Recta, distancia entre dos puntos, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola

1. MATEMATICAS10
Valeria Carrillo Orozco
10C

2. Recta
• En geometría, la recta es una línea que se extiende a través de una gráfica en
una misma dirección, solo necesita de dos puntos para ser formada (aunque
puede tener infinitos puntos). Una recta no tiene un comienzo ni un fin.
También se considera que puede estar compuesta por indefinidos segmentos.

3. Distancia entre dos puntos
• En plano cartesiano se usa como un sistema de referencia para localizar
puntos en un plano.
• Otra de las utilidades de dominar los conceptos sobre el Plano cartesiano
radica en que, a partir de la ubicación de las coordenadas de dos puntos es
posible calcular la distancia entre ellos.
• Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre un eje o en una recta
paralela, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la
diferencia de sus abscisas (si es el eje X) y ordenadas (si es el eje Y).

4. Formula

5. Ejemplo

6. Circunferencia
• La distancia alrededor de un círculo se llama la circunferencia. La distancia a
través de un círculo a través del centro se llama el diámetro. Pi es la relación
de la circunferencia de un círculo con el diámetro. Por lo tanto, para cualquier
círculo, si se divide la circunferencia por el diámetro, se obtiene un valor
cercano a Pi.

7. Fórmula

8. Fórmula
• Podemos observar que tiene un formula de segundo grado en X e Y, esto nos
ayudara a encontrar el centro y el radio de la circunferencia si la despejamos.

9. Centro y radio

10. Ejemplo
• Escribe la ecuación de la circunferencia de centro (2,10) y radio 3.
(x-2)²+(y-10)²=9
x²-4x+4+y²-20y+100=9
x²+y²-4x-20y+95=0

11. Parábola
• En matemáticas, una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a
1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de
inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por
su generatriz.

12. Parábola
• Hay cuatro diferentes tipos de parábola: x^2=4ay cuando “a” es mayor a 0 y
cuando “a” es menor a 0, y^2=4ax cuando “a”es menor a 0 y cuando “a” es
mayor a 0.

13. X^2=4ay
• Cuando “a” es menor que 0:
Abre hacia abajo
Vértice: V(0,0)
Foco: F(0,a)
LR: |4a|
Directriz: y= -a
• Cuando “a” es mayor que 0:
Abre hacia arriba
Vértice: V(0,0)
Foco: F(0,a)
LR: |4a|
Directriz: y= -a

14. Y^2=4ax
• Cuando “a” es menor que 0:
Abre a la izquierda
Vértice: V(0,0)
Foco: F(a,0)
LR: |4a|
Directriz: y= -a
• Cuando “a” es mayor que 0:
Abre a la derecha
Vértice: V(0,0)
Foco: F(a,0)
LR: |4a|
Directriz: y= -a

15. Elipse
• La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las
distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante.
constante. Hay cuatro tipos de elipse, que se mostraran a continuación.

16. Ecuación horizontal
C (0,0)
Ecuación general
X²/Y²+y²/b²=1
F₁= (-C, 0)
F₂= (C, 0)
V₁= (-a, 0)
V₂= (a, 0)
B₁= (0, b)
B₂= (0, -b)
a>b>0
a²=b²+c

17. Ecuación vertical
C (0,0)
Ecuación general
X²/b²+y²/a²=1
F₁= (0, C)
F₂= (0, -C)
V₁= (0, a)
V₂= (0, -a)
B₁= (b, 0)
B₂= (-b, 0)
a>b>0
a²=b²+c²

18. Ecuación horizontal
C (h, k)
(x-h)²/a²+ (y-k)²/b²=1
F₁= (h-C, K)
F₂= (h+C, K)
V₁= (h-a, K)
V₂= (h+a, K)
B₁= (h, K-b)
B₂= (h, K+b)
LR= 2b²/a

19. Ecuación vertical
C (h, k)
(x-h)²/b²+ (y-k)²/a²=1
F₁= (h, K-C)
F₂= (h, K+C)
V₁= (h, K-a)
V₂= (h, K+a)
B₁= (h-b, K)
B₂= (h+b, K)
LR= 2b²/a

20. Ejemplo
(x-3)²/9+(y-2)²/5=1
a=3
b=√5
c= 9 − 5 =2
h=3
k=2
C= (3,2)
F₁= (1,2)
F₂= (5,2)
V₁= (0,2)
V₂= (6,2)
B₁= (3, 2-√5)
B₂= (3, 2+√5)
LR=2(√5)²/3 = 3.3

21. Hipérbola
• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia
de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es
constante. Se pueden encontrar cuatro ecuaciones de hipérbola que se
mostraran a continuación.

22. Formula 1
X²/a²-y²/b²=1
C (0,0)
F₁ (-C, 0)
F₂ (C, 0)
V₁ (-a, 0)
V₂ (a, 0)
a, b, c>0
C>a y C²= a²+b²

23. Formula 2
y²/a²-x²/b²=1
C (0,0)
F₁ (0, -C)
F₂ (0, C)
V₁ (0, -a)
V₂ (0, a)
a, b, c>0
C>a y C²= a²+b²

24. Formula 3
(X-h)²/a²-(y-k)²/b²=1
C (h,k)
F₁ (h-C, k)
F₂ (h+C, k)
V₁ (h-a, k)
V₂ (h+a, k)

25. Formula 4
(y-k)²/a²-(x-h)²/b²=1
C (h,k)
F₁ (h, k-C)
F₂ (h, k+C)
V₁ (h, k-a)
V₂ (h, k+a)
a, b, c>0
C>a y C²= a²+b²
y-k= a/b(x-h)
y-k= -a/b(x-h)

26. Ejemplo
(x-4)²/5-(y-5)²/11=1
C= 5 + 11 = 4
a=√5
b=√11
c=4
k=5
h=4
C (4,5)
F₁ (-1,5)
F₂ (9,5)
V₁ (2,5)
V₂ (6,5)
y-5=
5
11
(𝑥 − 4)
y=
5𝑥
11
− 3 + 5
y=
5
11
𝑥 + 2
y-5=-5/ 5 (𝑥 − 4)
y=-5x/ 5 + 3 + 5
y= -5x/ 5 + 8