Worked problem problema resuelto paso a paso Integración por cambio de variable

1. Métodos y Técnicas
de integración
G. Edgar Mata Ortiz

3. El trabajo colaborativo es fundamental
para aprender, requiere una actitud de
compromiso de todos los integrantes
del equipo.

4. Resolución individual de
problemas
En forma complementaria
al aprendizaje colaborativo,
es indispensable que el
alumno haga frente, en
forma individual, a los
problemas de matemáticas
para desarrollar sus
competencias.

5. Las técnicas de
integración
Son un conjunto de
artificios matemáticos que
se aplican cuando no es
posible realizar una
integración directamente,
ya sea porque al
diferencial le faltan
variables o le sobran.

6. Las técnicas de
integración
En esta presentación se
explica y resuelve, paso a
paso, un ejemplo por el
método de:
Cambio de
Variable

7. En primer lugar, podemos observar que no
existe ninguna fórmula que pueda aplicarse,
directamente, a esta integración.
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =

8. Vamos a utilizar la técnica de cambio de
variable, estableciendo que:
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 − 4

9. Después de elegir el cambio de variable, se despeja equis
y se calcula el diferencial de equis derivando respecto a la
nueva variable (se deriva x respecto a u).
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 − 4 ∴ 𝑥 = 𝑢 + 4
𝑑𝑥
𝑑𝑢
= 1 ∴ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢

10. Sustituimos, en la integral original, los valores obtenidos.
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
𝑢 = 𝑥 − 4 ∴ 𝑥 = 𝑢 + 4
𝑑𝑥
𝑑𝑢
= 1 ∴ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢
න(𝑢 + 4) 𝑢 + 4 − 4 𝑑𝑢 =

11. Sustituimos, en la integral original, los valores obtenidos.
Ejemplo:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
න(𝑢 + 4) 𝑢 + 4 − 4 𝑑𝑢 =
න(𝑢 + 4) 𝑢 𝑑𝑢 =

12. Efectuando operaciones
Solución:
න(𝑢 + 4) 𝑢 𝑑𝑢 =
න(𝑢 + 4)𝑢
1
2 𝑑𝑢 = න 𝑢
3
2 + 4𝑢
1
2 𝑑𝑢
= න 𝑢
3
2 𝑑𝑢 + න 4𝑢
1
2 𝑑𝑢

13. Solución:
= න 𝑢
3
2 𝑑𝑢 + න 4𝑢
1
2 𝑑𝑢
=
𝑢
5
2
5
2
+
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶
න(𝑢 + 4)𝑢
1
2 𝑑𝑢 = න 𝑢
3
2 + 4𝑢
1
2 𝑑𝑢

14. Solución:
= න 𝑢
3
2 𝑑𝑢 + න 4𝑢
1
2 𝑑𝑢
=
𝑢
5
2
5
2
+
𝑢
3
2
3
2
+ 𝐶
න(𝑢 + 4)𝑢
1
2 𝑑𝑢 = න 𝑢
3
2 + 4𝑢
1
2 𝑑𝑢

15. Variable original:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
2
5
𝑥 − 4
5
2 +
2
3
𝑥 − 4
3
2 + 𝐶
=
2
5
𝑥 − 4
4
2 𝑥 − 4
1
2 +
2
3
𝑥 − 4
2
2 𝑥 − 4
1
2 + 𝐶
=
2
5
𝑥 − 4 2
𝑥 − 4 +
2
3
𝑥 − 4 1
𝑥 − 4 + 𝐶
=
2
5
𝑥 − 4 2
𝑥 − 4 +
2
3
𝑥 − 4 𝑥 − 4 + 𝐶

16. Solución del problema:
න 𝑥 𝑥 − 4 𝑑𝑥 =
2
5
𝑥 − 4 2
𝑥 − 4 +
2
3
𝑥 − 4 𝑥 − 4 + 𝐶
La solución debe expresarse en términos de la variable original (x), para que
tenga sentido; no olvidemos que el cambio de variable que se realiza es
arbitrario, un artificio matemático para poder resolver el problema.