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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS
MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II
pág. 1
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EJERCICIOS RESUELTOS – NEWTON RAPHSON
Búsqueda de raíces:
1. Usa el método de Newton para estimar las soluciones de la ecuación
𝑥2
+ 𝑥 − 1 = 0. Empieza con 𝑥0 = -1 para la solución de la izquierda,
con 𝑥0 = 1 para la solución de la derecha. Después halla 𝑥2 para cada
caso.
SOLUCIÓN:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓( 𝑥 𝑛)
𝑓′( 𝑥 𝑛)
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑥0
2
+ 𝑥0 − 1
2𝑥0 + 1
𝑥1 =
𝑥0
2
+ 1
2𝑥0 + 1
POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA
 𝑥1 =
(−1)2+1
2(−1)+1
= −2
→ 𝑥2 =
(−2)2+1
2(−2)+1
= −1,67
 𝑥3 = −1,62
 𝑥1 =
(1)2+1
2(1)+1
= 0,67
→ 𝑥2 =
(0.67)2
+ 1
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 𝑥3 = 0,618
-2
0
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10
12
-4 -2 0 2 4
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2. Use el método de newton para estimar una solución real de la ecuación
x3
+3x+1 empieza x0 = 0 y después hallar x2.
SOLUCIÓN:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓( 𝑥 𝑛)
𝑓′( 𝑥 𝑛)
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑥0
3
+ 3𝑥0 + 1
3𝑥0
2
+ 3
𝑥1 =
2𝑥0
3
− 1
3𝑥0
2
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𝑥1 =
2(0)3
− 1
3(0)2 + 3
= −0.33
𝑥2 =
2(−0,33)3
− 1
3(−0,33)2 + 3
= −0.32
3. Emplee el método de Newton para estimar los dos ceros de la función
𝑓( 𝑥) = 𝑥4
+ 𝑥 − 3. Empiece con x0 = -1 para la solución de la
izquierda, y con x0 = 1 para la solución de la derecha. Después, halle x2
para cada caso.
SOLUCION:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓( 𝑥 𝑛)
𝑓′( 𝑥 𝑛)
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑥0
4+𝑥0−3
4𝑥0
3+1
𝑥1 =
3𝑥0
4
+ 3
4𝑥0
3
+ 1
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-5
0
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20
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
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POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA
 𝑥1 =
3(−1)4+3
4(−1)3+1
= −2
→ 𝑥2 =
3(−2)4
+ 3
4(−2)3 + 1
 𝑥2 = −1,645
 𝑥3 = −1,485
 𝑥1 =
3(1)4+3
4(1)3+1
= 1,2
→ 𝑥2 =
3(1,2)4
+ 3
4(1,2)3 + 1
 𝑥2 = 1,165
 𝑥3 = 1,164
4. Usa el método de newton para estimar los dos ceros de la función
𝑓( 𝑥) = −𝑥2
+ 2𝑥 + 1. Empieza con 𝑥0 = 0 para la solución de la
izquierda, y con 𝑥0 = 2 para la solución de la derecha. Después halla
𝑥2 para cada caso.
SOLUCION:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓( 𝑥 𝑛)
𝑓′( 𝑥 𝑛)
𝑥1 = 𝑥0 −
−𝑥0
2+2𝑥0+1
−2𝑥0+2
𝑥1 =
𝑥0
2
+ 1
2𝑥0 − 2
POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA
𝑥1 =
(0)2
+ 1
2(0) − 2
= −0,5
𝑥2 =
(−0,5)2
+ 1
2(−0,5) − 2
𝑥2 = −0416
𝑥1 =
(2)2
+ 1
2(2) − 2
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𝑥2 =
(2,5)2
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𝑥2 = 2,416
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5. Use el método de Newton para encontrar las cuatro raíces positivas de
2 resolviendo la ecuación 𝑥4
− 2 = 0
Empiece con 𝑥0 = 1 y encuentre 𝑥2.
SOLUCIÓN:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓( 𝑥 𝑛)
𝑓′( 𝑥 𝑛)
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑥0
4
− 2
4𝑥0
3
𝑥1 =
3𝑥0
4
− 2
4𝑥0
3
 𝑥 𝑛+1 =
3(−1)4+2
4(−1)3
→ 𝑥1 =
5
−4
= −1,25
 𝑥2 = −1,19
6. Emplee el método de Newton para encontrar la raíz negativa de 2
resolviendo la ecuación 𝑥4
− 2 = 0. Empiece con 𝑥0 = −1 y después
halla 𝑥2.
SOLUCION:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓( 𝑥 𝑛)
𝑓′( 𝑥 𝑛)
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑥0
4
− 2
4𝑥0
3
𝑥1 =
3𝑥0
4
+ 2
4𝑥0
3
-5
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Y
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-5
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 𝑥 𝑛+1 =
3(−1)4+2
4(−1)3
→ 𝑥1 =
5
−4
= −1,25
 𝑥2 = −1,19
13. Oscilación. Muestre que si ℎ > 0 al aplicar el método de Newton a
lleva a 𝑥1 = −ℎ, si 𝑥0 = ℎ y a 𝑥1 = ℎ si 𝑥0 =
−ℎ. Dibuja lo que ocurre.
SOLUCION:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓( 𝑥 𝑛)
𝑓′( 𝑥 𝑛)
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓( 𝑥0)
𝑓′( 𝑥0)
𝑥0 = ℎ > 0 𝑥0 = −ℎ < 0
 𝑥1 = ℎ −
𝑓(ℎ)
𝑓′(ℎ)
 𝑥1 = ℎ −
√ℎ
(
1
2√ℎ
)
 𝑥1 = ℎ − (2√ℎ)(√ℎ)
→𝑥1 = −ℎ
 𝑥1 = −ℎ −
𝑓(−ℎ)
𝑓′(−ℎ)
 𝑥1 = −ℎ −
√ℎ
(
−1
2√ℎ
)
 𝑥1 = −ℎ + (2√ℎ)(√ℎ)
→𝑥1 = ℎ
-10
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-10 -5 0 5 10
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16. Localización de un planeta. Para calcular las coordenadas de un
planeta en el espacio, tenemos que resolver ecuaciones como f (x) = x - 1 -
0.5senx se sugiere que la función tiene una raíz cerca de 𝑥 = 1,5 Use una
aplicación del método de Newton para mejorar esta estimación. Esto es,
empiece con 𝑥0 = 1,5 y 𝑥1. halla (El valor de la raíz con cinco decimales es
1.49870.) Recuerde utilizar radianes.
SOLUCION:
𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 −
𝑓( 𝑥 𝑛)
𝑓′( 𝑥 𝑛)
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓( 𝑥0)
𝑓′( 𝑥0)
𝑥1 = 𝑥 −
𝑥 − 1 − 0.5senx
1 − 0.5cosx
𝑥1 = 1,5 −
1,5 − 1 − 0.5sen(1.5)
1 − 0.5cos(1,5)
→ 𝑥1 = 1,49870
BIBLIOGRAFIA:
THOMAS, CALCULO, UNA VARIABLE
 Ejercicios 3,8(Novena edicion)
 Ejercicios 4,7(Undecima edicion)
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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 1 elionzar@gmail.com EJERCICIOS RESUELTOS – NEWTON RAPHSON Búsqueda de raíces: 1. Usa el método de Newton para estimar las soluciones de la ecuación 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0. Empieza con 𝑥0 = -1 para la solución de la izquierda, con 𝑥0 = 1 para la solución de la derecha. Después halla 𝑥2 para cada caso. SOLUCIÓN: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 2 + 𝑥0 − 1 2𝑥0 + 1 𝑥1 = 𝑥0 2 + 1 2𝑥0 + 1 POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA  𝑥1 = (−1)2+1 2(−1)+1 = −2 → 𝑥2 = (−2)2+1 2(−2)+1 = −1,67  𝑥3 = −1,62  𝑥1 = (1)2+1 2(1)+1 = 0,67 → 𝑥2 = (0.67)2 + 1 2(0.67) + 1 = 0,619  𝑥3 = 0,618 -2 0 2 4 6 8 10 12 -4 -2 0 2 4 Y Y
  • 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 2 elionzar@gmail.com 2. Use el método de newton para estimar una solución real de la ecuación x3 +3x+1 empieza x0 = 0 y después hallar x2. SOLUCIÓN: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 3 + 3𝑥0 + 1 3𝑥0 2 + 3 𝑥1 = 2𝑥0 3 − 1 3𝑥0 2 + 3 𝑥1 = 2(0)3 − 1 3(0)2 + 3 = −0.33 𝑥2 = 2(−0,33)3 − 1 3(−0,33)2 + 3 = −0.32 3. Emplee el método de Newton para estimar los dos ceros de la función 𝑓( 𝑥) = 𝑥4 + 𝑥 − 3. Empiece con x0 = -1 para la solución de la izquierda, y con x0 = 1 para la solución de la derecha. Después, halle x2 para cada caso. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 4+𝑥0−3 4𝑥0 3+1 𝑥1 = 3𝑥0 4 + 3 4𝑥0 3 + 1 -10 -5 0 5 10 15 20 -3 -2 -1 0 1 2 3 y y -15 -10 -5 0 5 10 15 20 -4 -2 0 2 4 Y Y
  • 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 3 elionzar@gmail.com POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA  𝑥1 = 3(−1)4+3 4(−1)3+1 = −2 → 𝑥2 = 3(−2)4 + 3 4(−2)3 + 1  𝑥2 = −1,645  𝑥3 = −1,485  𝑥1 = 3(1)4+3 4(1)3+1 = 1,2 → 𝑥2 = 3(1,2)4 + 3 4(1,2)3 + 1  𝑥2 = 1,165  𝑥3 = 1,164 4. Usa el método de newton para estimar los dos ceros de la función 𝑓( 𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 1. Empieza con 𝑥0 = 0 para la solución de la izquierda, y con 𝑥0 = 2 para la solución de la derecha. Después halla 𝑥2 para cada caso. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − −𝑥0 2+2𝑥0+1 −2𝑥0+2 𝑥1 = 𝑥0 2 + 1 2𝑥0 − 2 POR LA IZQUIERDA POR LA DERECHA 𝑥1 = (0)2 + 1 2(0) − 2 = −0,5 𝑥2 = (−0,5)2 + 1 2(−0,5) − 2 𝑥2 = −0416 𝑥1 = (2)2 + 1 2(2) − 2 = 2,5 𝑥2 = (2,5)2 + 1 2(2,5) − 2 𝑥2 = 2,416 -8 -6 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 Y Y
  • 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 4 elionzar@gmail.com 5. Use el método de Newton para encontrar las cuatro raíces positivas de 2 resolviendo la ecuación 𝑥4 − 2 = 0 Empiece con 𝑥0 = 1 y encuentre 𝑥2. SOLUCIÓN: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 4 − 2 4𝑥0 3 𝑥1 = 3𝑥0 4 − 2 4𝑥0 3  𝑥 𝑛+1 = 3(−1)4+2 4(−1)3 → 𝑥1 = 5 −4 = −1,25  𝑥2 = −1,19 6. Emplee el método de Newton para encontrar la raíz negativa de 2 resolviendo la ecuación 𝑥4 − 2 = 0. Empiece con 𝑥0 = −1 y después halla 𝑥2. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑥0 4 − 2 4𝑥0 3 𝑥1 = 3𝑥0 4 + 2 4𝑥0 3 -5 0 5 10 15 -3 -2 -1 0 1 2 3 Y Y -5 0 5 10 15 -3 -2 -1 0 1 2 3 Y Y
  • 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 5 elionzar@gmail.com  𝑥 𝑛+1 = 3(−1)4+2 4(−1)3 → 𝑥1 = 5 −4 = −1,25  𝑥2 = −1,19 13. Oscilación. Muestre que si ℎ > 0 al aplicar el método de Newton a lleva a 𝑥1 = −ℎ, si 𝑥0 = ℎ y a 𝑥1 = ℎ si 𝑥0 = −ℎ. Dibuja lo que ocurre. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓( 𝑥0) 𝑓′( 𝑥0) 𝑥0 = ℎ > 0 𝑥0 = −ℎ < 0  𝑥1 = ℎ − 𝑓(ℎ) 𝑓′(ℎ)  𝑥1 = ℎ − √ℎ ( 1 2√ℎ )  𝑥1 = ℎ − (2√ℎ)(√ℎ) →𝑥1 = −ℎ  𝑥1 = −ℎ − 𝑓(−ℎ) 𝑓′(−ℎ)  𝑥1 = −ℎ − √ℎ ( −1 2√ℎ )  𝑥1 = −ℎ + (2√ℎ)(√ℎ) →𝑥1 = ℎ -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10
  • 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS MATEMATICA PARA ECONOMISTAS II pág. 6 elionzar@gmail.com 16. Localización de un planeta. Para calcular las coordenadas de un planeta en el espacio, tenemos que resolver ecuaciones como f (x) = x - 1 - 0.5senx se sugiere que la función tiene una raíz cerca de 𝑥 = 1,5 Use una aplicación del método de Newton para mejorar esta estimación. Esto es, empiece con 𝑥0 = 1,5 y 𝑥1. halla (El valor de la raíz con cinco decimales es 1.49870.) Recuerde utilizar radianes. SOLUCION: 𝑥 𝑛+1 = 𝑥 𝑛 − 𝑓( 𝑥 𝑛) 𝑓′( 𝑥 𝑛) 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓( 𝑥0) 𝑓′( 𝑥0) 𝑥1 = 𝑥 − 𝑥 − 1 − 0.5senx 1 − 0.5cosx 𝑥1 = 1,5 − 1,5 − 1 − 0.5sen(1.5) 1 − 0.5cos(1,5) → 𝑥1 = 1,49870 BIBLIOGRAFIA: THOMAS, CALCULO, UNA VARIABLE  Ejercicios 3,8(Novena edicion)  Ejercicios 4,7(Undecima edicion) -6 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 y y