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- 4. INDUCCIÓN MATEMÁTICA. CREACIÓN DE PROPOSICIONES DE INDUCCIÓN A PARTIR DE OTRAS. TEMAS/CONTENIDOS:
- 5. INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN Por: Jonathan Miguel Mendoza Licenciado en Educación Mención Matemáticas
- 6. Sumatoria: Series Si tenemos un conjunto finito de datos, xi, cuyo primer elemento es x1 y cuyo último elemento es xn; si aplicamos el buen principio de contar podemos inducir que el conjunto tiene n elementos. Representando los elementos del conjunto por enumeración de la forma siguiente: {x1, x2, x3, x4, ….., xn}. La suma de estos elementos sería como sigue: x1+ x2 + x3 + x4 + ….. + xn. Ahora bien designemos la letra “i” como la variable cuyo dominio es el intervalo natural: 1 ≤ i ≤ n, donde n ϵ N y n ≥ 2.
- 7. Para representar la suma anterior de forma abreviada se utiliza la letra griega Sigma (∑) que equivale a la S de nuestro alfabeto castellano, acompañado de un subíndice i = 1 y un supra índice igual a n, un numero natural mayor que i = 1. Es decir, x1+ x2 + x3 + x4 + ….. + xn = Por ejemplo, si queremos desarrollar la suma: n i = 1 xi n i = 1 yi = y1 + y2 + y3 + y4 + ….. + yn
- 8. 7 i = 1 mi = m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6 + m7 7 i = 1 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 7 i = 1 2i = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) + 2(5) + 2(6) + 2(7) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56
- 9. 7 i = 1 i2 = (1) 2 + (2)2 + (3)2 + (4)2 + (5)2 + (6)2 + (7)2 7 i = 1 (2i + 1) = [2(1) + 1] + [2(2) + 1] + [2(3) + 1] + [2(4) + 1] + [2(5) + 1] + [2(6) +1] + [2(7) + 1] = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 63 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 140 7 i = 1 i3 = (1)3 + (2)3 + (3)3 + (4)3 + (5)3 + (6)3 + (7)3 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784
- 10. Propiedades de la Sumatoria I- Sumatoria de una Constante. La Sumatoria de una Constante es igual al producto del índice o superíndice (n) por la constante. n i = 1 ki = k1 + k2 + k3 + k4 + …. + kn Si hacemos: k1 = k2 = k3 = k4 = …. = kn = k n i = 1 ki = k + k + k + k + …. + k n sumandos iguales n i = 1 k = k∙n
- 11. 6 i = 1 k = k + k + k + k + k + k = 6∙k 6 sumandos iguales 6 i = 1 k = 6∙k 6 i = 1 10 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 6∙(10) = 60 Ejercicios: Calcular las siguientes sumas 6 i = 1 C = ____ 8 i = 1 50 = ____ 10 i = 1 7k = ____
- 12. II- Sumatoria de una Constante por una variable. La Sumatoria de una Constante por una variable es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable. Si tenemos una variable yi y la constante k, su producto es igual k∙yi = yi∙k por la propiedad conmutativa de la multiplicación. Si queremos obtener la sumatoria: n i = 1 [kyi] = ky1 + ky2 + ky3 + ky4 + …. + kyn
- 13. Ahora bien, si aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación frente a la suma, (sacamos el Factor Común) obtenemos: n i = 1 [kyi] = k(y1 + y2 + y3 + y4 + …. + yn) Pero sabemos que y1 + y2 + y3 + y4 + …. + yn es la suma abreviada: n i = 1 [yi] , luego tenemos: n i = 1 [kyi] = n i = 1 [yi] k
- 14. Ejemplo: Calcular las siguientes sumas 6 i = 1 [7i] = 6 i = 1 [i] 7 n i = 1 [i] 7 = [1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6] = 21 6 i = 1 [i] = 7(21) = 147 7 i = 1 [mi] = n i = 1 [i] m = m(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = m(28) = 28m Asumiendo que m es constante.
- 15. III- Sumatoria de la suma de dos variables. Es igual a la suma de la sumatorias de las variables. Si tenemos la suma xi + yi, y queremos obtener la sumatoria de la Suma de las variables xi y yi ; esta sumatoria se expresaría así: n i = 1 [xi + yi] Esto sería igual a: n i = 1 [xi + yi] = [x1 + y1] + [x2 + y2] + [x3 + y3] + [x4 + y4] + …+[xn + yn]
- 16. Asociando términos tenemos: = [x1 + x2 + x3 + x4 + …. + xn ] + [y1 + y3 + y4 + …+ yn] = [x1 + y1] + [x2 + y2] + [x3 + y3] + [x4 + y4] + …+[xn + yn] n i = 1 [xi + yi] n i = 1 [xi + yi] n i = 1 [xi + yi] n i = 1 [xi] = n i = 1 [yi] + n i = 1 [xi – yi] n i = 1 [xi] = n i = 1 [yi] –
- 17. Propiedad IV de la Sumatoria. n i = 1 [xi – xi – 1 ] = [x1 – x0 ] + [x2 – x1 ] + [x3 – x2 ] + [x4 – x3 ] + … + [xn – 1 – xn – 2] + [xn – xn – 1] = – x0 + xn = xn – x0 n i = 1 [xi – xi – 1 ] = xn – x0 Propiedad telescópica
- 18. Propiedad V de la Sumatoria. n i = 1 [i] = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + (n – 3) + (n – 2) + (n – 1) + n n i = 1 [i] = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + … + 8 + 7 + 6 + … + 1 n i = 1 [i] 2 = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) n Sumandos (n + 1)
- 19. n i = 1 [i] 2 = n(n + 1) n i = 1 [i] n(n + 1) 2 = Propiedad V de la Sumatoria. Propiedad VI de la Sumatoria. n i = 1 [i2] = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ….. + n2 n i = 1 [i2] n(n + 1)(2n + 1) 6 =
- 20. Otra forma de demostrarla la Propiedad V de la Sumatoria. n i = 1 [i] n(n + 1) 2 = 𝒊 + 𝟏 𝟐 = 𝒊𝟐 + 𝟐𝒊 + 𝟏 𝟎 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟐 = 𝟎 𝒏 𝒊𝟐 + 𝟐𝒊 + 𝟏 𝟎 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟐 = 𝟎 𝒏 𝒊𝟐 + 𝟐 𝟎 𝒏 𝒊 + 𝟎 𝒏 𝟏 Identidad algebraica, el cuadrado de la suma de dos cantidades. Aplicando sumatoria miembro a miembro Linealidad de la sumatoria
- 21. 𝟐 𝟎 𝒏 𝒊 = 𝟎 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟐 − 𝟎 𝒏 𝒊𝟐 − 𝟎 𝒏 𝟏 𝟐 𝟎 𝒏 𝒊 = 𝟎 𝒏 ( 𝒊 + 𝟏 𝟐 − 𝒊𝟐 ) − (𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝟎 𝒏 𝒊 = 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟎𝟐 − (𝒏 + 𝟏) Propiedad telescópica Transposición de términos Asociando términos de suma y propiedad de la constante.
- 22. 𝟐 𝟎 𝒏 𝒊 = 𝒏 + 𝟏 𝟐 − (𝒏 + 𝟏) 𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟐 − (𝒏 + 𝟏) 𝟎 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟐 − (𝒏 + 𝟏) Elemento identidad de la suma Despejando la sumatoria Simplificando
- 23. 𝟎 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 (𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟏 − 𝟏) 𝟎 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟎 𝒏 𝒊 = 𝟏 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝒏 Por Factor común Simplificando L.C.Q.D.
- 24. Propiedad VI de la Sumatoria. n i = 1 [i2] = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ….. + n2 n i = 1 [i2] n(n + 1)(2n + 1) 6 =
- 25. 𝒊 + 𝟏 𝟑 = 𝒊𝟑 + 𝟑𝒊𝟐 + 𝟑𝒊 + 𝟏 Identidad algebraica, el cuadrado de la suma de dos cantidades. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟑 = 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟑 + 𝟑𝒊𝟐 + 𝟑𝒊 + 𝟏) Aplicando sumatorio, miembro a miembro. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟑 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟑 + 𝒊=𝟏 𝒏 (𝟑𝒊𝟐 ) + 𝒊=𝟏 𝒏 𝟑𝒊 + 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 Por la propiedad de linealidad del operador Sigma.
- 26. 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟑 = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟑 + 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) + 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐 ) = 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊𝟑 − 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 Propiedad de la suma de una constante por una variable. Despejando del termino de la suma de i cuadrado.
- 27. 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝒊=𝟏 𝒏 [ 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊𝟑 ] − 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 𝟏 𝟑 [𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐 )] = 𝟏 𝟑 [ 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊𝟑 − 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏] 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝟏 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 + 𝟏 𝟑 − 𝒊𝟑 − 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 Propiedad Asociativa de la suma. Despejando el primer miembro o lado. Simplificando
- 28. 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝟏 𝟑 𝒏 + 𝟏 𝟑 − 𝟏𝟑 − 𝟑 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 − 𝒊=𝟏 𝒏 𝟏 Propiedad Telescópica de la sumatoria. 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝟏 𝟑 𝒏 + 𝟏 𝟑 − 𝟏 − 𝟑𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝒏 Otras Propiedades de la sumatoria: 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 𝒌 = 𝒏(𝒌)
- 29. 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝟏 𝟑 𝟏 𝒏 + 𝟏 𝟑 − 𝟏 − 𝟑𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟏𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟑 − 𝟐 𝟐 − 𝟑𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 − 𝟐𝒏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐 ) = 𝟏 𝟑 𝟐 𝒏 + 𝟏 𝟑 − 𝟑𝒏 𝒏 + 𝟏 − 𝟐𝒏 − 𝟐 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝟏 𝟑 𝟐 𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟏 − 𝟑𝒏𝟐 − 𝟑𝒏 − 𝟐𝒏 − 𝟐 𝟐
- 30. 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐 ) = 𝟏 𝟑 𝟐𝒏𝟑 + 𝟔𝒏𝟐 + 𝟔𝒏 + 𝟐 − 𝟑𝒏𝟐 − 𝟑𝒏 − 𝟐𝒏 − 𝟐 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝟏 𝟑 𝟐𝒏𝟑 + 𝟑𝒏𝟐 + 𝒏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐 ) = 𝟏 𝟑 𝒏 𝟐𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 + 𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐 ) = 𝟏 𝟑 𝒏 𝟐𝒏𝟑 + 𝟐𝒏 + 𝒏 + 𝟏 𝟐
- 31. 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝟏 𝟑 𝒏 𝟐𝒏𝟑 + 𝟐𝒏) + (𝒏 + 𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐 ) = 𝟏 𝟑 𝒏 𝟐𝒏 𝒏 + 𝟏) + (𝒏 + 𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐 ) = 𝟏 𝟑 𝒏 (𝒏 + 𝟏) 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟐
- 32. 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝟏 𝟑 𝒏 (𝒏 + 𝟏) 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟐 𝒊=𝟏 𝒏 (𝒊𝟐) = 𝒏 (𝒏 + 𝟏) 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟔
- 33. Propiedad VII de la Sumatoria. n i = 1 [i3] n2(n + 1)2 4 = Propiedad VII de la Sumatoria. n i = 1 [i4] = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟔𝒏𝟑 + 𝟗𝒏𝟐 − 𝟏 𝟑𝟎 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 𝟐 Demostrar a modo de TAREA hágalas en su cuaderno de matemática y me envía las por mensaje privado a WhatsApp.
- 34. INDUCCIÓN MATEMÁTICA. Principio de Inducción Matemática: es un procedimiento para probar determinadas proposiciones algebraicas en las que intervienen los números naturales. Las demostraciones por inducción se fundamentan en el principio llamado Principio de Inducción Completa.
- 35. El Principio de Inducción Completa supone que si una propiedad P se cumple para un número natural k cualquiera, esta misma propiedad también se cumplirá para el sucesor de ese (k + 1), y por consiguiente para todos los números naturales. Si P(n) es una proposición, llamada proposición de inducción; que enuncia alguna propiedad de los números naturales, la prueba por inducción matemática consiste en el siguiente algoritmo: 1) Asumir por medio de pruebas ensayos que P(1), P(2) P(3) son verdaderas, P(1) es la Base de Inducción.
- 36. 2) Considerar que si un número natural k tiene la propiedad P, entonces, su sucesor (k + 1) tiene la propiedad P. A la proposición P(k) se llama Hipótesis de Inducción. 3) Si se prueba que P(k) y P(k + 1) tiene la propiedad P, es decir, son verdaderas, entonces, todo número natural tiene la propiedad P, es decir, P(n) es verdadera. Ejemplo 1: Demostrar por inducción que: P(n): 5 + 9 + 13 + …. + (4n + 1) = 2n2 + 3n P(2): [4(1) + 1] + [4(2) + 1] = 2(2)2 + 3(2) Verdadera P(1): 4(1) + 1 = 2(1)2 + 3(1) Verdadera
- 37. Verdadera P(k + 1): [2k2 + 3k] + [4(k + 1) + 1] = 2(k + 1)2 + 3(k + 1) P(k + 1): [2k2 + 3k] + [4k + 4 + 1] = 2(k2 + 2k + 1) + 3k + 3 P(k + 1): 2k2 + 3k + 4k + 4 + 1 = 2k2 + 4k + 2 + 3k + 3 : 2k2 + 7k+ 5 = 2k2 + 7k + 5 q.e.d. Tesis de Inducción P(1): 4(1) + 1 = 2(1)2 + 3(1) Verdadera Base de Inducción P(2): [4(1) + 1] + [4(2) + 1] = 2(2)2 + 3(2) Verdadera P(3): [4(1) + 1] + [4(2) + 1] + [4(3) + 1]= 2(3)2 + 3(3) P(k): 4k + 1 = 2k2 + 3k Verdadera Hipótesis de Inducción
- 38. : 2k2 + 3k + 4k + 4 = 2(k + 1)2 + 3(k + 1) P(k + 1): [2k2 + 3k] + [4(k + 1) + 1] = 2(k + 1)2 + 3(k + 1) : 2k2 + 4k + 2 + 3k + 2 + 1 = 2(k + 1)2 + 3(k + 1) : 2(k2 + 2k + 1) + 3k + 3 = 2(k + 1)2 + 3(k + 1) : 2(k + 1)2 + 3(k + 1) = 2(k + 1)2 + 3(k + 1) q.e.d. Tesis de Inducción Otra Forma de Concluir es: : 2k2 + 3k + 4k + 4 = 2(k + 1)2 + 3(k + 1) P(k + 1): [2k2 + 3k] + [4(k + 1) + 1] = 2(k + 1)2 + 3(k + 1) : 2k2 + 4k + 2 + 3k + 2 + 1 = 2(k + 1)2 + 3(k + 1)
- 39. Ejemplo #2: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + … . + 𝒏 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 𝑷 𝟏 : 𝟏 = 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟐 𝑷 𝒌 : 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + … . +𝒌 = 𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 Verdadero Base de la inducción Hipótesis de inducción 𝑷 𝒌 + 𝟏 : 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + … . +𝒌 + (𝒌 + 𝟏) = (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟏 + 𝟏 𝟐
- 40. 𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + (𝒌 + 𝟏) = (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + 𝟐 𝟐 (𝒌 + 𝟏) = (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝒌 𝒌 + 𝟏 + 𝟐(𝒌 + 𝟏) 𝟐 = (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝒌 + 𝟏 (𝒌 + 𝟐) 𝟐 = (𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 L.C.Q.D.
- 41. Ejemplo #3: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟑 + 𝟔 + 𝟗 + … . +𝟑𝒏 = 𝟑𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐 𝑷 𝟏 : 𝟑 𝟏 = 𝟑 𝟏 𝟏 + 𝟏 𝟐 = 𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 Verdadero Base de la inducción 𝑷 𝒌 : 𝟑 + 𝟔 + 𝟗 + … . +𝟑𝒌 = 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 Hipotesis de inducción 𝑷 𝒌 + 𝟏 : 𝟑 + 𝟔 + 𝟗 + … . +𝟑(𝒌 + 𝟏) = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟏 + 𝟏 𝟐
- 42. 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + 𝟑(𝒌 + 𝟏) = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 𝟐 (𝒌 + 𝟏) = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 𝟐 + 𝟔 𝟐 (𝒌 + 𝟏) = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝟑𝒌 𝒌 + 𝟏 + 𝟔(𝒌 + 𝟏) 𝟐 = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝒌 + 𝟏 (𝟑𝒌 + 𝟔) 𝟐 = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐
- 43. 𝒌 + 𝟏 (𝟑𝒌 + 𝟔) 𝟐 = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 𝟑 𝒌 + 𝟏 (𝒌 + 𝟐) 𝟐 = 𝟑(𝒌 + 𝟏) 𝒌 + 𝟐 𝟐 L.C.Q.D. Ejercicios: #1: Demostrar por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟓 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟓 + … . +𝟓𝒏 = 𝟓𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟐
- 44. #2: Demostrar por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝟑 𝟐 + … . + 𝟏 𝟐 𝒏 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟒 #3: Demostrar por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟑 𝟐 + 𝟑 + 𝟗 𝟐 + … . + 𝟑 𝟐 𝒏 = 𝟑𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟒 #4: Demostrar por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟐 + 𝟒 + 𝟔 + … . +𝟐𝒏 = 𝒏𝟐 + 𝒏 #5: Demostrar por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟔 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟖 + … . +𝟔𝒏 = 𝟑𝒏𝟐 + 𝟑𝒏 #2: Demostrar por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟏 𝟐 + 𝟏 + 𝟑 𝟐 + … . + 𝟏 𝟐 𝒏 = 𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟒 #3: Demostrar por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟑 𝟐 + 𝟑 + 𝟗 𝟐 + … . + 𝟑 𝟐 𝒏 = 𝟑𝒏 𝒏 + 𝟏 𝟒
- 45. Probaremos por inducción la Propiedad VI de la Sumatoria. n i = 1 [i2] n(n + 1)(2n + 1) 6 = n i = 1 [i2] = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ….. + n2 n(n + 1)(2n + 1) 6 P(n): 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + ….. + n2 =
- 46. 1(1 + 1)(2(1) + 1) 6 P(1): 12 = P(1): 12 = 1(2)(3) 6 P(1): 1 = Verdadero Base de inducción k(k + 1)(2k + 1) 6 P(k): 12 + 22 + 32 + ….+ k2 = Hipótesis de inducción P(k + 1): 12 + 22 + 32 + ….+ (k + 1)2 = (k + 1)(k + 1 + 1)(2(k + 1) + 1) 6
- 47. k(k + 1)(2k + 1) 6 + (k + 1)2 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 k(k + 1)(2k + 1) 6 + 𝟔 𝟔 (k + 1)2 = (k + 1)(k + 2)(2k + 3) 6 𝒌 𝒌+𝟏 𝟐𝒌+𝟏 +𝟔 𝒌+𝟏 𝟐 𝟔 = (𝒌+𝟏) 𝒌+𝟐 𝟐𝒌+𝟑 𝟔 𝒌 𝒌+𝟏 𝟐𝒌+𝟏 +𝟔(𝒌𝟐+𝟐𝒌+𝟏) 𝟔 = (𝒌𝟐+𝒌) 𝟐𝒌+𝟏 +𝟔𝒌𝟐+𝟏𝟐𝒌+𝟔 𝟔 𝟐𝒌𝟑+𝟑𝒌𝟐+ 𝒌 + 𝟔𝒌𝟐+𝟏𝟐𝒌+𝟔 𝟔 = 𝟐𝒌𝟑+𝟗𝒌𝟐+ 𝟏𝟑𝒌+𝟔 𝟔
- 48. 𝟐𝒌𝟑+𝟗𝒌𝟐+ 𝟏𝟑𝒌+𝟔 𝟔 = 𝟐𝒌𝟑+𝟗𝒌𝟐+ 𝟏𝟑𝒌+𝟔 𝟔 𝟐𝒌𝟑 + 𝟗𝒌𝟐 + 𝟏𝟑𝒌 + 𝟔 𝟐 + 𝟗 + 𝟏𝟑 + 𝟔 -1 2 -2 7 -7 6 -6 0 (𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)(𝟐𝒌 + 𝟑) -2 2 -4 3 -6 0 (𝒌+𝟏)(𝒌+𝟐)(𝟐𝒌+𝟑) 𝟔 = 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝟔: ±{𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟔} Regla de Ruffini: (𝒌+𝟏) 𝒌+𝟐 𝟐𝒌+𝟑 𝟔 Como ambos lados dieron lo mismo la propiedad queda demostrada
- 49. Probaremos por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗, 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝟗|(𝟏𝟎𝒏 − 𝟏) 𝑷 𝟏 : 𝟏𝟎𝟏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗 Verdadero, Base de inducción 𝑷 𝒌 : 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗 Hipótesis de inducción 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟗 → 𝟗| 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 𝟗| 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 → 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 = 𝟗𝐊
- 50. 𝟗| 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 → 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 = 𝟗𝐊 𝟏𝟎𝒌 − 𝟏 = 𝟗𝐊 → 𝟏𝟎𝐤 − 𝟏 (𝟏𝟎) = 𝟗𝐊(𝟏𝟎) 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏𝟎 = 𝟗(𝟏𝟎𝐊) → 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏𝟎 + 𝟗 = 𝟗 𝟏𝟎𝐊 + 𝟗 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏𝟎 + 𝟗 = 𝟗 𝟏𝟎𝐊 + 𝟗 → 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 = 𝟗(𝟏𝟎𝐊 + 𝟏) Si hacemos que: 𝟏𝟎𝐊 + 𝟏 = 𝑲∗ 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 = 𝟗 𝟏𝟎𝐊 + 𝟏 → 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 = 𝟗𝐊∗ 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 = 𝟗𝐊∗ → 𝟗| 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 𝟏𝟎𝐤+𝟏 − 𝟏 es divisible por 9. L.C.Q.D.
- 51. Probaremos por inducción que: 𝑷 𝒏 : 𝟖𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟕 𝟕| 𝟖𝒏 − 𝟏 → 𝟖𝒏 − 𝟏 = 𝟕𝑪 𝟏) 𝟕| 𝟖𝟏 − 𝟏 → 𝟖𝟏 − 𝟏 = 𝟕(𝟏) Verdadero, Base de inducción 𝟐) 𝟕| 𝟖𝒌 − 𝟏 → 𝟖𝒌 − 𝟏 = 𝟕𝑪 Hipótesis de inducción 𝟑) 𝟕| 𝟖𝒌 − 𝟏 → (𝟖𝒌 − 𝟏)(𝟖) = 𝟕𝑪(𝟖) 𝟒) 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟖 = 𝟕 𝟖𝑪 → 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟖 + 𝟕 = 𝟕 𝟖𝑪 + 𝟕 𝟓) 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟖 + 𝟕 = 𝟕 𝟖𝑪 + 𝟕 → 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏 = 𝟕(𝟖𝑪 + 𝟏)
- 52. 𝟔) 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏 = 𝟕 𝟖𝑪 + 𝟏 → 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏 = 𝟕𝑪∗ 𝟕) 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏 = 𝟕𝑪∗ → 𝟕|(𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏) 𝟖) 𝟕|(𝟖𝒌 − 𝟏) → 𝟕|(𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏) 𝟗) 𝑷𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: 𝟖𝒌+𝟏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟕 L.C.Q.D.
- 53. Ejercicios: #1: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟒 + 𝟕 + 𝟏𝟎 + … . +(𝟑𝒏 + 𝟏) = 𝟑𝒏𝟐 + 𝟓𝒏 𝟐 #2: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 + … . +(𝒏 + 𝟐) = 𝒏𝟐 + 𝟓𝒏 𝟐 #3: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟔 + 𝟕 + 𝟖 + … . +(𝒏 + 𝟓) = 𝒏𝟐 + 𝟏𝟏𝒏 𝟐 #4: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟕𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟔
- 54. #4: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟗𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟖 #5: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟏𝟐𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟏𝟏 #6: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟗𝟐𝒏 − 𝟏 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟏𝟎 #7: Demostrar que: 𝑷 𝒏 : 𝟐(𝟒𝒏 + 𝟐) 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒑𝒐𝒓 𝟑