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- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DANIEL ALCIDES CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE FORMACIÓN PROFESIONAL DE INGENIERÍAMETALÚRGICA TEMA: “EJERCICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ”.
- 2. 1.-DESARROLAR • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥+4𝑥 2𝑦 • SOLUCION • -Ordenando • 2𝑦𝑑𝑦 = 𝑒𝑥 + 4𝑥. 𝑑𝑥 • 2𝑦𝑑𝑦 = 𝑒𝑥 + 4𝑥. 𝑑𝑥 • 2𝑦 2 2 = 𝑒𝑥 + 4𝑥4 2 + 𝐶 • 𝑦2 = 𝑒𝑥 + 2𝑥2 + 𝐶 → 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎 • 𝑦 = 𝑒𝑥 + 2𝑥2 + 𝐶 → 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎
- 3. • 2.DESARROLLAR • 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥2 • 𝑑𝑦 = 3𝑥2 𝑑𝑥 • y + C1 = 3. 𝑋3 3 + 𝐶2 • Y=𝑥3 + 𝐶2 − 𝐶1 • Y=𝑥3+C
- 7. 5.
- 8. • 6.- Y” + 2y’ + y = 0 • Solución: • > Formamos el principio característico donde : y = r • 𝑟2 + 2𝑟 + 1 = 0 • (𝑟 + 1)2= 0; 𝑟 + 1 = 0 𝑟 = −1 • >Casos :Raíces reales 𝑦g = 𝐶1𝑒 −𝑥 + 𝑐2ⅇ𝑟2𝑥 + 𝑐3ⅇ𝑟3𝑥+……+ 𝑐nⅇ𝑟n𝑥 • > Solución general • Y= 𝑪𝟏𝒆 −𝒙 + 𝒄𝟐𝐱ⅇ−𝒙
- 9. • 7.- 𝑦iv − 𝑦 = 0 • Solución: Formamos el polinomio característico donde: y = r • Remplazamos • 𝑦4 -1 = 0 • Donde: • 𝑟1 = −1; 𝑟2 = −1; 𝑟3 =i; 𝑟4 = −𝑖 • Caso de raíces complejos : 𝑟1−2 = 𝑥 ± 𝑖𝐵 • 𝑦g= ⅇ𝑥𝑥 (𝐶1Cos 𝐵𝑥+ 𝐶2Sen 𝐵𝑥 ) • Solución general: • Y= 𝐶1 ⅇ−𝑥 + 𝐶2 ⅇ−𝑥 + 𝐶3 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑒𝑛𝑥
- 10. 𝑥2𝑦𝐼 + 2𝑥𝑦 = 3𝑥2 8 𝑥2 𝑦𝐼 𝑥2 + 2𝑥𝑦 𝑥2 = 3𝑥2 𝑥2 𝑦𝐼 + 2 𝑥 𝑦 = 3 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎: 𝑦𝑢 = 𝑞𝑢 𝑑𝑥 𝑦𝐼 + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑝 𝑥 = 2 𝑥 𝑞 𝑥 = 3 𝑢 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒 2 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑒2 𝑑𝑥 𝑥 ⇒𝑒2𝑙𝑛𝑥 ⇒𝑒𝑙𝑛𝑥2 ⇒ 𝑥2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥2 𝑦𝑥2 = 3𝑥2 𝑑𝑥 𝑦𝑥2 = 𝑥3 + 𝑐 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥2 𝑦 = 𝑥3 𝑥2 + 𝑐 𝑥2 𝑦 = 𝑥 + 𝑐 𝑥2
- 11. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2y = x 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + p(x)y = q(x)………..(1) P(x) = 2 q(x) = x 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎: 𝑦𝑢 = 𝑞𝑢 𝑑𝑥 Por lo tanto en 1 despejamos u: 𝑢 = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑢 = 𝑒 2𝑑𝑥 ⇒ 𝑢 = 𝑒2𝑥 𝑢 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎: 𝑦𝑒2𝑥 = 𝑥𝑒2𝑥𝑑𝑥 …...……(2) 𝑦𝑒2𝑥 = 𝑥 1 2 𝑒2𝑥 − 1 2 𝑒2𝑥𝑑𝑥 𝑦𝑒2𝑥 = 1 2 𝑥𝑒2𝑥 − 1 4 𝑒2𝑥 + 𝑐 Integracion por partes la (2) Fórmula: 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 U = x dv = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 du = dx v = 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 V = 1 2 𝑒2𝑥 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦: 𝑦 = 1 2 𝑥𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 = 1 4 𝑒2𝑥 𝑒2𝑥 + 𝑐 𝑒−2𝑥 RESPUESTA: 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒙 − 𝟏 𝟒 + 𝒄𝒆−𝟐𝒙 9
- 12. 10 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑥2 + 4𝑦 = 0 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥 + 3𝑥2 𝑥 + 4𝑥 𝑥 = 0 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑥 4 𝑥 𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4 𝑥 𝑦 = −3𝑥 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐: 𝒅𝒚 𝒅𝒙 + 𝒑 𝒙 𝒚 = 𝒒(𝒙) 𝒑 𝒙 = 𝟒 𝒙 Q(x) = -3x F𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎: yu= 𝑞𝑢 𝑑𝑥 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒖 u = 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑒 4 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑒4 𝑑𝑥 𝑥 ⇒ 𝑒4𝑙𝑛𝑥 ⇒ 𝑒𝑙𝑛𝑥4 ⇒ 𝑥4 Reemplazando en la formula u Y𝑥4 = −3𝑥 𝑥4 𝑑𝑥 ⇒ −3 𝑥3 𝑑𝑥 𝑦𝑥4 = −3 𝑥6 6 + 𝐶 ⇒ − 3𝑥6 6 + 𝐶 𝑦𝑥4 = − 𝑥6 2 + 𝐶 𝑦 = 𝑥6 2𝑥4 + 𝐶 𝑥4 𝑹𝑬𝑺𝑷𝑼𝑬𝑺𝑻𝑨 𝒚 = − 𝒙𝟐 𝟐 + 𝑪 𝒙𝟒