Guia para trabajo

1. Universidad Nacional
Federico Villarreal
Se origina al cortar un cono
con un plano que no pase
por el vértice del cono y
cuyo ángulo de inclinación
respecto al eje del cono es
mayor que el de la
generatriz del cono.
Plano
Vértice
Eje
Vértice
Generatriz
LA ELIPSE

2. Universidad Nacional
Federico Villarreal
LA ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Es el lugar geométrico
de los puntos de un
plano cuya suma de
distancias a dos
puntos fijos, llamados
focos, es constante.

3. Universidad Nacional
Federico Villarreal
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
• Focos: Son los puntos fijos F y F´
• Eje focal: Es la recta que pasa por los
focos
• Centro: Es el punto de intersección de
los ejes.
• Radios vectores: Son los segmentos
que van desde un punto de la elipse a
los focos: PF y PF´
• Distancia focal: Es el segmento de
longitud 2c, c es el valor de la semi
distancia focal.
A
A´
B
B´
F
F´
P
2c
2a

4. Universidad Nacional
Federico Villarreal
A
A´
B
B´
F
F´
P
2c
2a
• Vértices: Son los puntos de intersección
de la elipse con los ejes: A, A´, B y B´.
• Eje mayor: Es el segmento de longitud
2a, a es el valor del semieje mayor.
• Eje menor: Es el segmento de longitud
2b, b es el valor del semieje menor.
• Eje de simetría: Son las rectas que
contienen al eje mayor o al eje menor.
• Centro de simetría: Coincide con el
centro de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.

5. Universidad Nacional
Federico Villarreal
A toda elipse se le asocia un número real que llamamos
excentricidad de la elipse, designado por la letra e, y cuyo valor es:
𝒆 =
𝑐
𝑎
• La excentricidad de la elipse
𝑐
𝑎
es un número menor que 1.
• Si c tiende a cero, entonces e también tiende a cero, por lo tanto
se forma una circunferencia.
EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE

6. Universidad Nacional
Federico Villarreal
𝒆 =
3
5
𝒆 =
4
5

7. Universidad Nacional
Federico Villarreal
A (a,0)
A´ (-a,0)
B (o,b)
B´ (0,-b)
F(c,0)
F´ (-c,0)
P (x,y)
C(0,0)
La ecuación canónica de la elipse es:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2=1; a, b Ɛ R
• Centro: C (0;0)
• 2a: cantidad constante
• Eje focal: Eje x
• Focos: F(c,0) y F´(-c,0)
• 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
, 0 < 𝑐 < 𝑎
ECUACIÓN CANÓNICA
(Eje focal en el eje X)

8. Universidad Nacional
Federico Villarreal
A´ (-a,0)
B (o,b)
B´ (0,-b)
F(0,-c)
F´ (0,c)
P (x,y)
C(0,0)
La ecuación canónica de la elipse es:
𝑥2
𝑏2 +
𝑦2
𝑎
=1; a, b Ɛ R
• Centro: C (0;0)
• 2a: cantidad constante
• Eje focal: Eje Y
• Focos: F(c,0) y F´(-c,0)
• 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
, 0 < 𝑐 < 𝑎
ECUACIÓN CANÓNICA
(Eje focal en el eje Y)

9. Universidad Nacional
Federico Villarreal
Ejemplos
Determina las coordenadas de los focos, vértices y la excentricidad de las
siguientes ecuaciones:
a) 𝟐𝟓𝒙𝟐
+ 𝟏𝟔𝒚𝟐
− 𝟐𝟓𝟎𝒙 + 𝟐𝟐𝟓 = 𝟎
𝟐𝟓𝒙𝟐
− 𝟐𝟓𝟎𝒙 + 𝟔𝟐𝟓 + 𝟏𝟔𝒚𝟐
= −𝟐𝟐𝟓 + 𝟔𝟐𝟓
(𝒙 − 𝟓)𝟐
𝟒𝟐
+
(𝒚)𝟐
𝟓𝟐
= 𝟏
𝐶 = ℎ, 𝑘 = (5,0)
𝐴 = 5
B= 4
C= 3
𝑭𝟏 = (𝟓, 𝟎) + (𝟎, 𝟑) = (𝟓, 𝟑)
𝑭𝟐 = (𝟓, 𝟎) − (𝟎, 𝟑) = (𝟓, −𝟑)
𝑽𝟏 = (𝟓, 𝟎) + (𝟎, 𝟓) = (𝟓, 𝟓)
𝑽𝟐 = (𝟓, 𝟎) − (𝟎, 𝟓) = (𝟓, −𝟓)
𝟐𝟓 𝒙𝟐
− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 𝒚𝟐
= 𝟒𝟎𝟎
(𝒙 − 𝟓)𝟐
𝟏𝟔
+
(𝒚)𝟐
𝟐𝟓
= 𝟏

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Federico Villarreal

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Federico Villarreal
𝟔𝟒 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 + 𝟐𝟖𝟗 𝒚𝟐 + 𝟒𝒚 + 𝟒 = 𝟏𝟖𝟒𝟗𝟔
B. 𝟔𝟒𝒙𝟐
+ 𝟐𝟖𝟗𝒚𝟐
− 𝟑𝟖𝟒𝒙 + 𝟏𝟏𝟓𝟔𝒚 = 𝟏𝟔𝟕𝟔𝟒
(𝒙 − 𝟑)𝟐
𝟏𝟕𝟐 +
(𝒚 + 𝟐)𝟐
𝟖𝟐 = 𝟏
𝐶 = ℎ, 𝑘 = (3, −2)
𝐴 = 17
B= 8
C= 15
𝑭𝟏 = (𝟑, −𝟐) + (𝟏𝟓, 𝟎) = (𝟏𝟖, −𝟐)
𝑭𝟐 = (𝟑, −𝟐) − (𝟏𝟓, 𝟎) = (−𝟏𝟐, −𝟐)
𝑽𝟏 = (𝟑, −𝟐) + (𝟏𝟕, 𝟎) = (𝟐𝟎, −𝟐)
𝑽𝟐 = (𝟑, −𝟐) − (𝟏𝟕, 𝟎) = (−𝟏𝟒, −𝟐)
𝟔𝟒𝒙𝟐
− 𝟑𝟖𝟒𝒙 + 𝟓𝟕𝟔 + 𝟐𝟖𝟗𝒚𝟐
+ 𝟏𝟏𝟓𝟔𝒚 + 𝟏𝟏𝟓𝟔 = 𝟏𝟔𝟕𝟔𝟒 + 𝟓𝟕𝟔 + 𝟏𝟏𝟓𝟔
(𝒙 − 𝟑)𝟐
𝟐𝟖𝟗
+
(𝒚 + 𝟐)𝟐
𝟔𝟒
= 𝟏

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13. Universidad Nacional
Federico Villarreal
La ecuación canónica de la elipse es:
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 +
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 =1; a, b Ɛ R
• Centro: C (h,k)
• 2a: cantidad constante
• Eje focal: Paralelo al eje x
• Focos: F(c,0) y F´(-c,0)
• 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
, 0 < 𝑐 < 𝑎
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE
A (a,0)
A´ (-a,0)
B (o,b)
B´ (0,-b)
F(c,0)
F´ (-c,0)
P (x,y)
C(h,k)
Y
X
h
k

14. Universidad Nacional
Federico Villarreal
Al desarrollar los cuadrados del binomio, ordenando la ecuación principal
de la elipse e igualando a cero, encontramos ka ecuación equivalente.
𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑦2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐹 = 0, 𝐴 < 𝐵
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

15. Universidad Nacional
Federico Villarreal
Una partícula se mueve en el sentido de las manecillas del reloj siguiendo la trayectoria
elíptica:
𝑥2
100
+
𝑦2
25
= 1. Si la particular abandona dicha trayectoria en el punto M (-8,3) y
viaja a lo largo de una recta tangent a la elipse cuy pendiemte es 2/15 del lado recto.
Halle en qué punto cruzará la particular el eje Y.
De la ecuación :
𝑥2
100
+
𝑦2
25
= 1. se obtiene que el centro es el origen de coordenadas
𝑥2
100
+
𝑦2
25
= 1.
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1 𝑎 = 10
𝑏 = 10
𝑳𝑹 =
𝟐𝒃𝟐
𝒂
= 𝟓 𝐲 𝐜 = 𝟓 𝟑
𝑫𝒆 𝒍𝒂 𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝒎ℓ =
𝟐
𝟏𝟓
𝟓 =
𝟐
𝟑
𝒙 − 𝟑
𝟎 + 𝟖
=
𝟐
𝟑
→ 𝒙 =
𝟐𝟓
𝟑
M (-8,3)
C(0,0)
N (0,x)
𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝟏

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Federico Villarreal
En la figura se tienen la elipse 𝜀:
𝑥2
100
+
𝑦2
8
= 1 y la recta 𝐿1: 2𝑥 + 3𝑦 + 20 = 0. Si P(0,-
4), L es paralela a 𝐿1 y tangent a la elipse 𝜀 en N, halle lascoordenadas del punto N
N (m,n)
C(0,0)
𝐿1
𝐿
P (0.-4)
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒂 𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆:
𝒎𝐿1
= −
𝟐
𝟑
= 𝒎𝑳
−
𝟐
𝟑
=
𝒏+𝟒
𝒎
⟹ 𝒎 = −
𝟑
𝟐
𝒏 + 𝟒 … (𝜽)
𝑬𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑵 𝝐 𝑳 ⇒ 𝟒𝒎𝟐 + 𝟗𝒏𝟐 = 𝟕𝟐 … . . (𝛂)
𝑫𝒆 𝜽 𝒚 (𝛂) :
n=2 y m =3  N (-3,2)
𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐 𝟐