Este documento define conjuntos y describe sus operaciones básicas como la unión, intersección y diferencia. Explica que un conjunto es una colección de elementos que comparten alguna propiedad, y que pueden definirse explícita o implícitamente. También describe gráficamente conjuntos usando diagramas de Venn y resuelve problemas aplicando las operaciones de conjuntos.
Este documento define conjuntos y describe operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección y diferencia. También explica números reales, incluyendo sus propiedades de orden, integralidad e infinitud. Finalmente, cubre conceptos como desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
El documento resume conceptos matemáticos fundamentales como conjuntos, operaciones con conjuntos (unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica, producto cartesiano), números reales, valor absoluto y desigualdades. Explica que un conjunto agrupa elementos con una propiedad común y que existen operaciones para combinar conjuntos. Luego define números reales e introduce conceptos como valor absoluto y desigualdades, resaltando sus propiedades y cómo se representan.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades con valor absoluto. Define qué es un conjunto, sus representaciones y operaciones como unión, intersección y diferencia. Explica los diferentes tipos de números reales y cómo expresar desigualdades matemáticas. Por último, introduce el concepto de valor absoluto y cómo resolver desigualdades que lo involucren.
Este documento proporciona información sobre conjuntos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto. Explica que un conjunto es una colección de elementos que comparten una propiedad común, y describe operaciones como unión, intersección y diferencia de conjuntos. También define números reales, propiedades de números reales, tipos de desigualdades y conceptos relacionados con el valor absoluto de un número.
Este documento define conceptos matemáticos fundamentales como conjuntos, números reales, operaciones con conjuntos, desigualdades, inecuaciones y valor absoluto. Explica que un conjunto es una colección de elementos y define operaciones como la unión y la intersección de conjuntos. También describe las propiedades y clasificaciones de los números reales, incluidos los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Finalmente, detalla el significado y resolución de desigualdades, inecuaciones y valor absoluto.
El documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos numéricos como N, Z, Q y R. Explica operaciones entre conjuntos como unión e intersección usando diagramas de Venn. Luego introduce desigualdades, inecuaciones de primer y segundo grado, intervalos y el valor absoluto. Finalmente explica propiedades del valor absoluto y cómo usarlo en desigualdades.
El documento define los conjuntos como colecciones de elementos que comparten alguna propiedad. Explica que los conjuntos pueden definirse de forma explícita o implícita y que sus elementos no están ordenados. Además, introduce algunas operaciones básicas con conjuntos como la unión.
Este documento presenta información sobre conceptos matemáticos básicos como conjuntos, números reales, operaciones con conjuntos, desigualdades, inecuaciones y valor absoluto. Define cada concepto y explica sus características y propiedades. También incluye ejemplos para ilustrar los diferentes temas.
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El documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos numéricos como N, Z, Q y R. Explica operaciones entre conjuntos como unión e intersección usando diagramas de Venn. Luego introduce desigualdades, inecuaciones de primer y segundo grado, intervalos y el valor absoluto. Finalmente explica propiedades del valor absoluto y cómo usarlo en desigualdades.
El documento define los conjuntos como colecciones de elementos que comparten alguna propiedad. Explica que los conjuntos pueden definirse de forma explícita o implícita y que sus elementos no están ordenados. Además, introduce algunas operaciones básicas con conjuntos como la unión.
Este documento presenta información sobre conceptos matemáticos básicos como conjuntos, números reales, operaciones con conjuntos, desigualdades, inecuaciones y valor absoluto. Define cada concepto y explica sus características y propiedades. También incluye ejemplos para ilustrar los diferentes temas.
NUMEROS REALES. FRANKLIN ADAMES.pdf.DEFINICION DE CONJUNTTTTTTTTTO. NUMEROS...adamesfranklin103
El documento habla sobre conceptos básicos de conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. También explica números reales, desigualdades y valor absoluto, incluyendo ejemplos de cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
El documento resume conceptos fundamentales sobre conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de objetos con una propiedad en común, y describe operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección y diferencia. Luego define los números reales como cualquier número en la recta numérica, incluyendo números racionales e irracionales. Finalmente, cubre propiedades de las operaciones con números reales y conceptos como desigualdades matemáticas y valor absoluto.
Este documento explica conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. También cubre propiedades de números reales como racionales e irracionales, desigualdades y valor absoluto. Define conjuntos, enumera sus elementos y grafica operaciones entre ellos usando diagramas de Venn.
Este documento presenta información sobre conjuntos matemáticos, operaciones con conjuntos, números reales, desigualdades y valor absoluto. Define qué son los conjuntos y tipos de conjuntos como finitos, infinitos, unitarios y vacíos. Explica operaciones como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. Describe los números reales y sus clasificaciones. Finalmente, introduce desigualdades y el concepto de valor absoluto junto con ejemplos de desigualdades con valor absoluto.
Números reales , Definición de conjuntos , Operaciones con conjunto, Números reales, Desigualdades, Definición de valor absoluto, Desiguales con valor absoluto, Revisión bibliográfica, La recta real, Propiedades de los números reales, Propiedades de las igualdades
El documento define los conceptos de conjunto y número real. Un conjunto es una colección de objetos con características similares, como números, colores o letras. Los números reales incluyen números racionales e irracionales y pueden expresarse como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy. El valor absoluto de un número es igual al número cuando es positivo y su opuesto cuando es negativo.
Este documento presenta diferentes tipos de conjuntos numéricos como los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. También define la desigualdad matemática y los diferentes signos que se utilizan para expresar relaciones como menor que, mayor que, menor o igual que y mayor o igual que.
NUMEROS REALES, CONJUNTOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO.solangelbrito
PNF CONTADURIA
DEFINICION DE CONJUNTOS.
OPERACIONES CON CONJUNTOS.
NUMEROS REALES.
DESIGUALDADES.
DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO.
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO.
CONJUNTOS, NUMEROS REALES, VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES.docxrodriguezsgabrield20
Este documento resume conceptos fundamentales sobre conjuntos numéricos y operaciones entre ellos. Explica que los conjuntos numéricos clasifican los números según sus características y que son creaciones abstractas de la mente humana. Luego describe las operaciones básicas entre conjuntos - unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica - ilustrando cada una con ejemplos concretos. Por último, introduce conceptos como complemento de conjunto y desigualdades, incluyendo desigualdades con valor absoluto.
El documento explica conceptos básicos sobre conjuntos, operaciones con conjuntos como intersección y diferencia, números reales, desigualdades matemáticas, valor absoluto y desigualdades de valor absoluto. Define qué son conjuntos y sus elementos, y describe operaciones como unión, intersección, diferencia y complemento. Explica la naturaleza de los números reales, desigualdades, valor absoluto y cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
Presentacion de matematicas numeros realesDayrelisOrtiz
Este documento trata sobre los números reales. Explica que un conjunto puede tener elementos finitos o infinitos, y define operaciones básicas con conjuntos como la unión. Luego describe características clave de los números reales como su orden, representación en la recta numérica y uso de la letra R. Por último, introduce conceptos como el valor absoluto y desigualdades, mostrando cómo representar distancias y relaciones entre expresiones algebraicas.
Este documento define conceptos básicos de conjuntos y números reales. Explica que un conjunto está formado por elementos que comparten propiedades, y que pueden ser finitos o infinitos. Describe operaciones entre conjuntos como la unión, intersección y diferencia. Luego, introduce los números reales como un conjunto infinito que incluye números racionales e irracionales, y cubre operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Por último, define conceptos como desigualdad, valor absoluto y ejercicios relacionados.
Presentacion sobre Definición de Conjuntos y :
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con Valor Absoluto
El documento presenta información sobre conjuntos matemáticos. Define un conjunto como una colección de elementos que comparten alguna propiedad. Explica dos métodos para definir conjuntos, el método de extensión que lista los elementos, y el método de comprensión que describe la propiedad que cumplen los elementos. También describe operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
El documento define conjuntos y describe sus propiedades fundamentales. Explica que un conjunto es una agrupación de elementos que comparten características, y que estos elementos pueden ser objetos como números o personas. Describe cómo se representan gráficamente los conjuntos usando corchetes y comas. Luego, introduce las operaciones básicas con conjuntos como la unión y la intersección.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos, números reales, operaciones entre conjuntos y números reales, desigualdades y valor absoluto. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, y que los conjuntos se designan con letras mayúsculas mientras que los elementos con minúsculas. También define operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y presenta propiedades de los números reales como conmutatividad, asociatividad e identidad. Finalmente, explica desigualdades y el concepto de valor absol
Este documento presenta conceptos básicos de conjuntos y números reales. Define conjuntos mediante enumeración o propiedades comunes de sus elementos. Explica operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce diferentes tipos de números reales y conceptos como valor absoluto, desigualdades y entornos.
Este documento presenta una clasificación de los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos. También explica operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección y diferencia. Por último, define conceptos como desigualdades, valor absoluto y números reales en 3 oraciones o menos.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
NUMEROS REALES. FRANKLIN ADAMES.pdf.DEFINICION DE CONJUNTTTTTTTTTO. NUMEROS...adamesfranklin103
El documento habla sobre conceptos básicos de conjuntos y operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. También explica números reales, desigualdades y valor absoluto, incluyendo ejemplos de cómo resolver desigualdades de valor absoluto.
El documento resume conceptos fundamentales sobre conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de objetos con una propiedad en común, y describe operaciones básicas con conjuntos como la unión, intersección y diferencia. Luego define los números reales como cualquier número en la recta numérica, incluyendo números racionales e irracionales. Finalmente, cubre propiedades de las operaciones con números reales y conceptos como desigualdades matemáticas y valor absoluto.
Este documento explica conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. También cubre propiedades de números reales como racionales e irracionales, desigualdades y valor absoluto. Define conjuntos, enumera sus elementos y grafica operaciones entre ellos usando diagramas de Venn.
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El documento define los conceptos de conjunto y número real. Un conjunto es una colección de objetos con características similares, como números, colores o letras. Los números reales incluyen números racionales e irracionales y pueden expresarse como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy. El valor absoluto de un número es igual al número cuando es positivo y su opuesto cuando es negativo.
Este documento presenta diferentes tipos de conjuntos numéricos como los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica que los números reales son la unión de los números racionales e irracionales. También define la desigualdad matemática y los diferentes signos que se utilizan para expresar relaciones como menor que, mayor que, menor o igual que y mayor o igual que.
NUMEROS REALES, CONJUNTOS, DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO.solangelbrito
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OPERACIONES CON CONJUNTOS.
NUMEROS REALES.
DESIGUALDADES.
DEFINICION DE VALOR ABSOLUTO.
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO.
CONJUNTOS, NUMEROS REALES, VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES.docxrodriguezsgabrield20
Este documento resume conceptos fundamentales sobre conjuntos numéricos y operaciones entre ellos. Explica que los conjuntos numéricos clasifican los números según sus características y que son creaciones abstractas de la mente humana. Luego describe las operaciones básicas entre conjuntos - unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica - ilustrando cada una con ejemplos concretos. Por último, introduce conceptos como complemento de conjunto y desigualdades, incluyendo desigualdades con valor absoluto.
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Presentacion de matematicas numeros realesDayrelisOrtiz
Este documento trata sobre los números reales. Explica que un conjunto puede tener elementos finitos o infinitos, y define operaciones básicas con conjuntos como la unión. Luego describe características clave de los números reales como su orden, representación en la recta numérica y uso de la letra R. Por último, introduce conceptos como el valor absoluto y desigualdades, mostrando cómo representar distancias y relaciones entre expresiones algebraicas.
Este documento define conceptos básicos de conjuntos y números reales. Explica que un conjunto está formado por elementos que comparten propiedades, y que pueden ser finitos o infinitos. Describe operaciones entre conjuntos como la unión, intersección y diferencia. Luego, introduce los números reales como un conjunto infinito que incluye números racionales e irracionales, y cubre operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Por último, define conceptos como desigualdad, valor absoluto y ejercicios relacionados.
Presentacion sobre Definición de Conjuntos y :
Operaciones con conjuntos.
Números Reales
Desigualdades.
Definición de Valor
Absoluto
Desigualdades con Valor Absoluto
El documento presenta información sobre conjuntos matemáticos. Define un conjunto como una colección de elementos que comparten alguna propiedad. Explica dos métodos para definir conjuntos, el método de extensión que lista los elementos, y el método de comprensión que describe la propiedad que cumplen los elementos. También describe operaciones básicas con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento.
El documento define conjuntos y describe sus propiedades fundamentales. Explica que un conjunto es una agrupación de elementos que comparten características, y que estos elementos pueden ser objetos como números o personas. Describe cómo se representan gráficamente los conjuntos usando corchetes y comas. Luego, introduce las operaciones básicas con conjuntos como la unión y la intersección.
Este documento presenta conceptos básicos sobre conjuntos, números reales, operaciones entre conjuntos y números reales, desigualdades y valor absoluto. Explica que un conjunto es una colección de objetos llamados elementos, y que los conjuntos se designan con letras mayúsculas mientras que los elementos con minúsculas. También define operaciones entre conjuntos como unión, intersección y diferencia, y presenta propiedades de los números reales como conmutatividad, asociatividad e identidad. Finalmente, explica desigualdades y el concepto de valor absol
Este documento presenta conceptos básicos de conjuntos y números reales. Define conjuntos mediante enumeración o propiedades comunes de sus elementos. Explica operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce diferentes tipos de números reales y conceptos como valor absoluto, desigualdades y entornos.
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Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinaria). UCLMJuan Martín Martín
Examen de Selectividad de la EvAU de Geografía de junio de 2023 en Castilla La Mancha. UCLM . (Convocatoria ordinaria)
Más información en el Blog de Geografía de Juan Martín Martín
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
Este documento presenta un examen de geografía para el Acceso a la universidad (EVAU). Consta de cuatro secciones. La primera sección ofrece tres ejercicios prácticos sobre paisajes, mapas o hábitats. La segunda sección contiene preguntas teóricas sobre unidades de relieve, transporte o demografía. La tercera sección pide definir conceptos geográficos. La cuarta sección implica identificar elementos geográficos en un mapa. El examen evalúa conocimientos fundamentales de geografía.
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de popular para la educación Universitaria
Universidad Politécnica territorial “Andrés Eloy Blanco”
Presentación
Prof.:
Larry Segueri
Estudiante:
Víctor León C.I: 31.132.420
2. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados
por compartir alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser
posible discernir si un elemento arbitrario está o no en él.
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos los elementos
de los que consta entre llaves,
A= {1,2,3,4,5}, A= {1,2,3,4,5},
o implícita, dando una o varias características que determinen si un elemento dado
está o no en el conjunto,
A= {numeros naturales del 1 al 5}.
Los elementos de un conjunto no están ordenados, aunque vengan especificados
como una lista, por tanto, A= {3,1,2,5,4}. En una definición explícita no se pueden
repetir elementos, así que {1,1,2,3,4,5} sería una manera incorrecta de expresar el
conjunto A.
Conjuntos de números
• N, los números naturales: 1, 2, 3, …
• N0 , los números naturales más el cero: 0, 1, 2, 3, …
• Z, los números enteros: …, -2, -1, 0, 1, 2, …
• Q, los números racionales
𝑝
𝑞
⁄
• R, los números reales.
• C, los números complejos.
Gráficamente se utiliza el diagrama de Venn, en homenaje a su creador, el
británico John Venn, que son líneas circulares u ovoides cerradas, donde se
disponen los elementos, señalados mediante puntos. El conjunto A mencionado
quedaría representado así:
3. Si definimos un conjunto por extensión, debemos enumerar cada uno de sus
elementos. En el caso de las vocales, se deben nombrar todas ellas: a, e, i, o, u,
como lo hemos hecho anteriormente. Si lo definimos por comprensión nombramos
solamente la propiedad o característica que los aglutina. En el mismo caso
diríamos A= {las vocales} o A= {X/X es una vocal} que corresponde leer: A es el
conjunto de X, tales que X es una vocal.
Se dice que un conjunto A está incluido en otro B, cuando todos los elementos de
A pertenecen a B.
Si dos conjuntos están formados por los mismos elementos se dice que son
conjuntos iguales.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
• Unión de conjuntos
Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de
A o de B, es decir:
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B= {b, d, r, s}
Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Luego,
4. • Intersección de conjuntos
Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos
que son elementos de A y de B, es decir:
En la imagen la intersección es la parte obscura de la misma.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y
C = {a, t, u, v}.
Encuentre:
Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos
conjuntos, se tiene que:
Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo
anterior, se denominan Conjuntos disjuntos.
5. • Diferencia de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto:
Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A.
En el diagrama de Venn A-B está representado por la zona rayada.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces:
A – B = {a} y B – A = {d, e}.
Asimismo, se llama DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B al conjunto
6. En el diagrama de Venn la diferencia simétrica está representada por las regiones
menos oscuras. (Lo que no tienen en común).
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}.
Entonces
• Complemento de un conjunto
Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A '
formado por todos los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A
con respecto a U. Simbólicamente se expresa:
Ejemplos:
a) Sean U = {m, a, r, t, e} y A = {a, e }
Su complemento de A es: A' = {m, t, r}
b) Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = { e, i, a }
7. Determinado por extensión tenemos
U = {a, r, i, t, m, e, c} A = { e, i, a }
Su complemento es: A' = {r, t, m, c}
Problemas con operaciones con conjuntos
Mediante diagramas de Venn y las definiciones y aplicación de las distintas
operaciones con conjuntos se pueden resolver problemas, que nos preparan en el
campo de la lógica formal.
Ejemplo:
A una fiesta llegaron 150 personas, de las cuales 75 cantan, 85 bailan, 20 no
cantan ni bailan. ¿Cuántas personas cantan y bailan?
Solución: La pregunta lleva implícita una conectiva lógica y, que es parte
importante de la definición formal de la operación intersección. Por lo tanto,
podemos representar el problema de la siguiente manera:
8. NÚMEROS REALES DESIGUALDADES
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente entre
dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que ≠,
mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥,
resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole,
se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores
desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
• mayor que >
• Menor que <
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es
igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
• Menor que <
• Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
9. • Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien,
amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros.
El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la
derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3𝑥 + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de
las expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
• Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
• Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad
se mantiene.
• Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la
desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las
siguientes propiedades:
• Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo,
la desigualdad cambia de sentido.
• Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son
diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no
tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser
una inecuación. Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una
inecuación puesto que no tiene incógnitas.
10. DEFINICIÓN DE VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente
del signo que le preceda.
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de
eliminar el signo correspondiente a este.
Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que
deben cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el
valor absoluto de x:
|𝒙| = 𝒙 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En
cambio, el valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con
un signo negativo delante. Es decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es −(−10) = 10. Así, debemos destacar que el
valor absoluto siempre es positivo.
Propiedades del valor absoluto
Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes:
• El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el
valor de -19 y 19 es el mismo: 19.
• El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de
los valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que:
|𝒙 + 𝒚| ≤ |𝒙| + |𝒚|
Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos:
|8 + 9| ≤ |8| + |9|
|17| ≤ 8 + 9
17 ≤ 17
|12 − 25| ≤ |12| + | − 25|
| − 13| ≤ 12 + 25
13 ≤ 37
11. |16 + 31 − 21| ≤ |16| + |31| + | − 21|
|26| ≤ 16 + 31 + 21
26 ≤ 68
• Otra propiedad es aquella a la que denominamos propiedad multiplicativa.
Esta nos indica que el valor absoluto de un producto es igual al producto de
los valores absolutos de los factores. Es decir, se cumple lo siguiente:
|𝒙𝒚| = |𝒙|. |𝒚|
Lo anterior podemos comprobarlo en los siguientes ejemplos:
|3 × 4| = |3|𝑥|4|
|12| = 3 × 4
12 = 12
|6𝑥 − 5| = |6|𝑥| − 5|
| − 30| = 6 × 5
30 = 30
• Como contraparte de la propiedad multiplicativa, tenemos aquella de
preservación de la división, la cual nos indica que el valor absoluto de una
división es igual al cociente de los valores absolutos de los mismos
elementos de dicha operación. Esto, siempre que el divisor no sea cero. Es
decir, se cumple que:
|𝒙/𝒚| = |𝒙|/|𝒚|
Podemos verlo en algunos ejemplos:
|60/5| = |60|/|5|
|12| = 60/5
12 = 12
| − 87/3| = | − 87|/|3|
| − 29| = 87/3
12. 29 = 29
Valor absoluto en una gráfica
A continuación, veamos cómo quedaría un ejemplo del valor absoluto en un plano
cartesiano.
En este caso, tenemos una simple función y=|x|, y observamos que el valor de y
siempre será positivo, independientemente del valor de x.
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
• Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | 𝑥 | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, 𝑥 > −4 Y 𝑥 < 4. El conjunto solución es
13. .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | 𝑎 | < 𝑏 ,
entonces 𝑎 < 𝑏 Y 𝑎 > − 𝑏 .
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique.
| 𝑥 – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta .
𝑥 – 7 < 3 𝑌 𝑥 – 7 > – 3
– 3 < 𝑥 – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
−3 + 7 < 𝑥 − 7 + 7 < 3 + 7
4 < 𝑥 < 10
La gráfica se vería así:
Ejemplo 2:
Resuelve la desigualdad ∣ 𝑥 + 4 ∣ −6 < 9
Despeja el valor absoluto:
∣ 𝑥 + 4 ∣ −6 < 9
∣ 𝑥 + 4 ∣< 9 + 6
∣ 𝑥 + 4 ∣< 15
14. ¿Es el número en el otro lado negativo? No, es un número positivo, 15.
Forma una desigualdad compuesta: El signo de desigualdad en este problema es
un signo menor que, por lo que formamos una desigualdad de tres partes:
−15 < 𝑥 + 4 < 15
Resuelve la desigualdad:
−15 − 4 < 𝑥 < 15 − 4
−19 < 𝑥 < 11
• Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | 𝑥 | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, 𝑥 < −4 𝑂 𝑥 > 4. El conjunto solución es
.
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a
considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | 𝑎 | > 𝑏,
entonces 𝑎 > 𝑏 𝑂 𝑎 < − 𝑏 .
Ejemplo 3:
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
15. La gráfica se vería así:
Ejemplo 4:
Resuelve la desigualdad
∣ 2𝑥 − 1 ∣ −7 ≥ −3
Despeja el valor absoluto:
∣ 2𝑥 − 1 ∣ −7 ≥ −3
∣ 2𝑥 − 1 ∣≥ −3 + 7
∣ 2𝑥 − 1 ∣≥ 4
¿Es el número en el otro lado negativo? No, es un número positivo, 4.
Forma una desigualdad compuesta: El signo de desigualdad en este problema es
un signo mayor/igual que, por lo que formamos una desigualdad compuesta con la
palabra “o”:
2𝑥 − 1 ≤ −4 𝑜 2𝑥 − 1 ≥ 4
Resuelve las desigualdades:
2𝑥 − 1 ≤ −4 𝑜 2𝑥 − 1 ≥ 4
2𝑥 ≤ −3 𝑜 2𝑥 ≥ 5
𝑥 ≤ −
3
2
𝑜 𝑥 ≥
5
2