Ecuaciones diferenciales lineales, de Bernoulli, Riccati, Lagrange y Clairaut
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Este documento resume diferentes tipos de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, incluyendo ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, ecuaciones diferenciales de Bernoulli, ecuaciones diferenciales de Riccati y ecuaciones diferenciales de Lagrange y Clairaut. Explica los procedimientos para transformar estas ecuaciones diferenciales no lineales en ecuaciones diferenciales lineales de modo que puedan resolverse.
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- 1. Demetrio Ccesa Rayme Ecuaciones Diferenciales Lineales
- 2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎2 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; donde 𝑎1 𝑥 ≠ 0 forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎2 𝑥 𝑎1 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑎1 𝑥 Resolviendo 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝒚 = 𝑄(𝑥) E.D. lineal de primer orden en “y” Si: 𝑄 𝑥 = 0 Si: 𝑄 𝑥 ≠ 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝒚 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝒚 = 𝑄(𝑥) E.D. lineal Homogénea E.D. lineal no Homogénea Resolviendo 𝑦 = 𝐾𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑸 𝒙 𝑑𝑥 + 𝑐
- 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI forma Se resuelve transformando a una ecuación diferencial lineal. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝒚 = 𝑄(𝑥) 𝒚 𝒏 𝒚−𝒏. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝒚. 𝒚−𝒏 = 𝑄(𝑥) 𝒚 𝒏. 𝒚−𝒏 𝒚−𝒏. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝑄(𝑥) 𝟏 − 𝒏 . 𝒚−𝒏. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝟏 − 𝒏 . 𝑃 𝑥 𝒚 𝟏−𝒏 = 𝟏 − 𝒏 . 𝑄(𝑥) Luego realizamos cambio de variable: 𝑧 = 𝑦1−𝑛 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 1 − 𝑛 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝟏 − 𝒏 . 𝑃 𝑥 . 𝒛 = 𝟏 − 𝒏 . 𝑄(𝑥) E.D. lineal de primer orden en “z”
- 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICCATI forma Resolverlo requiere del conocimiento de una solución particular : 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑃 𝑥 𝒚 + 𝑄(𝑥) 𝒚 𝟐 + 𝑹(𝒙) Para hallar la solución de la E.D. de RICCATI hacemos : 𝒚 = 𝝍 𝒙 + 𝒛 Donde: 𝒛 es una función incógnita q se determinara con la ayuda de la E.D. 𝒚 = 𝝍 𝒙 + 𝒛 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝝍′ 𝒙 + 𝒅𝒛 𝒅𝒙 reemplazando 𝝍′ 𝒙 + 𝒅𝒛 𝒅𝒙 = 𝑃 𝑥 𝝍 𝒙 + 𝒛 + 𝑄(𝑥)( 𝝍 𝒙 + 𝒛 ) 𝟐+𝑹(𝒙) 𝒚 = 𝝍(𝒙) 𝝍′ 𝒙 = 𝑃 𝑥 𝝍(𝒙) + 𝑄(𝑥)( 𝝍(𝒙)) 𝟐 +𝑹(𝒙) 𝜓′ 𝑥 + 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 𝑃 𝑥 𝑧 − 2𝑸 𝒙 𝜓 𝑥 𝑧 − 𝑸 𝒙 𝑧2 − 𝑃 𝑥 𝜓 𝑥 − 𝑄 𝑥 𝜓 𝑥 2 − 𝑅 𝑥 = 0 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − (𝑃 𝑥 + 2𝑄 𝑥 𝜓 𝑥 )𝑧 = 𝑄 𝑥 𝑧2 E.D. de Bernoulli Operando y ordenando
- 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LAGRANGE 𝑦 = 𝑥𝑓 𝑦′ + 𝑔(𝑦′ ) forma Para resolver se transforma en E.D. lineal en “x” como función de P 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = P dy = Pdx 𝑦 = 𝑥𝑓 𝑃 + 𝑔(𝑃) Hacemos Derivando 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑃 + 𝑥𝑓′ 𝑃 . 𝑑𝑃 𝑑𝑥 + 𝑔′ 𝑃 . 𝑑𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑥𝑓′ 𝑃 𝑑𝑃 + 𝑔′ 𝑃 𝑑𝑃 𝑃𝑑𝑥 = 𝑓 𝑃 𝑑𝑥 + 𝑥𝑓′ 𝑃 𝑑𝑃 + 𝑔′ 𝑃 𝑑𝑃 𝑑𝑥 𝑑𝑃 − 𝑓 𝑃 𝑓 𝑃 − 𝑃 𝑥 = − 𝑔′ 𝑃 𝑓 𝑃 − 𝑃 E.D. lineal en “x” como función de P Reemplazando Reemplazando obtenemos 𝑥 = 𝜑(𝑃, 𝑐) 𝑦 = 𝜑 𝑃, 𝑐 𝑓 𝑃 + 𝑔(𝑃) Solución general
- 6. ECUACIONES DIFERENCIALES DE CLAIRAUT forma Para obtener la solución se sigue el mismo procedimiento del caso de la E.D. de LAGRANGE 𝑦 = 𝑥𝑦′ + 𝑔(𝑦′ )