos φ + a y senφ
⎪
z ⎨a φ = −a x senφ + a y cos φ
⎪
⎩a z = a z
⎧a x = a r cos φ − a φ senφ
⎪
⎨a y = a r senφ + a φ cos φ
⎪
r − a x senφ ⎩a z = a z
az a y cos φ
φ ∂a r
φ = aφ
aφ ∂φ
φ
a x cos φ ar
∂a φ
x y = −a r
∂φ
a y senφ
11

12. Coordenadas esféricas:
12

13. r = Ra R
dR = dR a R + Rdθ a θ + Rsen θ dφ a φ
dv = R 2 senθdθdφdR
A = A R a R + A θa θ + A φa φ
A·B = A R B R + A θ B θ + A z B z
aR aθ aϕ
A × B = AR Aθ Aϕ
BR Bθ Bϕ
⎧a R ·a R = a θ ·a θ = a ϕ ·a ϕ = 1
⎪
⎨
⎪a R ·a θ = a R ·a ϕ = a θ ·a ϕ = 0
⎩
⎧a R × a R = a θ × a θ = a ϕ × a ϕ = 0
⎪
⎨
⎪a R × a θ = a ϕ , a ϕ × a R = a θ , a θ × a ϕ = a R
⎩ 13

14. ⎧a R = a x senθ cos φ + a y senθsenφ + a z cos θ
z ⎪
⎨a θ = −a x cos θ cos φ + a y cos θsenφ − a z senθ
⎪
⎩a φ = −a x sin θ + a y cos φ
⎧a R = a x senθ cos φ + a y senθsenφ + a z cos θ
aR ⎪
a y cos φ ⎨a θ = a x cos θ cos φ + a y cos θsenφ − a z senθ
− a x senθ ⎪
⎩a φ = −a x sin θ + a y cos φ
aφ
y
a x senθ cos φ a z cos θ
a y cos θsenφ
a y senθsenφ ϕ
θ a x cos θ cos φ ∂a R ∂a R
x = aθ = senθa φ
aθ ∂θ ∂φ
− a z senθ ∂a θ ∂a θ
= −a R = cos θa φ
∂θ ∂θ
∂a φ ∂a φ
=0 = −senθa R − cos θa θ
∂θ ∂θ
14

15. 3. Cálculo vectorial
Diferenciación e integración de vectores:
Sea A(t) = Ax(t) ax + Ay(t) ay + Az(t) az
dA ( t ) A( t + ∆t ) − A( t )
= lim
dt ∆t →0 ∆t
A x ( t + ∆t ) − A x ( t ) A y ( t + ∆t ) − A y ( t ) A ( t + ∆t ) − A z ( t )
= lim a x + lim a y + lim z az
∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
dA x dA y dA z
= ax + ay + az
dt dt dt
∫ Α(t )dt = a ∫ Ax x ( t )dt + a y ∫ A y ( t )dt + a z ∫ A z ( t )dt
15

16. Integral de línea:
N
lim ∑ A i ∆ri cos θ = ∫ A·dr
N →∞
i =1 C
A
Ai
A
θ
C
ri-1 ri-1 + ∆ri
z
x y 16

17. Integral de superficie:
lim
∆s i → 0
∑ A ·n ∆s = ∫∫ A·nds
i
i i i
s
n
A
ds
S
17

18. Divergencia:
1
div A = ∇·A = lim
∆υ→0 ∆υ ∫∫ A·ndS
S
∂A x ∂A y ∂A z
∇·A = + + Coordenadas
∂x ∂y ∂z cartesianas
1∂ 1 ∂A φ ∂A z
∇·A = (rA r ) + + Coordenadas
r ∂r r ∂φ ∂z cilíndricas
1 ∂ ∂ 1 ∂A φ
∇·A = 2 (
R AR +
2 1
) (A θ senθ) + Coordenadas
R ∂R Rsenθ ∂θ Rsenθ ∂φ esféricas
18

19. Teorema de la divergencia de Gauss
∫∫∫ ∇·AdV = ∫∫ A·ndS
V S
dV
n
A
ds
S
19

20. 20

21. 1
∆s →0 ∆s ∫
Rotacional: rot A = ∇ × A = lim n A·dr
C
1 ⎛ ⎞
(∇ × A )u = a u · (∇ × A ) = lim
∆s u →0 ∆s
⎜ A·dr ⎟
⎜C∫ ⎟
u ⎝ u ⎠
Coordenadas cartesianas: Coordenadas esféricas:
ax ay az aR Ra θ Rsenθa φ
∂ ∂ ∂ 1 ∂ ∂ ∂
∇×A = ∇×A = 2
∂x ∂y ∂z R senθ ∂R ∂θ ∂φ
Ax Ay Az AR RA θ RsenθA φ
Coordenadas cilíndricas
ar ra φ az
1 ∂ ∂ ∂
∇×A =
r ∂r ∂φ ∂z
Ar rA φ Az 21

22. Teorema de Stokes
∫∫ (∇ × A ) · ndS = ∫ A·dr
S C
ndS
dr
22

23. 23

24. Dos identidades nulas:
∇· (∇ × A ) = 0
∇ × (∇V ) = 0
Clasificación de campos.
Un campo vectorial F es:
Solenoidal si: ∇· F = 0
Irrotacional (conservativo) si: ∇×F = 0
24