2016

1. NOMBRE: XAVIER PAGUAY
CODIGO: 923
INTEGRALES POR FUNCIONES RACIONALES (FRACIONES PARCIALES)

2. EJERCICIO 23-INTEGRALES
RACIONALES/ANALISIS
MATEMATICO DE EDUARDO
ESPINOSA RAMOS

3. (𝑥2
+ 𝑥 − 1)
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 + 1
𝑑𝑥
(𝑥2+𝑥−1)
𝑥2 𝑥−1 −(𝑥−1)
(𝑥2+𝑥−1)
(𝑥−1)2−(𝑥+1)
(𝑥2+𝑥−1)
𝑥3−𝑥2−𝑥+1
AGRUPAMOS LOS
TÉRMINOS DEL
DENOMINADOR

4. HACEMOS LA DESCOMPOCION POR
FRACCIONES PRACIALES:
𝑥2
+ 𝑥 − 1
𝑥 − 1 2 𝑥 + 1
=
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
𝑥 − 1 2 +
𝐶
𝑥 + 1
=

5. MEDIANTE LA SUSTITUCIÓN DE
PUNTOS CRÍTICOS (ES DECIR VALORES
QUE HACEN CERO AL DENOMINADOR)
𝑆𝐼. − 𝑥 = 1 1 + 1 − 1 = 𝐴 0 + 𝐵 2 + 𝐶 0 −2𝐵 = 1 𝐵 =
1
2
𝑥2
+ 𝑥 − 1

6. 𝑆𝐼. − 𝑥 = −1 1 − 1 − 1 = 𝐴 0 + 𝐵 0 + 𝐶 4 𝐵 = −
1
4
4𝐵 = −1
𝑥2 + (−1)𝑥 − 1

7. 𝑆𝐼. − 𝑥 = 0 −1 = 𝐴 −1 + 𝐵 + 𝐶 −𝐴 +
1
2
−
1
4
= −1 A =
1
4
(0)𝑥2+(0)𝑥 − 1

8. LUEGO:
𝐴
𝑥 − 1
+
𝐵
𝑥 − 1 2
+
𝐶
𝑥 + 1
1
4
𝑥 − 1
+
−
1
4
𝑥 − 1 2
+
1
2
𝑥 + 1
REEMPLAZAM
OS LOS
VALORES
ENCONTRADO
S (ABC)
REPRESENTAMOS
LA INTEGRALES EN
FRACCIONES
PARCIALES

9. 1
4
𝑥 − 1
𝑑𝑥 +
−
1
4
𝑥 − 1 2
𝑑𝑥 +
1
2
𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
POR PROPIEDAD DE INTEGRALES PODEMOS
SEPARAR EN VARIAS INTEGRALES DE ACUERDO O
LA OPERACIÓN:
1
4
𝑑𝑥
𝑥 − 1
−
1
4
𝑑𝑥
𝑥 − 1 2 +
1
2
𝑑𝑥
𝑥 + 1
=
1
4
ln 𝑥 − 1 +
1
4 𝑥 − 1
+
1
2
ln 𝑥 + 1 + 𝑐
SACAMOS LAS
CONSTANTES
DEL
NUMERADOR

10. • 𝟑𝒙+𝟐 𝒅𝒙
𝒙(𝒙+𝟏) 𝟑
3x+2
x(x+1)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥+1
+
𝐶
𝑥+1
+
𝐷
(𝑥−1)3
=
𝐴(𝑥 − 1)3
+ 𝐵 𝑥 𝑥 − 1 2
+ 𝐶𝑥 𝑥 − 1 + 𝐷𝑥
𝑥(𝑥 − 1)3
= A(𝑥3
+ 𝑥2
+ 3x + 1) + B(𝑥3
+ 2𝑥2
+ 𝑥) + C(𝑥2
+ 𝑥) + Dx
=A 𝑥3
+A 𝑥2
+ 3𝐴𝑥 + 1 + 𝐵𝑥3
+ 2𝐵𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥2
+ 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥
x =0 => 2=A(1)+B(0)+C(0)+D(0) =>
x = -1 => -3+2=A(0)+B(0)+C(0)-D=>
A=2
D=1
Descompones en
fracciones parciales
Realizamos la suma
Realizamos las
operaciones en el
numerador
Mediante la sustitucion
de puntos criticos
tenemos que:

11. = 𝑥3
(A+B)+𝑥2
3𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 + 𝑥(3𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷)
x3
: A+B=0 => -2+B=
x2
: 3A+2B+C=0 => -6+4 =
2
𝑥
+
−2
𝑥 + 1
+
−2
𝑥 + 1
+
1
(𝑥 − 1)3
2
1
𝑥
𝑑𝑥 -2
1
𝑥+1
𝑑𝑥 −2
1
(𝑥+1)2 𝑑𝑥+
1
(𝑥+1)2 𝑑𝑥
= 2ln 𝑥 − 2 ln(x + 1) +
2
𝑥+1
−
1
2 𝑥+1 2 + 𝐶
C=-
2
B=-
2
Mediante
identidades
algebraicas
tenemos:
remplazamos los
valores en la
fracciones parciales
resolvemos por
sustitucionu=x+1
du=dx
dx=du
aplicamos la integral

12. = 2ln 𝑥 − 2 ln(x + 1) +
2
𝑥+1
−
1
2 𝑥+1 2 + 𝐶
= ln 𝑥 (
𝑥
𝑥 + 1
)2+
4𝑥 + 3
2 𝑥 + 1 2
+ 𝐶
• Israel Medina
• 860
aplicamos
propiedades de los
logaritmos
resolvemos

13. EJERCICIO Nº 21
REALIZADO POR : CARLOS NIETO. COG. 862
𝑥 + 2
𝑥 − 1
2
𝑑𝑥
𝑥
REALIZAMOS POR FRACCIONES PARCIALES
𝑥 + 2 2
𝑥 𝑥 − 1 1
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 1
+
𝐶
𝑥 − 1 2
MULTIPLICANDO AMBOS MIEMBROS DE LA IGUALDAD POR EL
DENOMINADOR COMÚN
𝑥 + 2 2
= A 𝑥 − 1 2
+BX 𝑥 − 1 +CX
OBTENIENDO EL SISTEMA:

14. MEDIANTE PUNTOS CRÍTICOS
CON X= 0 : X= 1 : X=-1
EN LA ECUACIÓN 𝑥 + 2 2
= A 𝑥 − 1 2
+BX 𝑥 − 1 +CX
TENEMOS
X=0
0 + 2 2
=A 0 − 1 2
+ B 0 0 − 1 +C 0
4=A
X=1
1 + 2 2
=A 1 − 1 2
+ B 1 1 − 1 +C 1
9=C
X=-1
−1 + 2 2
=A −1 − 1 2
+ B −1 −1 − 1 +C −1
1=4A +2B-C REEMPLAZAMOS EN LA ECUACIÓN AY C Y HALLAR B
1=4 4 +2B- 9
2B= 16 − 9 − 1
B=
16−10
2
=
6
2
= 3

15. UNA VEZ HALLADOS LOS VALORES DE A B Y C LOS REEMPLAZAMOS
EN:
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 − 1
+
𝐶
𝑥 − 1 2
TENIENDO QUE A=4 , B=3 Y C=9
4
𝑥
+
3
𝑥 − 1
+
9
𝑥 − 1 2
LUEGO INTEGRAMOS CADA UNO
4
𝑥
𝑑𝑥 +
3
𝑥−1
𝑑𝑥 +
9
𝑥−1 2DX
4
𝑑𝑥
𝑥
+ 3
𝑑𝑥
𝑥−1
+ 9
𝑑𝑥
𝑥−1 2
4𝑙𝑛 𝑥 +3 𝑙𝑛 𝑥 − 1 +9
𝑑𝑥
𝑥−1 2

16. EN LA ULTIMA USAMOS MÉTODO DE SUSTITUCIÓN DONDE
U= 𝑥 − 1 DU= 1𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑢2
= 𝑢−2 =
𝑢−2+1
−2 + 1
SUSTITUIMOS LA U
𝑥−1 −2+1
−2+1
=
𝑥−1 −1
−1
=
−1
𝑥−1
= −
1
𝑥−1
+C
EL RESULTADO FINAL S SERÁ
4𝑙𝑛 𝑥 +3 𝑙𝑛 𝑥 − 1 +9 −
1
𝑥−1
4𝑙𝑛 𝑥 +3 𝑙𝑛 𝑥 − 1 −
9
𝑥−1
+C

17. 𝒅𝒙
𝒙 𝟑 + 𝟑𝒙 𝟐
Aplicamos factor común en el denominador
𝑑𝑥
𝑥2(𝑥 + 2)
Hacemos descomposición por fracciones parciales
1
𝑥2(𝑥 + 3)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥2
+
𝐶
𝑥 + 3
Realizamos una suma de fracciones en el lado
derecho de la ecuación
1
𝑥2(𝑥 + 3)
=
𝐴𝑥 𝑥 + 3 + 𝐵 𝑥 + 3 + 𝐶𝑥2
𝑥2(𝑥 + 3)

18. simplificamos los denominadores
1 = 𝐴𝑥 𝑥 + 3 + 𝐵 𝑥 + 3 + 𝐶𝑥2
Aplicamos sustitución de puntos críticos para
obtener los valores de A, B y C
𝑥 = 0 → 1 = 𝐴 0 + 𝐵 3 + 𝐶 0 → 𝑩 =
𝟏
𝟑
𝑥 = −3 → 1 = 𝐴 0 + 𝐵 0 + 𝐶 9 → 𝑪 =
𝟏
𝟗
𝑥 = 1 → 1 = 𝐴 4 + 𝐵 4 + 𝐶 → 4𝐴 = 1 −
4
3
−
1
9
→ 𝑨 = −
𝟏
𝟗
Una vez encontrados los valores procedemos a
integrar

19. 𝐴
𝑥
𝑑𝑥 +
𝐵
𝑥2
𝑑𝑥 +
𝐶
𝑥 + 3
𝑑𝑥
Reemplazamos los valores de A, B y C
−
1
9
𝑥
𝑑𝑥 +
1
3
𝑥2
𝑑𝑥 +
1
9
𝑥 + 3
𝑑𝑥
Aplicamos propiedades de las integrales para sacar fuera
de la integral los valores enteros
−
1
9
𝑑𝑥
𝑥
+
1
3
𝑑𝑥
𝑥2 +
1
9
𝑑𝑥
𝑥 + 3
Una vez llegado a este punto procedemos a integrar cada
una de las integrales

20. −
1
9
ln 𝑥 −
1
3𝑥
+
1
9
ln 𝑥 + 3 + 𝑐
Sacamos factor común
1
9
ln 𝑥 + 3 − ln(𝑥) −
1
3𝑥
+ 𝑐
Aplicamos propiedades de los logaritmos
𝟏
𝟗
𝐥𝐧
𝒙 + 𝟑
𝒙
−
𝟏
𝟑𝒙
+ 𝒄
Jean Carlos Meneses Rivera (865)
ejercicio 21 pagina 209

21. Ejercicio Nº 24
Realizado por : Alexis Pinto (885)
Resolver la siguiente integral
𝒙 − 𝟏
𝒙 𝟑 + 𝟒𝒙
𝒅𝒙
Sacamos factor común en el denominador
𝑥 − 1
𝑥 𝑥2 + 4
𝑑𝑥

22. Hacemos la descomposición por fracciones parciales
𝑥 − 1
𝑥 𝑥2 + 4
=
𝐴
𝑥
+
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥2 + 4
Sacamos un mínimo común y resolvemos
𝑥 − 1
𝑥 𝑥2 + 4
=
𝐴 𝑥2
+ 4 + 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥 𝑥2 + 4
Aplicamos la propiedad distributiva en el numerador
𝑥 − 1
𝑥 𝑥2 + 4
=
𝐴𝑥2
+ 4𝐴 + 𝐵𝑥2
+ 𝐶𝑥
𝑥 𝑥2 + 4

23. Simplificamos los denominadores
𝑥 − 1
𝑥 𝑥2 + 4
=
𝐴𝑥2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥
𝑥 𝑥2 + 4
Y tenemos
𝑥 − 1 = 𝐴𝑥2
+ 4𝐴 + 𝐵𝑥2
+ 𝐶𝑥
sacamos factor común
𝑥 − 1 = 𝐴 + 𝐵 𝑥2 + 𝐶𝑥 + 4𝐴

24. Hacemos las ecuaciones
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐶 = 1
4𝐴 = −1
Despejamos las incógnitas
𝑨 + 𝑩 = 𝟎 Despejamos A ; 𝐴 = −𝐵
con el valor de B de la tercera ecuacion remplazamos;
y tenemos que
𝑪 = 𝟏 ;
𝟒𝑨 = −𝟏 ; Remplazamos 𝐴 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1 ; 4 −𝐵 = −1
y tenemos que
1
2
3
𝑨 = −
𝟏
𝟒
𝑩 =
𝟏
𝟒
𝑪 = 𝟏

25. Una vez obtenido los valores A, B y C remplazamos en:
𝐴𝑥
𝑥
𝑑𝑥 +
𝐵𝑥 + 𝑐
𝑥2 + 4
𝑑𝑥
Obteniendo
−
1
4
𝑑𝑥
𝑥
+
1
4
𝑥 + 1
𝑥2 + 4
𝑑𝑥

26. Luego integramos
Las constantes salen fuera de la integral
−
1
4
𝑑𝑥
𝑥
+
1
4
𝑥
𝑥2+4
𝑑𝑥 +
1
𝑥2+4
𝑑𝑥
Resolvemos cada una de las integrales
−
1
4
ln 𝑥 +
1
4 2
2𝑥
𝑥2+4
𝑑𝑥 +
1
𝑥2+4
𝑑𝑥
Y el resultado final es:
−
1
4
ln 𝑥 +
1
8
ln 𝑥2
+ 4 +
arctan
𝑥
2
2
+ C

27. • Por: Christian Guananga
• Código: 891
• Semestre: Primero “A”
• Ejercicio: # 31 Integrales, Libro Análisis Matemático de
Espinoza Ramos.

28. (
𝑥+2
𝑥−1
)2 𝑑𝑥
𝑥
Esta integral se resuelve por
metodo de fracciones
parciales.
(𝑥+2)2
(𝑥−1)2
𝑑𝑥
𝑥
Distribuimos la potencia en
la fracción.
(𝑥+2)2
𝑥(𝑥−1)2 Aplicamos fracciones parciales.

29. (𝑥+2)2
𝑥(𝑥−1)2 =
𝐴
𝑋
+
𝐵
(𝑋−1)
+
𝐶
(𝑋−1)2 Realizamos la suma algebraica del segundo miembro.
(𝑥+2)2
𝑥(𝑥−1)2 =
𝐴 𝑥−1
2
+𝐵 𝑥 𝑥−1 +𝐶𝑋
𝑥(𝑥−1)2
Se simplifican los denominadores de
ambos miembros.
(𝑥 + 2)2 = 𝐴(𝑥 − 1)2 + 𝐵 𝑋 𝑋 − 1 + 𝐶𝑋
Tomamos los valores de X en los q cada factor que multiplica a la variable A, B y C
sea igual a cero y se halla los valores de cadavariabñe reemplazando os valores.
𝑋2
+ 4𝑋 + 4 = 𝐴 𝑋2
− 2𝑋 + 1 + 𝐵𝑋 𝑋 − 1 + 𝐶𝑋
Desarrollamos los binomios al cuadrado

30. 𝑋2 + 4𝑋 + 4 = 𝐴𝑋2 + 𝐵𝑋2 − 2𝐴𝑋 − 𝐵𝑋 + 𝐶𝑋 + 𝐴
Aplicamos propiedad distributiva eliminando los paréntesis y después de
ello ordenamos en forma descendente con respecto al grado de la variable
“X”
1𝑋2 + 4𝑋 + 4 = 𝑋2 𝐴 + 𝐵 + 𝑋 −2𝐴 − 𝐵 + 𝐶 + 𝐴
En el segundo miembro sacamos factor común las variables según el grado
de las mismas. Este paso nos sirve para poder obtener un sistema de
ecuaciones en el cual hallaremos los valores de A, B y C.
𝐴 + 𝐵 = 1 Igualamos los polinomios de los paréntesis del segundo
−2𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 4 miembro con su respectivo grado de variable con respecto
𝐴 = 4 a “X” y tomamos cada uno de los coeficientes del primer
termino.

31. 𝐴 = 4 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝐴 + 𝐵 = 1 → 4 + 𝐵 = 1 → 𝐵 = −3
𝑦𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑦𝐵 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
−2𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 4 → 𝐶 = 4 + 2 4 − 3 → 𝐶 = 9
Entonces tenemos los valores A=4 B=-3 C=9.
Reemplazamos los valores de A, B y C en la fracción inicial, con la diferencia que ahora las
tomamos como integrales mas simples de resolver.
(𝑥 + 2)2
𝑥(𝑥 − 1)2
=
𝐴
𝑋
+
𝐵
(𝑋 − 1)
+
𝐶
(𝑋 − 1)2
(𝑥 + 2)2
𝑥(𝑥 − 1)2
=
4𝑑𝑥
𝑋
+
−3𝑑𝑥
(𝑋 − 1)
+
9𝑑𝑥
(𝑋 − 1)2
Aplicamos integrales inmediatas en la primera y segunda integral y resolvemos. En la
tercera integral se debe aplicar cambio de variable.

32. = 4 ln(𝑋) + 3 ln(𝑋 − 1) +
9𝑑𝑥
(𝑋 − 1)2
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙
9𝑑𝑥
(𝑋 − 1)2
→ 9
𝑑𝑥
(𝑋 − 1)2
𝑇𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒.
𝐸𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑈 = 𝑋 − 1
𝑑𝑈
𝑑𝑋
= 1 → 𝑑𝑈 = 𝑑𝑋
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
9
𝑑𝑈
𝑈2 𝑜 𝑙𝑜 𝑞 𝑒𝑠 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 −→ 9 (𝑈−2
)𝑑𝑈
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝐸𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
9(𝑈−2+1
)
−2 + 1

33. 9
𝑋 − 1
𝐸𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙,
𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑜 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑦 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙.
= 4 ln(𝑋) + 3 ln(𝑋 − 1) +
9
𝑋−1
+ 𝐶
𝑂𝐽𝑂 … 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛.

34. ANÁLISIS MATEMÁTICO II
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
EJERCICIO 29 PAGINA 219
REALIZADO POR: KEVIN MIRABÀ CAJAMARCA.
CODIGO:833

35. 𝑑𝑥
𝑥2(𝑥 + 1)2
Realizar la siguiente matriz mediante fracciones parciales
• Para realizar la siguiente integral vamos a descomponer la fracción de la siguiente manera:
0𝑥2 + 0𝑥 + 1 =
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥2
+
𝐶
(𝑥 + 1)
+
𝐷
(𝑥 + 1)2
• Vamos a encontrar el mínimo común múltiplo de dicha suma de fracciones
0𝑥2 + 0𝑥 + 1=
𝐴 𝑥 𝑥+1 2+𝐵(𝑥+1)2+𝐶 𝑥2 𝑥+1 +𝐷𝑥2
𝑥2(𝑥+1)2
• Resolviendo los binomios al cuadrado nos quedaría así:
0𝑥2 + 0𝑥 + 1 = 𝐴𝑥 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 𝐵(𝑥2 + 2𝑥 + 1)+𝐶𝑥3 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥2
• Realizando la propiedad distributiva de la multiplicación tenemos que:

36. 0𝑥2
+ 0𝑥 + 1 = 𝐴𝑥3
+ 2𝐴𝑥2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2
+ 2𝐵𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥3
+ 𝐶𝑥2
+ 𝐷𝑥2
• Agrupamos los términos semejantes:
0𝑥2 + 0𝑥 + 1 = 𝐴𝑥3 + 2𝐴𝑥2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥3 + 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥2
• Quedando de la siguiente forma:
0𝑥2
+ 0𝑥 + 1 = 𝑥3
𝐴 + 𝐶 + 𝑥2
2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 + 𝑥 𝐴 + 2𝐵 + 𝐵
• Igualando los términos obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
𝐴 + 𝐶 = 0
2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 0
𝐴 + 2𝐵 = 0
𝐵 = 1
• Sea B=1 remplazaremos en las otras ecuaciones

37. • 𝐵 = 1 • 𝐴 + 2𝐵 = 0
𝐴 = −2𝐵
𝐴 = −2(1)
𝐴 = −2
• 𝐴 + 𝐶 = 0
−2 + 𝐶 = 0
𝐶 = 2
• 2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 0
2 −2 + 1 + 2 + 𝐷 = 0
−4 + 1 + 2 + 𝐷 = 0
−1 + 𝐷 = 0
𝐷 = 1
• Con los valores de A,B,C,D pasamos a reemplazar en la integral:
𝐴
𝑥
𝑑𝑥 +
𝐵
𝑥2 𝑑𝑥 +
𝐶
𝑥 + 1
𝑑𝑥 +
𝐷
(𝑥 + 1)2 𝑑𝑥
• Quedando de la siguiente manera:
−2
𝑥
𝑑𝑥 +
1
𝑥2
𝑑𝑥 +
2
𝑥 + 1
𝑑𝑥 +
1
(𝑥 + 1)2
𝑑𝑥
• Ahora debemos integrar cada una de las integrales directas

38. •
−2
𝑥
𝑑𝑥
−2
1
𝑥
dx
−2𝑙𝑛 𝑥 + c
•
1
𝑥2 𝑑𝑥
𝑥−2
𝑑𝑥
𝑥−1
−1
−
1
𝑥
+ 𝑐
•
2
𝑥+1
𝑑𝑥
2
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥
2𝑙𝑛 𝑥 + 1 + c
•
1
(𝑥+1)2 𝑑𝑥
(𝑥 + 1)−2 𝑑𝑥
(𝑥 + 1)−1
−1
−
1
𝑥 + 1
+ 𝑐
• Una vez Integrado pasamos a realizar la adición de cada uno de ellos:
−2𝑙𝑛 𝑥 −
1
𝑥
+ 2𝑙𝑛 𝑥 + 1 −
1
𝑥 + 1
+ 𝑐
• Siendo esa nuestra respuesta