Números complejos e imaginarios

1. 𝑥2
+ 8𝑥 + 25 = 0

2. 𝑥2 + 8𝑥 + 25 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

3. 𝑥2 + 8𝑥 + 25 = 0
𝑥 =
−8 ± 82 − 4 ∗ 1 ∗ 25
2 ∗ 1

4. 𝑥2 + 8𝑥 + 25 = 0
𝑥 =
−8 ± −36
2

5. 𝑥2 + 8𝑥 + 25 = 0
𝑥 =
−8 ± 36 ∗ −1
2

6. 𝑥2 + 8𝑥 + 25 = 0
𝑥 =
−8 ± 6 ∗ 𝑖
2

7. 𝑥2 + 8𝑥 + 25 = 0
𝑥 =
−8 ± 6 ∗ 𝑖
2
𝑥1 = −4 − 3𝑖 𝑥2 = −4 + 3𝑖

8. Hallar 𝑥 para que el complejo 𝑧 sea
a) Imaginario puro
b) Numero real
𝑧 =
3 − 2𝑥𝑖
4 + 3𝑖

9. 𝑧 =
3 − 2𝑥𝑖
4 + 3𝑖

10. (3 − 2𝑥𝑖)
(4 + 3𝑖)

11. (3 − 2𝑥𝑖)
(4 + 3𝑖)
∗
(4 − 3𝑖)
(4 − 3𝑖)

12. 12 − 9𝑖 − 8𝑥𝑖 − 6𝑥
16 + 9

13. (12 − 6𝑥)
25
−
9 + 8𝑥 𝑖
25

14. Hallar 𝑥 para que el complejo 𝑧 sea
a) Imaginario puro
b) Numero real
𝑧 =
3 − 2𝑥𝑖
4 + 3𝑖

15. Hallar 𝑥 para que el complejo 𝑧 sea
a) Imaginario puro
b) Numero real
𝑧 =
(12 − 6𝑥)
25
−
9 + 8𝑥 𝑖
25

16. (12 − 6𝑥)
25
−
9 + 8𝑥 𝑖
25

17. (12 − 6𝑥)
25
= 0
12 − 6𝑥 = 0
𝑥 = 2

18. Hallar 𝑥 para que el complejo 𝑧 sea
a) Imaginario puro
b) Numero real
𝑧 =
(12 − 6𝑥)
25
−
9 + 8𝑥 𝑖
25

19. (12 − 6𝑥)
25
−
9 + 8𝑥 𝑖
25

20. −
9 + 8𝑥 𝑖
25
= 0
9 + 8𝑥 = 0
𝑥 = −
9
8

21. Hallar 𝑥 para que el complejo 𝑧 sea
a) Imaginario puro
b) Numero real
𝑧 =
(12 − 6𝑥)
25
−
9 + 8𝑥 𝑖
25

22. Hallar 𝑥 para que el complejo 𝑧 sea
a) Imaginario puro
b) Numero real
𝑧 =
3 − 2𝑥𝑖
4 + 3𝑖

23. Hallar la potencia de
(−2 + 2 3𝑖)6

24. −2 + 2 3𝑖
23

25. (−8 − 8 3𝑖)3

26. −8 3
(1 + 3𝑖)3

27. −512(1 + 3𝑖)3

28. −512(1 + 3𝑖)(1 + 3𝑖)2

29. −512(1 + 3𝑖)(−2 + 2 3𝑖)

30. −512(−2)(1 + 3𝑖)(1 − 3𝑖)

31. 1024(1 + 3𝑖)(1 − 3𝑖)

32. 1024 1 2
− 3𝑖
2

33. 1024 1 + 3
4096

34. Hallar la potencia de
(−2 + 2 3𝑖)6
4096

35. Formas de los números complejos
𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝑖) → Forma rectangular
𝑧 = 𝜌 𝜃 → Forma fasorial
𝑧 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) → Forma trigonométrica
𝑧 = 𝜌𝑒𝑖𝜃
→ Forma exponencial

36. Sea un número complejo 𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝑖) representado por
un punto p del plano complejo; entonces según la figura
es

38. Dado el numero complejo 𝒛 = 𝟑 + 𝒊 exprese en
su forma fasorial
La grafica correspondiente es

39. 𝑧 = 3 + 𝑖 𝜌 = 3
2
+ 1 2
𝜌 = 2
𝜃 = tg−1
1
3
𝜃 = 30°

40. 𝑧 = 2 30°

41. Hallar 𝑥 para que el modulo de 𝑧 sea 2
𝑧 =
𝑥 + 𝑖
2 + 𝑖

42. 𝑧 =
𝑥 + 𝑖
2 + 𝑖

43. 𝑥 + 𝑖
2 + 𝑖
= 2

44. |𝑥 + 𝑖|
|2 + 𝑖|
= 2

45. 𝑥2 + 12
4 + 1
= 2

46. 𝑥2
+ 1 = 10

47. 𝑥 = ±3

48. Hallar 𝑥 para que el modulo de 𝑧 sea 2
𝑧 =
𝑥 + 𝑖
2 + 𝑖

49. Producto en forma fasorial
𝑧1 = 𝜌1 𝜃1
𝑧2 = 𝜌2 𝜃2
El producto de dos números complejos en su forma fasorial es un
complejo cuyo modulo es el producto de los módulos y cuyo
argumento es la suma de los argumentos
𝑧1*𝑧2 = (𝜌1∗ 𝜌2) (𝜃1 + 𝜃2)

50. División en forma fasorial
𝑧1 = 𝜌1 𝜃1
𝑧2 = 𝜌2 𝜃2
El cociente de dos números complejos en forma fasioral es un complejo
cuyo modulo es el cociente de los módulos y cuyo argumento es la
diferencia de los argumentos
𝑧1
𝑧2
=
𝜌1
𝜌2
(𝜃1 − 𝜃2)

51. Potencia en forma fasorial
𝑧𝑛 = (𝜌 𝜃)𝑛
La potencia n-ésima de un numero complejo en forma fasorial
es un complejo cuyo nódulo es la potencia n-ésima de 𝜌 y
cuyo argumento es n veces 𝜃
𝑧𝑛
= 𝜌𝑛
𝑛𝜃

52. Forma de los números complejos
𝑧 = (𝑎 + 𝑏𝑖) → Forma rectangular
𝑧 = 𝜌 𝜃 → Forma fasorial
𝑧 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜃) → Forma trigonométrica
𝑧 = 𝜌𝑒𝑖𝜃
→ Forma exponencial

53. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑒𝑖𝜃
− 𝑒−𝑖𝜃
2
∗ (−𝑖)
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃
2

54. Escribe en su forma trigonométrica
𝑧 =
6 + 2𝑖
12 − 2𝑖

55. 𝑧 =
6 + 2𝑖
12 − 2𝑖

56. 𝑧1
𝑧2
=
𝜌1 𝜃1
𝜌2 𝜃2
=
𝜌1
𝜌2
(𝜃1−𝜃2)

57. 6 + 2𝑖
12 − 2𝑖
𝜌1 = 6
2
+ 2 2
𝜌1 = 8
𝜃1 = tg−1
2
6
𝜃1 = 30°

58. 8 30
12 − 2𝑖
𝜌1 = 6
2
+ 2 2
𝜌1 = 8
𝜃1 = tg−1
2
6
𝜃1 = 30°

59. 8 30
12 − 2𝑖
𝜌2 = 12
2
+ −2 2
𝜌2 = 4
𝜃2 = tg−1
2
12
𝜃2 = −30°

60. 8 30
4 − 30
𝜌2 = 12
2
+ −2 2
𝜌2 = 4
𝜃2 = tg−1
2
12
𝜃2 = −30°

61. 8 30
4 − 30
=
8
4
(30 − (−30))

62. 2
2
60

63. 𝑧 =
2
2
(𝑐𝑜𝑠60 + 𝑖𝑠𝑒𝑛60)

64. 𝑧 =
2
2
(𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
)

65. Escribe en su forma trigonométrica
𝑧 =
6 + 2𝑖
12 − 2𝑖

66. Hallar la potencia de
(−2 + 2 3𝑖)6

67. 𝑧𝑛
= 𝜌𝑛
𝑛𝜃

68. 𝑧 = −2 + 2 3𝑖 𝜌 = −2 2 + 2 3
2
𝜌 = 4
𝜃 = tg−1
2 3
2
𝜃 = 60°

69. 𝑧 = 4 120 𝜌 = −2 2 + 2 3
2
𝜌 = 4
𝜃 = tg−1
2 3
2
𝜃 = 60°

70. Hallar la potencia de
(−2 + 2 3𝑖)6

71. 𝑧6
= 46
6 ∗ 120

72. 𝑧6
= 4096 720

73. 𝑧6
= 4096 0

74. 𝑧6
= 4096

75. Hallar la potencia de
(−2 + 2 3𝑖)6

76. Operar en forma polar
1
(1 + 𝑖)5

77. 𝑧 = 1 + 𝑖 𝜌 = 1 2 + 1 2
𝜌 = 2
𝜃 = tg−1
1
1
𝜃 = 45°

78. 𝑧 = 2 45 𝜌 = 1 2 + 1 2
𝜌 = 2
𝜃 = tg−1
1
1
𝜃 = 45°

79. Operar en forma polar
1
( 2 45 )5

80. 2
5
5 ∗ 45

81. 4 2 225

82. 1
( 2 45 )5

83. 1 0
4 2 225

84. 2
8
135

85. 𝑎 = 𝜌 cos 𝜃
𝑏 = 𝜌 sen 𝜃

86. 𝑎 =
2
8
cos 135
𝑏 =
2
8
sen 135

87. 𝑎 = −
1
8
𝑏 =
1
8

88. Operar en forma polar
1
(1 + 𝑖)5
−
1
8
+
1
8
𝑖

89. •Hallar los dos complejos 𝑧1 y 𝑧2 sabiendo que su
cociente es 4, sus argumentos suman 40° y la suma de
sus módulos es 15
•Hallar los dos complejos 𝑧1 y 𝑧2 sabiendo que su
producto es 27𝑖 y uno de ellos es el cuadrado del otro
•Hallar un complejo 𝑧1 que cumpla que su inverso al
cuadrado sea el opuesto de su conjugado

90. •Hallar los dos complejos 𝑧1 y 𝑧2 sabiendo que su
cociente es 4, sus argumentos suman 40° y la suma de
sus módulos es 14
𝑧1
𝑧2
= 4 0
𝜃1 + 𝜃2 = 40
𝑧1 + 𝑧2 = 𝜌1 + 𝜌2 = 14

91. 𝑧1
𝑧2
= 4 0
𝜌1
𝜌2
= 4 𝜃1 − 𝜃2 = 0
𝜌1 = 4𝜌2 𝜃1 = 𝜃2

92. 𝜃1 + 𝜃2 = 40
𝑧1 + 𝑧2 = 𝜌1 + 𝜌2 = 14

93. 𝜃2 + 𝜃2 = 40
𝑧1 + 𝑧2 = 4𝜌2 + 𝜌2 = 14

94. 𝜃2 + 𝜃2 = 40
𝜃2 = 20
4𝜌2 + 𝜌2 = 14
𝜌2 =
14
5

95. 𝜌1 = 4 ∗
14
5
=
56
5
𝜃1 = 20

96. 𝑧1 =
56
5
20
𝑧2 =
14
5
20

97. •Hallar los dos complejos 𝑧1 y 𝑧2 sabiendo que su
producto es 27𝑖 y uno de ellos es el cuadrado del otro
𝑧1∗𝑧2 = 27𝑖
𝑧1 = 𝑧2
2

98. 𝜌1∗𝜌2 = 27
𝜃1 + 𝜃2 = 90
𝑧1∗𝑧2 = 27𝑖
𝑧1 = 𝑧2
2
𝜌1 = 𝜌2
2
𝜃1 = 2𝜃2

99. 𝜌1∗𝜌2 = 27 𝜌1 = 𝜌2
2
𝜌2
2
∗ 𝜌2 = 27
𝜌2
3
= 27
𝜌2 = 3
𝜌1 = 32
𝜌1 = 9

100. 𝜃1 + 𝜃2 = 90 𝜃1 = 2𝜃2
2𝜃2 + 𝜃2 = 90
3𝜃2 = 90
𝜃2 = 30
𝜃1 = 2 ∗ 30
𝜃1 = 60

101. 𝑧1 = 9 60
𝑧2 = 3 30