Este documento presenta nociones básicas de teoría de conjuntos. Define los conceptos primitivos de conjunto, elemento y pertenencia. Explica las formas de describir conjuntos por extensión o comprensión. Introduce la igualdad y subconjuntividad de conjuntos. Define conjuntos vacíos, unitarios y universales. Finalmente, describe operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.

1. CAP´
ITULO 2
NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS
´ IA
2.1. NOCIONES PRIMITIVAS
Consideraremos tres nociones primitivas: Conjunto, Elemento y Pertenencia.
Conjunto
Podemos entender al conjunto como, colecci´n, grupo de objetos o cosas. Por ejemplo,
o
el conjunto formado por los “objetos” 1, a, casa.
Denotaremos a los conjuntos con letras may´sculas A, B, etc., as´ A es el conjunto
u ı,
formado por los elementos: 1, a, casa.
Elemento
Un elemento es cualquier objeto o cosa en el conjunto. Los denotamos con letras
min´sculas y al elemento gen´rico lo denotamos x.
u e
Pertenencia
Denotado por el s´ ımbolo ∈, relaciona las dos nociones primitivas anteriores. Si el ele-
mento 1 est´ en el conjunto, anotamos: 1 ∈ A y se lee: “el elemento 1 pertenece al conjunto
a
A” o simplemente “1 est´ en A”.
a
Si el elemento x no pertenece al conjunto A, escribimos: x ∈ A.
/
Conjuntos por extensi´n y por comprensi´n
o o
Un conjunto est´ descrito por extensi´n cuando exhibimos a todos sus elementos en-
a o
cerrados en un par´ntesis de llave, as´ por ejemplo, A = {2, 3, 4}.
e ı
Un conjunto est´ descrito por comprensi´n cuando declaramos una propiedad que la
a o
cumplen s´lo y s´lo los elementos del conjunto, por ejemplo, el conjunto A = {2, 3, 4}
o o
escrito por comprensi´n es: A = {x / x ∈ N/1 < x < 5}.
o
13

2. 14 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Naturalmente que tambi´n podemos anotarlo: A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x ≤ 4},
e
A = {x / x ∈ N / 1 < x ≤ 4}, ´ A = {x / x ∈ N / 2 ≤ x < 5}.
o
2.2. IGUALDAD DE CONJUNTOS
Definici´n 2.2.1. Sean A y B conjuntos, decimos que A es subconjunto de B, lo que
o
denotamos A ⊆ B si y s´lo si “todos los elementos de A son tambi´n elementos de B”, es
o e
decir,
A ⊆ B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B].
Ejemplo 2.2.1. Demuestre que A ⊆ A ∀ A (propiedad refleja).
Soluci´n. Como ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ A, concluimos que A ⊆ A.
o
Ejemplo 2.2.2. Demuestre que [A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ A ⊆ C ∀ A, B, C (transitividad).
Soluci´n.
o
[A ⊆ B ∧ B ⊆ C] ⇒ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ C]
⇒ ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ C,
de donde A ⊆ C.
Observaci´n 2.2.1. A no es subconjunto de B, lo que denotamos A ⊂ B si y s´lo si “existe
o o
alg´n elemento en A que no est´ en B” es decir
u a
A ⊂ B ⇔ ∃ x : x ∈ A ∧ x ∈ B.
/
Definici´n 2.2.2. Decimos que los conjuntos A y B son iguales, lo que denotamos A = B
o
si y s´lo si “todos los elementos de A son elementos de B y todos los elementos de B son
o
elementos de A”, es decir
A = B ⇔ [∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B] ∧ [∀ x : x ∈ B ⇒ x ∈ A] ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
2.3. ALGUNOS CONJUNTOS IMPORTANTES
Conjunto Vac´
ıo
Sea A un conjunto, entonces {x / x ∈ A∧x ∈ A} es un conjunto que no tiene elementos,
/
lo denotamos ∅A y es el conjunto “vac´ de A”.
ıo
Proposici´n 2.3.1. ∅A ⊆ A , ∀ A.
o

3. CAP´
ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS
´ IA 15
Demostraci´n. La realizaremos por reducci´n al absurdo. Supongamos que ∅A no es sub-
o o
conjunto de A, entonces ∃ x : x ∈ ∅A ∧ x ∈ A, esto constituye una contradicci´n ya que el
/ o
conjunto ∅A no tiene elementos, entonces debe ocurrir que ∅A ⊆ A.
Observaci´n 2.3.1. Note el uso de [p ⇒ (q ∧ (∼ q))] ⇒∼ p donde p : ∅A ⊂ A.
o
Proposici´n 2.3.2. ∅A = ∅B , ∀ A, B.
o
Demostraci´n. Se debe demostrar que 1) ∅A ⊆ ∅B y 2) ∅B ⊆ ∅A .
o
1) As´ es, ya que si no es cierto, es decir, si ∅A no es subconjunto de ∅B , debe exis-
ı
tir al menos un elemento que pertenezca a ∅A y que no est´ en ∅B ; esto es una
a
contradicci´n, por lo que ∅A ⊆ ∅B .
o
2) De manera an´loga, ∅B ⊆ ∅A .
a
Por 1) y 2) concluimos que ∅A = ∅B .
Observaci´n 2.3.2. Como todos los “vac´
o ıos” son iguales, denotamos simplemente ∅.
Conjunto Unitario
Es aquel conjunto que tiene un unico elemento. Se lee como, el unitario del elemento.
´
Ejemplo 2.3.1. A = {x / x ∈ N , 3 < x < 5} = {4} se lee “el unitario del 4”.
Conjunto Universal U
Se puede demostrar que no existe un conjunto universo que contenga a todos los
conjuntos (Paradoja de Russel), en cambio existe un conjunto universo de referencia,
denotado U . As´ por ejemplo, para los conjuntos A = {2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 9}, el conjunto
ı
universal podr´ ser U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
ıa
2.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS
2.4.1. Uni´n de Conjuntos
o
Sean A y B conjuntos en U , definimos la uni´n de A con B, denotada A ∪ B que se
o
lee “A uni´n B” como el conjunto tal que
o
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}.

4. 16 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Observaci´n 2.4.1.
o
1. En un diagrama de Venn-Euler tenemos
U
A B
A∪B
2. x ∈ P ∪ Q ⇒ x ∈ P ∨ x ∈ Q.
x ∈ M ∨ x ∈ N ⇒ x ∈ M ∪ N.
Propiedades
1) A ∪ A = A, ∀ A ∈ U (Idempotencia).
2) A ∪ B = B ∪ A, ∀ A, B ∈ U (Conmutatividad).
3) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), ∀ A, B, C ∈ U (Asociatividad).
4) A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U, ∀ A ∈ U .
5) A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
Demostraci´n.
o
2) Se debe demostrar que: a) A ∪ B ⊆ B ∪ A y b) B ∪ A ⊆ A ∪ B.
a) Sea x ∈ A ∪ B, debemos demostrar que x ∈ B ∪ A
x∈A∪B ⇒x∈A∨x∈B ⇒x∈B∨x∈A⇒x∈B∪A
de donde
A ∪ B ⊆ B ∪ A.
b) Sea x ∈ B ∪ A, debemos demostrar que x ∈ A ∪ B
x∈B∪A⇒x∈B∨x∈A⇒x∈A∨x∈B ⇒x∈A∪B
de donde
B ∪ A ⊆ A ∪ B.
Por a) y b) concluimos que A ∪ B = B ∪ A.
Notemos el uso de la tautolog´ p ⇔ q ∨ p.
ıa

5. CAP´
ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS
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5) Se debe demostrar que a) A ∪ B ⊆ B y que b) B ⊆ A ∪ B.
a) Sea x ∈ A ∪ B, debemos demostrar que x ∈ B,
x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B.
Si x ∈ A ⇒ x ∈ B (por hip´tesis A ⊆ B).
o
Si x ∈ B ⇒ x ∈ B; esto indica que en todo caso x ∈ B, de donde
A ∪ B ⊆ B.
b) Sea x ∈ B ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ x ∈ A ∪ B, as´ B ⊆ A ∪ B.
ı
Por a) y b) A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B.
En la parte b) de la demostraci´n usamos la tautolog´ p ⇒ q ∨ p.
o ıa
2.4.2. Intersecci´n de Conjuntos
o
Sean A y B conjuntos en U , definimos la intersecci´n de A con B, denotada A ∩ B,
o
que se lee “A intersecci´n B” como el conjunto tal que A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}.
o
Observaci´n 2.4.2.
o
1. En un diagrama de Venn-Euler tenemos
U
A B
A∩B
2. x ∈ P ∩ Q ⇒ x ∈ P ∧ x ∈ Q.
x ∈ M ∧ x ∈ N ⇒ x ∈ M ∩ N.
Propiedades
1) A ∩ A = A, ∀ A ∈ U (Idempotencia).
2) A ∩ B = B ∩ A, ∀ A, B ∈ U (Conmutatividad).
3) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ∀ A, B, C ∈ U (Asociatividad).
4) A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A, ∀ A ∈ U .

6. 18 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
5) A ⊆ B ⇒ A ∩ B = A.
Demostraci´n.
o
3) Por demostrar que a) (A ∩ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∩ C) y b) A ∩ (B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) ∩ C.
a) Sea x ∈ (A ∩ B) ∩ C, debemos demostrar que x ∈ A ∩ (B ∩ C),
x ∈ (A ∩ B) ∩ C ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C
⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C
⇒ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C
⇒ x ∈ (A ∩ B) ∩ C.
Concluimos que (A ∩ B) ∩ C ⊆ A ∩ (B ∩ C).
b) Sea x ∈ A ∩ (B ∩ C), se debe demostrar que x ∈ (A ∩ B) ∩ C,
x ∈ A ∩ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C)
⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C)
⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x ∈ C
⇒ x∈A∩B∧x∈C
⇒ x ∈ (A ∩ B) ∩ C.
Concluimos que A ∩ (B ∩ C) ⊆ (A ∩ B) ∩ C.
Por a) y b) se deduce que A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
4) Debe cumplirse que A ∩ ∅ = ∅ ya que si no es as´ es decir, si A ∩ ∅ = ∅ entonces
ı,
existe al menos un elemento en A ∩ ∅. Esto constituye una contradicci´n dado que
o
el conjunto vac´ no tiene elementos.
ıo
2.4.3. Diferencia de Conjuntos
Sean A y B conjuntos en U , definimos la diferencia de A con B, denotada A − B, que
se lee “A menos B” como el conjunto tal que
A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}.
/

7. CAP´
ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS
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Observaci´n 2.4.3.
o
1. En un diagrama de Venn-Euler tenemos
U
A B
A−B
2. x ∈ P − Q ⇒ x ∈ P ∧ x ∈ Q.
/
x∈M ∧x∈N ⇒x∈M −N
/
3. En general, la diferencia no es idempotente, es decir, A − A = A.
En general, la diferencia no es conmutativa, es decir, A − B = B − A.
2.4.4. Complemento de un Conjunto
Sea A un conjunto en U , definimos el complemento de A, denotado Ac , que se lee
“complemento de A”, como el conjunto tal que
Ac = {x / x ∈ A ∧ x ∈ U }.
/
Observaci´n 2.4.4. En un diagrama de Venn-Euler tenemos
o
U
A
Ac
Propiedades
1) (Ac )c = A, ∀ A ∈ U .
2) U c = ∅.
3) ∅c = U .
4) A ⊆ B ⇒ B c ⊆ Ac .

8. 20 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Demostraci´n.
o
1) Debemos demostrar, a) (Ac )c ⊆ A, b) A ⊆ (Ac )c ,
a) Sea x ∈ (Ac )c , por demostrar que x ∈ A,
x ∈ (Ac )c ⇒ x ∈ Ac
/
⇒ x ∈ A,
asi, (Ac )c ⊆ A.
b) Sea x ∈ A, por demostrar que x ∈ (Ac )c ,
x ∈ A ⇒ x ∈ Ac
/
⇒ x ∈ (Ac )c ,
asi, A ⊆ (Ac )c .
Por a) y b) concluimos que (Ac )c = A.
2) y 3) son inmediatas.
4) Sea x ∈ B c , debemos demostrar que x ∈ Ac si A ⊆ B. x ∈ B c ⇒ x ∈ B, como
/
A ⊆ B entonces x ∈ A de donde x ∈ A
/ c.
2.4.5. Propiedades Combinadas
1.
A − B = A ∩ Bc
A ∩ Ac = ∅
A ∪ Ac = U
2. Distributividades
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
3. Leyes de De Morgan
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c
Ejemplo 2.4.1. Ejemplo Usando propiedades de las operaciones de conjuntos demuestre
[(A ∩ B c )c − (A ∪ B)c ] ∪ (A ∩ B) = B.

9. CAP´
ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS
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Soluci´n.
o
[(A ∩ B c )c − (A ∪ B)c ] ∪ (A ∩ B) = [(A ∩ B c )c ∩ (A ∪ B)] ∪ (A ∩ B)
= [(Ac ∪ B) ∩ (A ∪ B)] ∪ (A ∩ B)
= [(Ac ∩ A) ∪ B] ∪ (A ∩ B)
= (∅ ∪ B) ∪ (A ∩ B)
= B ∪ (A ∩ B) = B,
ya que A ∩ B ⊆ B.
2.4.6. Cardinalidad
La Teor´ de Conjuntos es la base te´rica para explicar algunos fen´menos, en parti-
ıa o o
cular los aleatorios y all´ nos interesa contar la cantidad de elementos en un subconjunto
ı
determinado.
Aceptaremos la siguiente afirmaci´n, “si A y B son conjuntos disjuntos entonces la
o
cantidad de elementos que tiene la uni´n de tales conjuntos es igual a la suma de la
o
cantidad de elementos de los conjuntos”.
Simb´licamente, si denotamos por n(M ) la cantidad de elementos del conjunto M
o
entonces A ∩ B = ∅ entonces,
n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
Observaci´n 2.4.5. Se puede demostrar (lo que queda propuesto) que: ∀ A, B ∈ U ,
o
a) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B),
b) n(A ∩ B C ) = n(A) − n(A ∩ B).
Ejemplo 2.4.2. En una escuela, 150 alumnos han rendido 3 ex´menes. De ellos, 60
a
aprobaron el primero, 70 el segundo y 50 alumnos el tercer examen; 30 aprobaron los
dos primeros,25 el primero y el tercero, 15 el segundo y el tercero, adem´s, 10 alumnos
a
aprobaron los 3 ex´menes. ¿Cu´ntos alumnos
a a
a) aprobaron ning´n examen?,
u
b) aprobaron s´lo el primer examen?,
o
c) aprobaron s´lo dos ex´menes?,
o a
d) aprobaron s´lo un examen?.
o
Soluci´n. Consideremos los siguientes conjuntos,
o
A = {alumnos que aprueban el primer examen},
B = {alumnos que aprueban el segundo examen},
C = {alumnos que aprueban el tercer examen},

10. 22 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
entonces los datos se pueden expresar como sigue:
n(A) = 60 , n(B) = 70 , n(C) = 50 , n(A ∩ B) = 30 , n(A ∩ C) = 25 ,
n(B ∩ C) = 15 , n(A ∩ B ∩ C) = 10 ,
adem´s, n(U ) = 150, con U = {alumnos que rindieron examen}.
a
a) Se pide n Ac ∩ B C ∩ C c . Como
n (Ac ∩ B c ∩ C c ) = n [(A ∪ B ∪ C)c ]
= n(U ) − n(A ∪ B ∪ C)
y adem´s
a
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C)
−n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
= 60 + 70 + 50 − 30 − 25 − 15 + 10
= 120,
entonces
n (Ac ∩ B c ∩ C c ) = 150 − 120 = 30.
b) Se pide n (A ∩ B c ∩ C c ),
n (A ∩ B c ∩ C c ) = n [A ∩ (B ∪ C)c ]
= n(A) − n [A ∩ (B ∪ C)]
= n(A) − n [(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)]
= n(A) − [n(A ∩ B) + n(A ∩ C) − n(A ∩ B ∩ C)]
= 60 − (30 + 25 − 10)
= 15.
c) Se pide n [(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (B ∩ C ∩ Ac )],
n [(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (B ∩ C ∩ Ac )]
= n [(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (B ∩ C ∩ Ac )]
= n (A ∩ B ∩ C c ) + n (A ∩ C ∩ B c ) + n (B ∩ C ∩ Ac )
−n(∅) − n(∅) − n(∅) + n(∅).
Como
n (A ∩ B ∩ C c ) = n(A ∩ B) − n(A ∩ B ∩ C)
= 30 − 10 = 20,
an´logamente obtenemos n (A ∩ C ∩ B c ) = 15, n (B ∩ C ∩ Ac ) = 5, de donde
a
n [(A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ C ∩ B c ) ∪ (B ∩ C ∩ Ac )] = 20 + 15 + 5 = 40.
d) Se pide n(A ∪ B ∪ C).
e) Se pide n [(A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C c ) ∪ (C ∩ Ac ∩ B c )],

11. CAP´
ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS
´ IA 23
n [(A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C c ) ∪ (C ∩ Ac ∩ B c )]
= n (A ∩ B c ∩ C c ) + n (B ∩ Ac ∩ C c ) + n (C ∩ Ac ∩ B c )
−n(∅) − n(∅) − n(∅) + n(∅).
Como n (A ∩ B c ∩ C c ) = 15, (problema b)) y procediendo an´logamente obtenemos
a
n (B ∩ Ac ∩ C c ) = 35, n (C ∩ Ac ∩ B c ) = 20, de donde
n [(A ∩ B c ∩ C c ) ∪ (B ∩ Ac ∩ C c ) ∪ (C ∩ Ac ∩ B c )] = 15 + 35 + 20
= 70.
Observaci´n 2.4.6. Usando un diagrama de Venn-Euler podemos solucionar el problema
o
planteado
U
A B
20
15 35
10
15 5
20
C 30
El diagrama se construy´, iniciando el “llenado” desde el centro, es decir, desde
o
n(A ∩ B ∩ C). Notemos que se puede leer inmediatamente que n (B ∩ Ac ∩ B c ) = 35.
2.5. EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 2.1. Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, a, b, c, d, e, f, g, h},
A = {3, 5, 7, c, d} , B = {2, 3, 4, 5, b, c, e} , C = {2, 6, 7, a, b, g} .
Determine
a) (A ∪ B c ) ∩ (C − A)c .
b) (A ∩ C) ∪ (B − Ac )c .
c) Las operaciones para obtener
i) {6, 2, b},
ii) {7},
iii) {3, 4, 5, c, d, e}.

12. 24 UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA
Ejercicio 2.2. Demuestre
a) A − B = A ∩ B c .
b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
c) (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
Ejercicio 2.3. Usando Algebra de Conjuntos, verifique si
a) (A − B) ∪ (A − B c ) = A.
b) B ∩ [(B c ∪ Ac ) ∪ (A ∪ B)c ] = B − A.
c) [(A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B) ∪ (Ac ∩ B c )] = Ac ∪ B.
d) A − {A − [(A − B) ∪ A]} = A.
e) [A − (A ∩ B)] ∩ [B − (A ∩ B)] = ∅.
Ejercicio 2.4. En un universo de 30 elementos se consideran dos conjuntos, A y B tales
que
n(A ∩ B) = 10 , n(B) = 18 , n (B c ∩ A) = 5.
Determine
a) n(B − A).
b) n(A).
c) n(AC ∩ B C ).
Resp. a) 8, b) 15, c) 7.
Ejercicio 2.5. Demuestre que
a) n(A∆B) = n(A) + n(B) − 2n(A ∩ B).
b) n((A∆B)∪C) = n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩C)−n(B∩C)−2n(A∩B)+2n(A∩B∩C).
Ejercicio 2.6. En un universo U se consideran tres conjuntos A, B, C tales que
A∩C =∅, n(A ∩ B) = 5 , n (Ac ) = 25 , n(C) = 13 ,
n(B − A) = 15 , n(B ∩ C) = 9 , n(A ∪ B ∪ C) = 27
Determine
a) n(B).
b) n(A).

13. CAP´
ITULO 2 NOCIONES BASICAS DE TEOR´ DE CONJUNTOS
´ IA 25
c) n(U ).
Resp. a) 20, b) 8, c) 33.
Ejercicio 2.7. En un universo de 45 elementos se consideran tres conjuntos A, B, C tales
que
A ∩ C = ∅ , B ∩ C = ∅ , n(A ∩ B) = 4 , n(C − B) = 10
n [(A ∪ B ∪ C)c ] = 16 , n(B − C) = 12.
Calcule
a) n(A).
b) n(B).
c) n(B − A).
d) n [(B − A) − C].
Resp. a) 11, b) 12, c) 8, d) 8.
Ejercicio 2.8. Una encuesta acerca de las preferencias de 180 personas sobre tres marcas
A, B, C arroj´ los siguientes resultados
o
n[(B ∩ C) − A] = 25 , n(A ∩ B) = 15 , n [((A ∩ B) − C)c ] = 175 , n(A − B) = 50 ,
n[C − (A ∪ B)] = 35 , n[(A ∩ C) − B] = 20 , n [(A ∪ B ∪ C)c ] = 40.
Determine el n´mero de personas que
u
a) compran s´lo B. Resp. 15.
o
b) compran s´lo dos marcas. Resp. 50.
o
c) no compran de las marcas consultadas. Resp. 40.
Ejercicio 2.9. Se encuest´ a 100 personas sobre sus preferencias televisivas en relaci´n a
o o
los canales A y B. Los resultados fueron: 65 no ven el canal A, 45 no ven el canal B y 50
de ellos ven el canal A o B pero no ambos. Determine la cantidad de encuestados que ven
ambos canales.
Resp. 20.