Parte teórica y práctica del Tema 2.4: Área y Longitud de Arco, contenido perteneciente a la Unidad 2: Curvas Planas, Ecuaciones Parametricas y Coordenadas Polares.

1. Longitud de Arco
Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la
trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una
fórmula para determinar la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su
trayectoria.
Recuérdese que la fórmula para hallar la longitud de arco de una curva C dada por
𝑦 = ℎ 𝑥 en el intervalo 𝑥0, 𝑥1 es
Si C está representada por las ecuaciones paramétricas
𝑥 = 𝑓 𝑡 y y = 𝑔 𝑡 , a ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, y si
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑓′ 𝑡 > 0, se puede escribir:

3. EJEMPLO 1: Calcular la longitud de arco
Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo
mayor de radio 4, como se muestra en la
figura 10.33. La epicicloide trazada por un
punto en el círculo más pequeño está dada
por:
Hallar la distancia recorrida por el punto al dar
una vuelta completa alrededor del círculo
mayor.
Solución Antes de aplicar el teorema 10.8,
hay que observar en la figura 10.33 que la
curva tiene puntos angulosos en 𝑡 = 0 y
𝑡 = 𝜋
2 . Entre estos dos puntos, 𝑑𝑥 𝑑𝑡 y
𝑑𝑦 𝑑𝑡 no son simultáneamente 0. Por tanto,
la porción de la curva que se genera de 𝑡 = 0
a 𝑡 = 𝜋
2 es suave. Para hallar la distancia
total recorrida por el punto, calcular la longitud
de arco que se encuentra en el primer
cuadrante y multiplicar por 4.

4. 𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
5 cos 𝑡 − cos 5𝑡 = 5
𝑑
𝑑𝑡
cos 𝑡 −
𝑑
𝑑𝑡
cos 5𝑡 = 5 − sin 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
− −sin 5t
𝑑 5𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −5 sin 𝑡 + 5 sin 5𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
5 sin 𝑡 − sin 5𝑡 = 5
𝑑
𝑑𝑡
sin 𝑡 −
𝑑
𝑑𝑡
sin 5𝑡 = 5 cos 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
− cos 5𝑡
𝑑 5𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡
𝑆 = 4
0
𝜋 2
−5 sin 𝑡 + 5 sin 5𝑡 2 + 5 cos 𝑡 − 5 cos 5𝑡 2 𝑑𝑡
𝑆 = 4
0
𝜋 2
25 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 − 50 sin 𝑡 sin 5𝑡 + 25 𝑠𝑖𝑛25𝑡 + 25 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡 + 25 𝑐𝑜𝑠25𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 4
0
𝜋 2
25 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 25 𝑠𝑖𝑛25𝑡 + 𝑐𝑜𝑠25𝑡 − 50 sin 𝑡 sin 5𝑡 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 4
0
𝜋 2
25 + 25 − 50 sin 𝑡 sin 5𝑡 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡

5. 𝑆 = 4
0
𝜋 2
50 − 50 sin 𝑡 sin 5𝑡 − 50 cos 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 4
0
𝜋 2
50 1 − sin 𝑡 sin 5𝑡 − cos 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 4
0
𝜋 2
50 1 − sin 𝑡 sin 5𝑡 + cos 𝑡 cos 5𝑡 𝑑𝑡
Identidad trigonométrica (Formula de suma y diferencia):
cos 𝑢 ± 𝑣 = cos 𝑢 cos 𝑣 ∓ sin 𝑢 sin 𝑣
𝑆 = 4
0
𝜋 2
50 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 5𝑡 𝑑𝑡 = 4
0
𝜋 2
50 1 − 𝑐𝑜𝑠 −4𝑡 𝑑𝑡
Identidad trigonométrica (Formula de reducción):
cos −𝑥 = cos 𝑥
𝑆 = 4
0
𝜋 2
50 1 − cos 4𝑡 𝑑𝑡

6. Para la epicicloide de la figura 10.33, una longitud de arco de 40 parece correcta,
puesto que la circunferencia de un círculo de radio 6 es 2𝜋𝑟 = 12𝜋 ≈ 37.7.
Identidad trigonométrica (Formula de ángulo doble):
cos 2𝑢 = 1 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑢 → 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑢 = 1 − cos 2𝑢
𝑆 = 4
0
𝜋 2
50 1 − cos 4𝑡 𝑑𝑡 → 𝑢 = 2𝑡
𝑆 = 4
0
𝜋 2
50 2 𝑠𝑖𝑛22𝑡 𝑑𝑡 = 4
0
𝜋 2
100 𝑠𝑖𝑛22𝑡 𝑑𝑡 = 4
0
𝜋 2
100 𝑠𝑖𝑛22𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 4
0
𝜋 2
10 sin 2𝑡 𝑑𝑡 = 40
0
𝜋 2
sin 2𝑡 𝑑𝑡 =
40
2 0
𝜋 2
sin 2𝑡 𝑑𝑡 = 20 − cos 2𝑡 0
90
𝑆 = −20 cos 2 90 − cos 2 0 = −20 −1 − 1 = 40

7. EJEMPLO 2: Calcular la longitud de arco de la curva dada en el intervalo indicado:
tex t
cos
 sentey t

2
0

 t
SOLUCIÓN:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑒−𝑡
cos 𝑡 = 𝑒−𝑡
𝑑
𝑑𝑡
cos 𝑡 + cos 𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑒−𝑡
= 𝑒−𝑡
− sin 𝑡 + cos 𝑡 −𝑒−𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −𝑒−𝑡
sin 𝑡 − 𝑒−𝑡
cos 𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑒−𝑡 sin 𝑡 = 𝑒−𝑡
𝑑
𝑑𝑡
sin 𝑡 + sin 𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑒−𝑡 = 𝑒−𝑡 cos 𝑡 + sin 𝑡 −𝑒−𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑒−𝑡
cos 𝑡 − 𝑒−𝑡
sin 𝑡
𝑠 =
0
𝜋 2
−𝑒−𝑡 sin 𝑡 − 𝑒−𝑡 cos 𝑡 2 + 𝑒−𝑡 cos 𝑡 − 𝑒−𝑡 sin 𝑡 2 𝑑𝑡
𝑠 =
0
𝜋 2
𝑒−2𝑡 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 2𝑒−2𝑡 sin 𝑡 cos 𝑡 + 𝑒−2𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 + 𝑒−2𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 − 2𝑒−2𝑡 sin 𝑡 cos 𝑡 + 𝑒−2𝑡 𝑠𝑖𝑛2 𝑡𝑑𝑡

8. 𝑠 =
0
𝜋 2
2𝑒−2𝑡 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 2𝑒−2𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝑡𝑑𝑡 =
0
𝜋 2
2𝑒−2𝑡 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 =
0
𝜋 2
2𝑒−2𝑡
𝑠 =
0
𝜋 2
2 𝑒−2𝑡 = 2
0
𝜋 2
𝑒−2𝑡 1 2
= 2
0
𝜋 2
𝑒−𝑡
= − 2
0
𝜋 2
𝑒−𝑡
= − 2 𝑒−𝑡
0
𝜋 2
𝑠 = − 2 𝑒− 𝜋 2
− 𝑒0
= − 2 0.2078 − 1 = 1.1203

9. Área de una superficie de revolución
La fórmula para el área de una superficie de revolución en forma rectangular puede
usarse para desarrollar una fórmula para el área de la superficie en forma
paramétrica.
Estas fórmulas son fáciles de recordar si se considera al diferencial de la longitud de
arco como:

10. Entonces las fórmulas se expresan como sigue:
EJEMPLO 3: Hallar el área de una superficie
de revolución
Sea C el arco de la circunferencia
que va desde 3,0 hasta 3 2 , 3 3 2 como se
ve en la figura 10.35. Encontrar el área de la
superficie generada por revolución de C
alrededor del eje x.
Solución: C se puede representar en forma
paramétrica mediante las ecuaciones:

11. (El intervalo para t se obtiene observando que 𝑡 = 0 cuando x = 3 y 𝑡 = 𝜋 3 cuando
x = 3 2). En este intervalo, C es suave y y es no negativa, y se puede aplicar el
teorema 10.9 para obtener el área de la superficie:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
3 cos 𝑡 = 3
𝑑
𝑑𝑡
cos 𝑡 = 3 − sin 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= −3 sin 𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
3 sin 𝑡 = 3
𝑑
𝑑𝑡
sin 𝑡 = 3 cos 𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
= 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑆 = 2𝜋
𝑎
𝑏
𝑔 𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡 = 2𝜋
0
𝜋
3
3 sin 𝑡 −3 sin 𝑡 2 + 3 cos 𝑡 2 𝑑𝑡
𝑆 = 2𝜋
0
𝜋
3
3 sin 𝑡 9 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 9 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝜋
0
𝜋
3
3 sin 𝑡 9 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 2𝜋
0
𝜋
3
3 sin 𝑡 9 𝑑𝑡 = 2𝜋
0
𝜋
3
3 sin 𝑡 3 𝑑𝑡 = 2𝜋
0
𝜋
3
9 sin 𝑡 𝑑𝑡 = 18 𝜋
0
𝜋
3
sin 𝑡 𝑑𝑡
𝑆 = 18 𝜋 − cos 𝑡 0
60
= −18 𝜋 cos 60 − cos 0 = −18 𝜋 0.5 − 1 = 9𝜋