Unidad 2 - Actividad 1 Números Reales-Conjuntos y Valor Absoluto

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD POLITECNICA TERRITORIAL “ANDRES ELOY BLANCO”
BARQUISIMETO ESTADO LARA
Especialidad: PNF en Administración
Autor(a): Dennisse Pérez
Sección: AD0302
Marzo, 2021

2. Un conjunto o colección lo
forman unos elementos de la
misma naturaleza, es decir,
elementos diferenciados entre sí
pero que poseen en común ciertas
propiedades o características, y
que pueden tener entre ellos, o con
los elementos de otros conjuntos,
ciertas relaciones.
Un conjunto puede tener un
número finito o infinito de
elementos, en matemáticas es
común denotar a los elementos
mediante letras minúsculas y a
los conjuntos por letras
mayúsculas, así por ejemplo:
C = {a, b, c, d, e, f, g, h}

3. También
conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los
conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos
las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan. Es decir
dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los
conjuntos A y B será otro conjunto formado por
todos los elementos de A, con todos los elementos
de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se
usa para indicar la operación es: ∪.
Ejemplo
Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5,6,7,} y
B={8,9,10,11} la unión de
estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
11}. Usando diagramas de
Venn se tendría lo
siguiente:
Permite formar un conjunto, sólo con los
elementos comunes involucrados en la
operación. Dados dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y B, estará
formado por los elementos de A y los elementos
de B que sean comunes, los elementos no
comunes A y B, será excluidos. El símbolo que
se usa para indicar la operación es: ∩.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

4. Permite formar un conjunto, en donde
de dos conjuntos el conjunto
resultante es el que tendrá todos los
elementos que pertenecen al primero
pero no al segundo. Dados dos
conjuntos A y B, la diferencia de los
conjuntos entra A y B, estará formado
por todos los elementos de A que no
pertenezcan a B. El símbolo que se
usa para esta operación es el mismo
que se usa para la resta: -.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos
será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Es la operación que nos permite formar
un conjunto, en donde de dos conjuntos
el conjunto resultante es el que tendrá
todos los elementos que no sean
comunes a ambos conjuntos. Es decir
dados dos conjuntos A y B, la diferencia
simétrica estará formado por todos los
elementos no comunes a los conjuntos A
y B. El símbolo que se usa para indicar
la operación de diferencia simétrica es
el siguiente: △.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la
diferencia simétrica de estos conjuntos será A △
B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

5. Permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no
están en el conjunto. Dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal
pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el
complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como
esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará
formado por los siguientes elementos
A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:
Ejemplo
Dado el conjunto Universal U={x/x estudiantes
de un colegio} y el conjunto V={x/x estudiantes
que juegan voley}, el conjunto V' estará
formado por los siguientes elementos V'={x/x
estudiantes que no juegan voley}. Usando
diagramas de Venn se tendría lo siguiente:

6. La propiedad de tener expansión decimal periódica
para los racionales y la propiedad de tener expansión decimal no periódica
para los irracionales define dos tipos de números muy distintos. Lo que significa
que un número real es racional o irracional, nunca ambos.
Son aquellos números que tienen expansión decimal
periódica (3 = 3,0000000….) o tienen expansión decimal no
periódica (2 =1,4142135623730….).
Ejemplos:
a) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
b) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
c) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
d) 1,01001000100001000001000000100000001….
e) π también es real.
Los ejemplos a y b tienen expansión decimal
periódica y los ejemplos c, d y e tienen
expansión decimal no periódica. Los
números con expansión decimal periódica
se llaman números Racionales
(denotados por Q) y los números con
expansión decimal no periódica se llaman
Irracionales (denotados por I). En
consecuencia a y b son números racionales
y c, d y e son números irracionales.

7. PROPIEDAD OPERACIÓN ¿QUÉ DICE? EJEMPLO
Conmutativa Suma y Resta El orden al sumar o
multiplicar reales no
afecta el resultado.
2+8 = 8+2
Asociativa Suma y Multiplicación Puedes hacer diferentes
asociaciones al sumar o
multiplicar reales y no
se afecta el resultado.
7+(6+1)=(7+6)+1
Identidad Suma y Multiplicación Todo real sumado a 0 se
queda igual; el 0 es la
identidad aditiva. Todo
real multiplicado por 1
se queda igual; el 1 es la
identidad
multiplicativa.
-11 + 0 = -11
17 x 1 = 17
Inversos Suma y Multiplicación La suma de opuestos es
cero. El producto de
recíprocos es 1.
15+ (-15) = 0
1/4(4)=1
Distributiva Suma respecto a
Multiplicación
El factor se distribuye a
cada sumando.
2(x+8) = 2(x) + 2(8)

8. PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES
PROPIEDAD ¿QUÉ DICE? EJEMPLOS
Reflexiva Establece que toda
cantidad o expresión es
igual a sí misma.
2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x
Simétrica Consiste en poder
cambiar el orden de los
miembros sin que la
igualdad se altere.
Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11
Si a - b = c, entonces c = a – b
Si x = y, entonces y = x
Transitiva Enuncia que si dos
igualdades tienen un
miembro en común los
otros dos miembros
también son iguales.
Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5
Si x + y = z y a + b = z, entonces x + y = a + b
Si m = n y n = p, entonces m = p
Uniforme Establece que si se
aumenta o disminuye la
misma cantidad en
ambos miembros, la
igualdad se conserva.
Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)
Si a = b, entonces a + x = b + x
Cancelativa En una igualdad se
pueden suprimir dos
elementos iguales en
ambos miembros y la
igualdad no se altera.
Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12

9. En matemática, son aquellas proposiciones que relacionan dos
expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata
de una proposición de relación entre dos elementos diferentes,
ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien
menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de
desigualdad debe ser expresada con diferente signo
y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente
según su naturaleza.
Desigual
a:
≠
Mayor
que:
>
Menor
que:
<
Mayor o
igual que:
≥
Menor o
igual que:
≤
Ejemplo:
A > B
4x – 2 > 9
Lo leeríamos diciendo que “cuatro
veces nuestra incógnita (x) menos
dos es superior a nueve”. Siendo el
elemento 4x-2 el elemento A y 9 el
elemento B.

10. Es el valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir
que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud
numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo, es decir,
el valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su
signo.
Ejemplo:
El caso del valor absoluto 4.
Este es el valor absoluto tanto de +4 (4
positivo) como de -4 (4 negativo). El
valor absoluto es el mismo en el
número positivo y en el número
negativo: en este caso, 4.
IMPORTANTE: el valor absoluto se
escribe entre dos barras verticales
paralelas; por lo tanto, la notación
correcta es |4|.

11. Una desigualdad de valor absoluto es
una desigualdad que tiene un
signo de valor absoluto con una
variable dentro.
Ejemplo 1:
La desigualdad |x| < 4 significa que la
distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4.
El conjunto solución es:
Ejemplo 2:
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad,
necesitamos descomponerla en una
desigualdad compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:

12. La desigualdad | x | > 4 significa que la
distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Ejemplo 1:
Así, x < -4 O x > 4.
El conjunto solución es:
Ejemplo 2:
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada
desigualdad.
La gráfica se vería así:

13. Conoce3000. (2019). MATEMATICA I. [Libro en línea]. Disponible en: https://www.conoce300
0.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10-03-OperacionesConjuntos.php
[Consulta: 2021, marzo 2]
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES. (s.f.). NOCIONES
PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS. [Información en línea]. Disponible en: http://www
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2021, marzo 2]
Monterey Institute. (s.f.). Ecuaciones, Desigualdades y Valor Absoluto. [Información en línea].
Disponible en: https://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGR
OUP-9-14_RESOURCE/U10_L3_T2_text_final_es.html [Consulta: 2021, marzo 3]
Varsity Tutors. (2007). Desigualdades de valor absoluto. . [Información en línea]. Disponible
en: https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-
inequalities [Consulta: 2021, marzo 3]