Este documento resume el método de coeficientes indeterminados para resolver sistemas no homogéneos. Explica que este método implica suponer una solución particular mediante un vector Xp. Luego presenta un ejemplo de aplicar el método para resolver un sistema matricial no homogéneo, encontrando las soluciones homogénea y particular y combinándolas para obtener la solución general.

1. Universidad Regional Amazónica IKIAM
Carrera: Ingenierías
Asignatura: Matemáticas lll
Grupo: 01
Presentación N° 1
Tema: Sistemas No homogéneos Coeficientes Indeterminados
Realizado por: Gabriela Jiménez
Fecha: 20-02-2018

2. ¿En que consiste el método de coeficientes
indeterminados?
El método de coeficientes indeterminados consiste en completar
mediante una suposición un vector solución particular Xp.
Este método se aplica cuando el sistema sea de la forma Y´=
A(X)+F(X), donde A es una matriz de coeficientes constantes y
F(x) no es igual a cero.
En este caso cabe recalcar que F(X) puede ser funciones que
contengan constantes, polinomios, exponenciales, senos y
cosenos o pueden ser sumas y productos que contengan estas
funciones.

3. Expresión
• Cuando el sistema está de la forma
Y´= A(X)+F(X)
𝑋´
𝑌´
=
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
+
𝑎1
𝑏1
La solución es expresada mediante
𝑌 = 𝑌𝐶 + 𝑌𝑃,
donde 𝑌𝐶 es la solución expresada por los eigen valore y los eigen
vectores, y 𝑌𝑃 viene expresada por F(X)

4. Ejemplo
• 𝑋´ =
2 3
−1 −2
𝑋 +
−3
2
𝐴 − 𝜆𝐼 = 0
2 3
−1 −2
− 𝜆
1 0
0 1
= 0
2 3
−1 −2
−
𝜆 0
0 𝜆
= 0
det (
2 3
−1 −2
−
𝜆 0
0 𝜆
) =
2 − 𝜆 3
−1 −2 − 𝜆
2 − 𝜆 3
−1 −2 − 𝜆
= 2 − 𝜆 −2 − 𝜆 − 3 −1 = 𝜆21

5. 𝜆2 − 1 = 0, 𝜆1 = 1 𝜆2 = −1
Para 𝜆1 = 1
𝐴 − 𝜆1 𝐼 𝐶 = 0
2 3
−1 −2
−
𝜆1 0
0 𝜆1
𝐶11
𝐶12
= 0
1 3
−1 −3
𝐶1
𝐶2
= 0
1. 𝐶11 + 3𝐶12 = 0 𝑐1 =
−3
1
2. −𝐶11 − 3𝐶12 = 0
Para 𝜆2 = −1
𝐴 − 𝜆2 𝐼 𝐶 = 0
2 3
−1 −2
−
𝜆2 0
0 𝜆2
𝐶11
𝐶12
= 0

6. 3 3
−1 −1
𝐶21
𝐶22
= 0
1. 3𝐶21 + 3𝐶22 = 0 𝑐2 =
−1
1
2. −𝐶21 − 𝐶22 = 0
𝑌𝐶 = 𝐶1 𝑒 𝑡 −3
1
+ 𝐶2 𝑒−𝑡 −1
1
Para encontrar 𝑌𝑝
𝑌𝑝 =
𝑎1
𝑏1
0
0
=
2 3
−1 −2
𝑎1
𝑏1
+
−3
2
0
0
=
2𝑎1 + 3𝑏1 − 3
−1𝑎1 − 2𝑏1 + 2

7. 2𝑎1 + 3𝑏1 − 3 = 0 ; −𝑎1 − 2𝑏1 + 2 = 0
2𝑎1 + 3𝑏1 − 3 = 0
−2𝑎1 − 4𝑏1 + 4 = 0
−𝑏1 − 1 = 0
𝑏1 = −1
𝑎1 = 3
Solución general:
𝑌 = 𝐶1 𝑒 𝑡 −3
1
+ 𝐶2 𝑒−𝑡 −1
1
+
3
−1