El documento presenta instrucciones para la realización de una evaluación de Ecuaciones Diferenciales. Indica que se deben completar los datos personales, que dura 60 minutos y consta de 2 preguntas valoradas en 60 puntos. Sólo se permite usar lápiz pasta y está prohibido el uso de dispositivos electrónicos. Cualquier acto deshonesto durante la prueba será sancionado.

1. INSTRUCCIONES:
 Ingrese sus datos personales en todas las hojas. No se permiten consultas.
 Esta evaluaciónestádiseñadaparaser respondidaen 60 minutosyconsta de 2 preguntas,con
un puntaje máximo de 60 puntos a una escala del 60%.
 Utilice sólolápizpasta. Si utilizalápizamina pierde el derechoa recorrección,lasque pueden
alterar el puntaje ya sea aumentándolo o reduciéndolo.
 Todas las respuestas deben ser justificadas paso a paso. Preguntas incompletas o sin
justificación serán evaluadas con menor puntaje.
 Todos los dispositivos electrónicos(teléfonocelular, tablet, reloj inteligente, etc.) deben estar
apagados y guardados en su mochila, la que debe quedar en custodia en la parte frontal de la
sala de clases hasta finalizar la evaluación.
 Se consideraráuna actituddeshonestasersorprendidomirandolaevaluaciónde otrapersona,
interactuandoconotra persona(conversando,gesticulando,etc.) oenposesiónde una fuente
de información no autorizada.
Artículo 31: Todo acto realizado por un estudiante durante una evaluación, tendiente a viciarla, será
sancionado con la suspensióninmediata de la actividadevaluativa y con la calificación mínima (1.0) en
ella.
_____________________________________________________________________
Control 2
Primavera 2018
Nombre: Rut:
Asignatura: Ecuaciones Diferenciales (AGUM1513) Puntaje: /60
Profesora: Ricardo Rivera P1: /30
P2: /30
Fecha: 26/09/2018
Nota
Sección:002
Control 2
Primavera 2018
Nombre: Rut:
Asignatura: Ecuaciones Diferenciales (AGUM1513) Puntaje: /60
Profesora: Ricardo Rivera P1: /30
P2: /30
Fecha: 26/09/2018
Sección:002 Nota
Firma Conforme:

2. Nombre:____________________________________________________________________
RUT:___________________________Sección:_________________Puntaje:______________
Problema 1.
Obtenga la solución de las siguientes ecuaciones de Bernoulli.
a. 𝑦′
+
𝑦
𝑥
=
log(𝑥)
𝑥
𝑦2
(30 puntos)
R
Multiplicando la ecuación por: 𝑦−2
, obtenemos: (5 puntos)
𝑦−2
𝑦′
=
log( 𝑥)
𝑥
−
1
𝑥𝑦
, planteamos el cambio de variable 𝑧 =
−1
𝑦
, en cuyo caso la ecuación
anterior se puede reformular del siguiente modo:
𝒛′
=
𝐥𝐨𝐠 𝒙
𝒙
+
𝒛
𝒙
(5 puntos)
La correspondiente ecuación homogénea es:
𝑑𝑧
𝑧
=
𝑑𝑥
𝑥
→ 𝑧 = 𝐶( 𝑥) 𝑥 → 𝐶( 𝑥) = 𝑧/𝑥 , derivando la solución y reemplazándola en la
ecuación diferencial original:
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝐶′
(𝑥)𝑥 + 𝐶 → 𝐶′( 𝑥) 𝑥 + 𝐶 =
log 𝑥
𝑥
+
𝑧
𝑥
→ 𝐶′( 𝑥) 𝑥 + 𝐶 =
log 𝑥
𝑥
+ 𝐶 → (5 puntos)
𝐶′( 𝑥) 𝑥 =
log 𝑥
𝑥
→ 𝐶′( 𝑥) =
log 𝑥
𝑥2 → 𝐶( 𝑥) = ∫
log 𝑥
𝑥2 𝑑𝑥 =
1
ln 10
∫
ln 𝑥
𝑥2 𝑑𝑥 = I
Sea 𝑢 = ln 𝑥 y 𝑑𝑣 =
𝑑𝑥
𝑥2 → 𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
y 𝑣 =
−1
𝑥
(5 puntos)
I =
− ln 𝑥
𝑥
+ ∫
𝑑𝑥
𝑥2 → I =
− ln 𝑥
𝑥
+
−1
𝑥
+ 𝛼 → 𝐶(x) =
1
ln 10
{
− ln 𝑥
𝑥
+
−1
𝑥
+ 𝛼}
𝐶( 𝑥) =
− log 𝑥
𝑥
+
−1
𝑥 ln 10
+ 𝛽 con 𝑧 = 𝐶( 𝑥) 𝑥 e 𝑦 = −1
𝑧⁄ por lo tanto:
𝒚 =
𝟏
{
𝐥𝐨𝐠𝒙
𝒙
+
𝟏
𝒙 𝐥𝐧 𝟏𝟎
− 𝜷} 𝒙
o 𝒚 =
𝟏
𝐥𝐨𝐠 𝒙+
𝟏
𝐥𝐧 𝟏𝟎
− 𝜷𝒙
(10 puntos)

3. Nombre:____________________________________________________________________
RUT:___________________________Sección:_________________Puntaje:______________
b.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4
𝑥
𝑦 + 𝑥√ 𝑦 (30 puntos)
R
Tenemos n=1/2 y multiplicando por 𝑦
−1
2⁄
, obtenemos:
𝑦
−1
2⁄ 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4
𝑥
√ 𝑦 + 𝑥 (5 puntos)
Ponemos entonces 𝑧 = √ 𝑦, reemplazando:
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
1
2
1
√ 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
{
4
𝑥
𝑧 + 𝑥} →
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
1
2
{
4
𝑥
𝑧 + 𝑥} , Por lo tanto
𝐝𝐳
𝐝𝐱
−
𝟐𝐳
𝐱
=
𝟏
𝟐
𝐱 (5 puntos)
La correspondiente ecuación homogénea es:
dz
dx
=
2z
x
ó
dz
z
=
2dx
x
→ ln 𝑧 = 2ln 𝑥 + 𝑐(𝑥) → 𝐳( 𝐱) = 𝑪( 𝒙) 𝐱 𝟐
(5 puntos)
Derivando la solución y reemplazándola en la ecuación diferencial original:
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝐶′
(𝑥) 𝑥2
+ 2𝑥𝐶( 𝑥) =
2
𝑥
𝑧 +
1
2
𝑥
𝐶′( 𝑥) 𝑥2
+ 2𝑥
𝑧
𝑥2
=
2
𝑥
𝑧 +
1
2
𝑥
𝐶′( 𝑥) 𝑥2
= −2
𝑧
𝑥
+
2
𝑥
𝑧 +
1
2
𝑥 → 𝑪′( 𝒙) =
𝟏
𝟐𝐱
→ 𝐶( 𝑥) =
1
2
lnx + α (5 puntos)
→
𝑧 = {
1
2
ln 𝑥 + 𝛼} 𝑥2
→ 𝑦 = 𝑧2
= {
1
2
ln 𝑥 + 𝛼}
2
𝑥4
Por lo tanto:
𝒚 = {
𝟏
𝟐
𝐥𝐧 𝒙 + 𝜶}
𝟐
𝒙 𝟒
(10 puntos)