Aop conjuntos

ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO
F I M Esc. De Ingeniería Mecánica
ALGEBRA SUPERIOR - CONJUNTOS ANALORPE

DIAGRAMA DE VENN DE UNA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, su DIFERENCIA estará representada por
el área rellenada de color claro:
LA DIFERENCIA A - B
Gráficamente esta área cubre la superficie que: pertenece al conjunto “A”
,pero no pertenece el conjunto “B”.

Mientras que:
LA DIFERENCIA (B – A)
Nuevamente el área de color claro , que esta a la derecha, representar la
diferencia que no es mas que los elementos que: pertenecen al conjunto “ B ”
,pero no pertenece el conjunto “ A ”.

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA DE CONJUNTOS
1.- A - A  A
2.- A - B  B = 
3.- (A - B )  ( B  C ) = 
4.- A  B = ( A - B )  ( A  B )  ( B – A )
5.- A -  = A
6.-  - A = 
7.- Si A B entonces A – B =

1.- A - A  A
Esta propiedad se basa en lo siguiente.
A – A =  Considerando que el conjunto vacio es subconjunto de
todo conjunto se tiene   A
A
EXPLICACION: Si a cualquier conjunto
se lo retira (resta todos sus
elementos), da como resultado un
conjunto vacio.

2.- A - B  B = 
Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4 }
A – B = { 1, 3, 5 } y cuando busco interseccion con B se tiene
resultado conjunto vacio, por que entre los dos no hay ningun
elemento comun
EXPLICACION: Entre los sectores café y
amarillo no hay elementos comunes, por
lo tanto su interseccion es el conjunto
vacio

3.- (A - B )  ( B  C ) = 
Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } B = { 1, 3, 5 } C = { 1, 5}
A – B = { 2, 4 } ( B  C ) = { 1, 5 }
Al buscar la interseccion entre estos dos resultados no hay ningun
elemento comun , resultado final conjunto vacio

4.- A  B = ( A - B )  ( A  B )  ( B – A )
Sea: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } B = { 1, 3, 5, 8, 9 }
A  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9}
A – B = { 2, 4, 6, 7 } ( A  B ) = { 1, 3, 5 } B – A = { 8, 9 }
(A – B)  ( A  B )  (B – A) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 }
Al unir estos ultimos tres
resultados se tiene
nuevamente el resultado de
la union de los dos
conjuntos

5.- A -  = A
Sea: A = { 2, 4, 6, 7, 10, 12 }
A –  = { 2, 4, 6, 7, 10, 12 }
EXPLICACION: Si a cualquier conjunto
no se lo retira ninguno de sus
elementos, da como resultado el
mismo conjunto.

6.-  - A = 
Sea:  = { }
A = { 3, 6, 8, 10 }
 - A = 
EXPLICACION: Si a un conjunto vacio
, que no tiene elementos se le
pretende retirar algun o algunos
elementos no es posible por que el
primer conjunto no tiene elementos,
entonces da resultado el conjunto
vacio.

7.- Si A  B Entonces A- B = A
Sea: A = { a, b, c, d, e, f } B = { b, e, f, g, h }
Operando tengo: A  B = { b, e, f } A -B = { a, c, d }

Ejercicio 4.- Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,}
A = { 1, 2, 3, 4} B = { 1, 4, 13, 14} C = { 2, 8} D = { 10, 11, 12}
Hallar:
a) A  B
b) A  C
c) B  D
d) D  C
e) A c
f) A c  B
g) A c  B c
h) (A  B ) c
i) A c  B c
j) ( A  B ) c
k) ( A  C ) c
l) ( A  B ) - D
ll) (A  B ) - D
m) ( A  B )  ( B  A )
n) ( A  B) - ( A  B )
o) (A – B )  ( B – A )

SOLUCION:
a) A  B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }
A = { 1, 2, 3, 4 } B = { 1, 4, 13, 14 }
Utilizando el diagrama de Venn se tiene

b) A  C = { 1, 2, 3, 4, 8 }
A = { 1, 2, 3, 4 } C = { 2, 8 }

c) B  D = { 1, 4, 10, 11, 12, 13, 14 }
B = { 1, 4, 13, 14 } D = { 10, 11, 12 }

d) D  C = { 2, 8, 10, 11, 12 }
D = { 10, 11, 12 } C = { 2, 8 }

e) A c = { 5,6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } A = { 1, 2, 3, 4 }

f) A c  B = { 1, 4, 5,6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 } B = { 1, 4, 13,14}

g) A c  B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }

h) ( A  B ) c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }
A  B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }
Entonces : ( A  B ) c Sera igual U – (A  B = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }

i) A c  B c = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 }
A c = { 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 }
B c = { 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 }

j) ( A  B ) c = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14 }
Si : A  B = { 1, 4 }
( A  B ) c = U – ( A  B ) = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14 }

k) ( A  C ) c = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12,13, 14 }
Si : A  C = { 1, 2, 3, 4, 8 }
( A  C ) c = U - ( A  C ) = { 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12,13, 14 }

l) ( A  B ) – D = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }
Si : A  B = { 1, 2, 3, 4, 13, 14 }
D = { 10, 11, 12 }

l l) (A  B ) - D = { 1, 4 }
Si : A  B = { 1, 4 }
D = { 10, 11, 12 }

m) (A - B )  ( B – A ) = { 2, 3, 13, 14 }
Si : A - B = { 2, 3 } B – A = { 13, 14 }
Cuando consideramos 2 conjuntos, y se tiene la diferencia de estos en los
dos sentidos, en forma de union se da lugar a un resultado que se lo conoce
con el nombre de Diferencia Simetrica

n) ( A  B) - ( A  B ) = { 2, 3, 13, 14 }
Si : A  B = { 1, 2, 3,4, 13, 14 }
A  B = { 1, 4 }

o) ( A - B)  ( B - A ) = { } Conjunto Vacio
Donde: A - B = { 2, 3 }
B - A = { 13, 14 }

De los 180 Profesores que tiene una Universidad, 135 tienen su Doctorado, 145 son
Investigadores, de los Doctores 114 son Investigadores, entonces cual de los siguientes
enunciados son verdaderos
A = {x/x son Doctores}
B = {x/x son Investigadores}
Para desarrollar tomemos
los sectores que se
representa con letras
minusculas
a + b = 135 son doctores
b +c = 145 son Investigadres
b = 114 son doct. e Invest
d = ? No son doctores Tampoco Investigadores

SOLUCION:
En primer lugar partimos del total de profesores, tenemos un numero de Doctores
(135), otro de investigadores (145), y un grupo que son a la vez doctores e
investigadores (114), a partir de este ultimo dato: se tendra el numero de solo
doctores y solo investigadores, mientras que al sumar tanto doctores como
investigadores y restando del Universo se tiene el numero de profesores que no son
Investigadores ni doctores.
A = 135 (Doctores) A = a + b pero: b = 114 a = A – b
a = 135 – 114 = 21
Entonces se dice que a = 21 corresponde a profesores solo doctores
(sector amarillo)
B = 145 (Investigadores) B = b + c pero: b = 114 c = B – b
c = 145 – 114 = 31
Entonces se dice que c = 31 corresponde a profesores solo Investigadores
(sector verde)

Al sumar los sectores ( a + b + c ) = 21 + 114 + 31 = 166 Corresponde a profesores
con preparacion a nivel de doctores e investigadores.
Aplicando algebra de conjuntos tenemos:
( A – B )  ( A  B )  ( B - A ) = 21 + 114 + 31 = 166
Para determinar el numero de profesores que no son: ni Doctores pero tampoco
estan en investigacion sera: U – ( A  B ) = 180 – 166 = 14 ( solo profesores) = d
Si: 180 = a + b + c + d, entonces d = 180 - (a + b + c)
Tambien se tiene que: d = (A  B ) c = U - (A  B ) = 14 profesores ( sector lila)

Una vez realizado los calculos se tiene la siguiente solucion con el Diagrama de Venn
a = solo doctores
c= solo Investigadores
d = Profesores, no doctores,
tampoco Investigadores
b = doctores e investigadores

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