Prueba de evaluación Geografía e Historia Comunidad de Madrid 4ºESO
Conociéndote Cónica.ppsx
1.
2. Por el camino de los griegos
Necesitamos…
Un cono
Un plano
Observar su intersección
3. Superficie cónica circular recta
Supongamos una línea recta vertical, t, intersecada por otra recta, g, que la corta en un
punto Q.
Generación de la superficie cónica circular recta
t
g
Q
Consideremos que Q está fijo, y que g rota alrededor de Q.
Queda definida una superficie de revolución conocida como cono circular recto de dos hojas
de vértice Q, eje t y generatriz g.
t
Q
g
ELEMENTOS DEL CONO DE DOS HOJAS
Eje t
Vértice Q
Abertura angular
Generatriz g
Ambas rectas forman un ángulo .
4. Toda Sección Cónica, o simplemente Cónica, puede describirse como la intersección de un
plano y el cono de dos hojas. Cuando el plano no pasa por el vértice Q, se observan las cuatro
formas básicas de las cónicas.
Circunferencia Elipse Parábola Hipérbola
Un punto Una recta Dos rectas secantes
Si el plano pasa por el vértice, la cónica resulta degenerada
5. Dime tu excentricidad e identificaré tu forma
El ángulo que forma el plano con la dirección del eje del cono y su comparación
con la abertura de la superficie cónica permite definir un parámetro no negativo
llamado excentricidad e que identifica el tipo de cónica.
𝑒 =
𝑐𝑜𝑠(𝛽)
𝑐𝑜𝑠(𝛼)
t
g
𝑛𝜋
𝜋
t
g
𝑛𝜋
𝜋
t
g
𝑛𝜋
𝜋
𝑛𝜋
𝜋
Si 𝛽 =
𝜋
2
𝑒 = 0
Circunferencia
Si 𝛽 > 𝛼 0 < 𝑒 < 1
Elipse
Si 𝛽 = 𝛼 𝑒 = 1
Parábola
Si 𝛽 < 𝛼 𝑒 > 1
Hipérbola
6. ¡¡¡Está en inglés, pero adelante!!!
Conic Section 3D Animation: https://www.youtube.com/watch?v=HO2zAU3Eppo
7. En Intersección animada.ggb podrás explorar…
Cambiar la abertura angular del cono
(archivo GeoGebra)
Propuesta para empezar:
Dejar y hcon fijos, elegir un y animar.
Ubicarte en la Vista Gráfica 3D y rotarla
8. Por el camino del lugar geométrico
También se pueden definir las cónicas como el lugar geométrico de todos los
puntos del plano que satisfacen ciertas condiciones.
9. Circunferencia
El conjunto de todos los punto (x, y) cuya distancia a un punto fijo C llamado centro
es una constante llamada radio
Centro: C(h, k). Radio: r > 0
C = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐑𝟐/𝑑(𝑃; 𝐶) = 𝑟
Ecuación vectorial paramétrica: 𝐶𝑃 ∙ 𝐶𝑃 = 𝑟2
Ecuación cartesiana: 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
C
h
k
x
y
P
r
C
10. Elipse
El conjunto de todos los puntos (x, y) cuya suma de las distancias a dos puntos fijos
F1 y F2 llamados focos es una constante
E = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐑𝟐
/𝑑(𝑃; 𝐹1) + 𝑑(𝑃; 𝐹2) = 2𝑎
F1 y F2: focos de la elipse. Distancia focal: 𝑑 𝐹1; 𝐹2 = 2𝑐
Centro de la elipse: C, punto medio entre los focos
Condición: 0 < 𝑐 < 𝑎
F1
P
E
F2
C
11. Parábola
El conjunto de todos los puntos (x, y) equidistante de una recta fija r llamada directriz
y de un punto fijo F , fuera de esa recta, llamado foco
P = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐑𝟐/𝑑(𝑃; 𝐹) = 𝑑(𝑃; 𝑟)
F: foco de la parábola. Directriz: r. Condición: Fr
Eje de la parábola: Eje ( r FEje). Vértice: V P Eje
Parámetro: 𝑝 ≠ 0; 2𝑝 distancia orientada de r a F
P F
P
V
12. Hipérbola
El conjunto de todos los puntos (x, y) tales que el valor absoluto de la diferencia a dos
puntos fijos F1 y F2 llamados focos, es una constante
H= 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐑𝟐
/ 𝑑(𝑃; 𝐹1) − 𝑑(𝑃; 𝐹2) = 2𝑎
F1 y F2: focos de la hipérbola. Distancia focal: 𝑑 𝐹1; 𝐹2 = 2𝑐
Centro de la elipse: C, punto medio entre los focos
Condición: 0 < 𝑎 < 𝑐
F1
P
H
F2
C
13. Desde la ecuación
general de
segundo grado
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0 ∨ 𝐶 ≠ 0
(Para otra ocasión)
14. Universo Matemático – Círculo, Elipse, Parábola e Hipérbola https://www.youtube.com/watch?v=EW3dGbnsHzc
¡¡¡En este video hay muchas pistas!!!
16. 𝑥 − ℎ 2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
𝑥 − ℎ 2
𝑏2 +
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2 = 1
𝑦 = 𝑘 (paralelo al eje x) 𝑥 = ℎ (paralelo al eje y)
𝐶(ℎ, 𝑘)
𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘); 𝐹2(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐); 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐)
F1
E
F2 C
h
k
y
2a
2b
2c
V2 V1
x
F1
E
F2
C
h
k
y
2a
2b
2c
V2
V1
x
𝑎 > 0
𝑏 > 0
𝑐 > 0
𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘); 𝑉2(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1(ℎ, 𝑘 + 𝑎); 𝑉2(ℎ, 𝑘 − 𝑎)
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2; 𝑎 > 𝑐
𝑒 =
𝑐
𝑎
; 0 < 𝑒 < 1
Ecuación cartesiana
Eje focal
Centro
Focos
Representación gráfica
Semieje mayor
Semieje menor
Semidistancia focal
Vértices
Relaciones
Excentricidad
E
L
I
P
S
E
17. P
A
R
Á
B
O
L
A
𝑉(ℎ, 𝑘)
Ecuación cartesiana
Eje de simetría
Vértice
Foco
Representación gráfica
Excentricidad
𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ
𝑥 = ℎ (paralelo al eje y) 𝑦 = 𝑘 (paralelo al eje x)
𝐹(ℎ, 𝑘 + 𝑝) 𝐹(ℎ + 𝑝, 𝑘)
F
𝑟: 𝑦 = 𝑘 − 𝑝
Eje
h
k
y
x
2𝑝
F
𝑟: 𝑥 = ℎ − 𝑝
Eje
h
k
y
x
2𝑝
Directriz
Observación
𝑟: 𝑦 = 𝑘 − 𝑝 𝑟: 𝑥 = ℎ − 𝑝
𝑝 ∈ 𝐑, 𝑝 ≠ 0
𝑒 = 1
18. 𝐶(ℎ, 𝑘)
Ecuación cartesiana
Eje focal
Centro
Focos
Representación gráfica
H
I
P
É
R
B
O
L
A
Semieje real o transverso
Semieje conjugado
Semidistancia focal
Vértices
Relaciones
Excentricidad
𝑥 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2
−
𝑥 − ℎ 2
𝑏2
= 1
𝑦 = 𝑘 (paralelo al eje x) 𝑥 = ℎ (paralelo al eje y)
𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘); 𝐹2(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐); 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐)
F1
H
F2
C
h
k
y
2a
2b
2c
x
V2
V1
F1
H
F2
C
h
k
y
2b
2a
2c
x
V2
V1
𝑎 > 0
𝑏 > 0
𝑐 > 0
𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘); 𝑉2(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑉1(ℎ, 𝑘 + 𝑎); 𝑉2(ℎ, 𝑘 − 𝑎)
𝑏2
= 𝑐2
− 𝑎2
; 𝑎 < 𝑐
𝑒 =
𝑐
𝑎
; 𝑒 > 1
19. Ecuación cartesiana 𝑥 − ℎ 2
𝑎2
−
𝑦 − 𝑘 2
𝑏2
= 1
𝑦 − 𝑘 2
𝑎2
−
𝑥 − ℎ 2
𝑏2
= 1
H
I
P
É
R
B
O
L
A
Asíntotas
𝑦 − 𝑘 =
𝑏
𝑎
𝑥 − ℎ ;
𝑦 − 𝑘 = −
𝑏
𝑎
𝑥 − ℎ
𝑦 − 𝑘 =
𝑎
𝑏
𝑥 − ℎ ;
𝑦 − 𝑘 = −
𝑎
𝑏
𝑥 − ℎ
F1
H
C
h
k
y
x
F1
H
F2
C
h
k
y
x
F2
eje real o transversal
eje conjugado
22. Un sitio donde podrás experimentar un poco más …
https://www.geogebra.org/m/rsuthsxa
Un vistazo sobre las cónicas
Autor:
Fabián Vitabar
Tema:
Círculo, Secciones Cónicas, Elipse, Geometría, Hipérbola, Parábola
Síntesis sobre las ecuaciones de las curvas cónicas, con algunos ejercicios sencillos
(Interacción con GeoGebra)
Y con los archivos ggb disponibles desde la Cátedra AyGA FRHaedo en el CVG
