Cuerpos Rígidos Sistemas Equivalentes.pdf

Grupo tutor-el por el desarrollo integral de
el Ingeniero 1
29/12/2013
Mecánica 1: Estática..
.
Capítulo 3:
Cuerpos Rígidos: Sistemas Equivalentes
de Fuerzas

Fuerzas Externas e Internas
29/12/2013
Grupo tutor-el por el desarrollo integral de el
Ingeniero 2
• Hay 2 grupos de fuerzas que
actúan en los cuerpos rígidos:
- Externas
- Internas
• Fuerzas Externas se muestran en
el diagrama de cuerpo libre
(DCL)
• Cada fuerza externa puede transmitir movimientos de traslación, de
rotación, o ambos.

Principio de Transmisibilidad:
Fuerzas Equivalentes
29/12/2013
Ingeniero 3
• Principio de Transmisibilidad -
Las condiciones de equilibrio o
movimiento no varían por la
transmisión de una fuerza a lo largo de
su línea de acción.
Nota: F y F’ son fuerzas equivalentes.
• Mover el punto de aplicación de F
a la parte posterior del camión, no
afecta el movimiento o las otras
fuerzas actuando en el camión.

Producto Vectorial de 2 vectores
29/12/2013
Ingeniero 4
• El producto vectorial de 2 vectores P y Q se define
como el vector V que satisface:
1. La línea de acción de V es perpendicular al
plano que contiene P y Q.
2. La magnitud de V:
3. La dirección de V: Regla de la mano derecha.

sin
Q
P
V 
El pulgar determina el signo

Producto vectorial: Componentes
Rectangulares
29/12/2013
Grupo tutor-el por el desarrollo
integral de el Ingeniero 5
• Producto vectorial de vectores unitarios,
0
0
0





















k
k
i
k
j
j
k
i
i
j
k
j
j
k
j
i
j
i
k
k
i
j
i
i
























• Producto vectorial en términos de
coordenadas rectangulares:
   
k
Q
j
Q
i
Q
k
P
j
P
i
P
V z
y
x
z
y
x















z
y
x
z
y
x
Q
Q
Q
P
P
P
k
j
i
V




6
29/12/2013
Ingeniero 6
Producto vectorial: momento de
una fuerza en un punto
• El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido depende del punto de aplicación.
• La magnitud de MO indica la tendencia de la fuerza a causar rotación de un
cuerpo rígido sobre el eje que pasa a lo largo de MO.
Fd
rF
M O 
 
sin

7
29/12/2013
Ingeniero 7
Momento de una Fuerza sobre
un Punto
• El momento de F en el punto O
está definido por:
F
r
M O 

• El vector de posición r siempre
inicia en el punto donde se
quiere calcular MO y finaliza
en cualquier punto a lo largo
del eje de la fuerza F.
• El momento de una fuerza sobre un punto equivale a
realizar el producto vectorial o producto cruz entre 2
vectores.
• El vector momento MO es perpendicular
al plano que contiene O y la fuerza F.

8
29/12/2013
Ingeniero 8
Momento de una Fuerza sobre
un Punto

9
29/12/2013
Ingeniero 9
Momento de una fuerza en un
punto: 2 interpretaciones
CONCLUSION:
2 formas de calcular momento de F respecto a punto A.
Trabajando en forma escalar,
usando el concepto de brazo de
palanca, es decir:
Fd
rF
M O 
 
sin
Trabajando en forma vectorial,
usando el concepto Vector posición
del pto.de giro x su fuerza aplicadas
decir: F
r
M O 

Mejor en 2D Mejor en 3D

Ejemplo resuelto 3.1
29/12/2013
Ingeniero 10
Una fuerza vertical de 100-lbf se aplica al final de la
palanca, la cual está fija por medio de un pasador
el punto O.
Determine:
a) Momento en O,
b) La fuerza horizontal en A que produciría el mismo
momento.
c) La fuerza mínima en A que produciría el mismo
momento.
d) Ubicación de una fuerza vertical de 240-lbf que
produciría el mismo momento.

29/12/2013
Ingeniero 11
a)
 
  
in.
12
lb
100
in.
12
60
cos
in.
24





O
O
M
d
Fd
M
in
lb
1200 

O
M
b)
 
 
in.
8
.
20
in.
lb
1200
in.
8
.
20
1200
in.
8
.
20
60
sin
in.
24







F
F
Fd
M
d
O
lb
7
.
57

F
c)
 
in.
4
2
in.
lb
1200
in.
4
2
1200




F
F
Fd
M O
lb
50

F
d)
 
in.
5
cos60
in.
5
lb
40
2
in.
lb
1200
lb
240
lb
1200








OB
d
d
Fd
M O
in.
10

OB

12
a)
b) c) d)
Cabe indicar que aunque todas las fuerzas en b), c), y d)
producen el mismo momento que en a), ninguna tiene la
misma magnitud y dirección, o están en la misma línea
de acción. Por lo tanto ninguna de las fuerzas es
equivalente a la de 100 lb.
29/12/2013
Ingeniero 12

13
29/12/2013
Ingeniero 13
Ejercicios
1. Calcule la menor fuerza posible P que produce un momento en
sentido horario de 250 lb.in, si se aplica sobre el punto B.

14
29/12/2013
Ingeniero 14
Ejercicios
2. Calcule el valor de la fuerza F necesaria
para prevenir que el poste de 5 metros se
mueva. Distancias en metros.

15
29/12/2013
Ingeniero 15
Ejercicios
3. La fuerza de tensión en el cable
AB es de 400lb. Calcule el
momento que se genera en E
debido a esta fuerza.

16
29/12/2013
Ingeniero 16
Ejercicios
4. Calcule el momento sobre el
punto D debido a una fuerza
de 150 N que transmite el
cable AB. Las dimensiones
están dadas en metros.

Teorema de Varignon
29/12/2013
Ingeniero 17
• El momento sobre un punto dado O, de la
resultante de fuerzas concurrentes, es igual a
la suma de los momentos de cada fuerza
concurrente sobre el mismo punto O.
• Este teorema permite reemplazar el cálculo
directo del momento de una fuerza F por los
momentos de 2 o más fuerzas, componentes
de F.
  















 2
1
2
1 F
r
F
r
F
F
r

Componentes Rectangulares del
Momento de una fuerza
29/12/2013
Ingeniero 18
El momento de F sobre O,
k
F
j
F
i
F
F
k
z
j
y
i
x
r
F
r
M
z
y
x
O


















 ,
     k
yF
xF
j
xF
zF
i
zF
yF
F
F
F
z
y
x
k
j
i
k
M
j
M
i
M
M
x
y
z
x
y
z
z
y
x
z
y
x
O





















Componentes Rectangulares del
Momento de una fuerza
29/12/2013
Ingeniero 19
El momento de F, aplicada en el punto A, sobre cualquier punto B,
F
r
M B
A
B




 /
     
k
F
j
F
i
F
F
k
z
z
j
y
y
i
x
x
r
r
r
z
y
x
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A





















/
donde:
     
z
y
x
B
A
B
A
B
A
B
F
F
F
z
z
y
y
x
x
k
j
i
M 







Finalmente:

29/12/2013
Ingeniero 20
El plato rectangular está soportado
por ménsulas en A y B y un cable CD.
Si este tiene una tensión de 200 N,
calcule el momento en A, debido a la
fuerza ejercida por el cable en C.
SOLUCIÓN:
El momento MA de la fuerza F ejercida
por el cable, se obtiene evaluando el
producto vectorial,
F
r
M A
C
A






29/12/2013
Ingeniero 21
SOLUCIÓN:
128
96
120
08
.
0
0
3
.
0



k
j
i
M A




     k
j
i
M A




m
N
8.8
2
m
N
8.8
2
m
N
68
.
7 






   k
i
r
r
r A
C
A
C





m
08
.
0
m
3
.
0 



F
r
M A
C
A





 
 
     
     k
j
i
k
j
i
r
r
F
F
D
C
D
C









N
128
N
6
9
N
120
m
5
.
0
m
32
.
0
m
0.24
m
3
.
0
N
200
N
200









 

22
29/12/2013
Ingeniero 22
Cuadro resumen:
Producto vectorial, M y F
Concepto
matemático
Fórmula
Concepto en
MECÁNICA
Fórmula en MECÁNICA
Producto vectorial
Momento de F sobre un
punto O, en 2D
Producto vectorial
Momento de F sobre un
punto O, en 3D
Componentes
rectrangulares de un
vector
Componentes rectang. de
Fuerza y Momento

sin
Q
P
V  Fd
rF
M O 
 
sin
 
O
M r F
  

V P Q
 
  
x y z
F F i F j F k
  

  
O x y z
M M i M j M k
  
  
x y z
F F i F j F k
  

  

23
29/12/2013
Ingeniero 23
Ejercicios
4. (3.4) Se aplica una fuerza P a la palanca, tal como se indica. Calcule la
magnitud y dirección mínima de P para generar un momento de 25.0
lb·in en sentido anti-horario respecto al punto A.

24
29/12/2013
Ingeniero 24
Ejercicios
5. (3.11) Para tensar el cable al poste CD, hay que aplicar una fuerza
que produzca un momento de 1152 N·m respecto a D. Si el
malacate AB tiene una capacidad de 2880 N, indique el valor
mínimo de d para lograr ese momento, suponiendo que a = 0.24 m
y b = 1.05 m

25
29/12/2013
Ingeniero 25
Ejercicios
6. (3.26) El puntal de madera AB
sostiene temporalmente el techo
mostrado. Si ejerce una fuerza
de 250 N dirigida a lo largo de
BA, determine el momento de
esta fuerza respecto a D.

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