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Algebra
2020-2021
PARTICIPANTE: DENYS VARGAS
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¡Un cordial saludo!
¡Bienvenidos a la presentación de este contenido!
En este espacio conoceremos brevemente las expresiones
algebraicas: suma y resta, multiplicación y división, producto notables
y factorización por producto notables.
ACOMPAÑANOS EN ESTA AVENTURA DE TRAYECTO INICIAL...
Suma, resta y
valor numérico
deexpresiones
algebraicas
Suma y restade
monomios
5x⁴+ 3 x⁴+ = 8 x⁴
-3bc - 10bc= -13bc
5x²- (2x + x²)= 5x²- 2x - x²
= 4x²- 2x
Para sumar o restar dos monomios y
poder juntar los términos (simplificar),
las variables que hay en ellos deben ser
las mismas y tener las mismas
potencias.
a) La suma y resta de monomios en
este caso ellos tienen las variables
iguales, con los mismos exponentes,
procedemos agrupándolos según su
parte literal y sumando normalmente:
El truco está en agruparlos
debidamente.
Luego, la suma o resta de ambos
Monomios, será otro monomio
semejante.
Los polinomios se pueden sumar
y restar agrupando los términos
y simplificando los monomios
semejantes.
a) En la suma o resta de polinomios
vertical se siguen las leyes de signos para
exponentes. En este caso los exponentes
de cada termino son iguales y pasan al
resultado de la misma manera como están
expresados.
b) Cuando sumamos polinomios
horizontales agrupamos los términos
semejantes y luego los sumamos.
(Recuerda que la resta se convierte en
suma del opuesto).
Suma y restade
polinomios
(3x²- 5x + 1) + (x²- 7x - 3)=
Modo vertical:
3x² - 5x + 1
+ x² - 7x -3
4x² - 12x -2
(2x² + 5x - 6) + (3x² -6x + 3)=
Modo horizontal:
= (2x² + 3x²) + (5 x - 6x) + (-6 + 3)=
= 5x² - x - 3
Valor numérico
a= 2 b=3
3a - 4b
=3( 2) – 4( 3)
= 6 - 12
= -6
a= 7 c= -9
-5a + 4c
= -5( 7) + 4 (-9)
= -35 - 36
= -71
Es el número que se obtiene al
quitar las letras o sustituir por
números y realizar las operaciones
indicadas.
a) Para determinar un valor, es el
número que se obtiene al sustituir en
ésta el valor numérico dado y
obtener el resultado.
Multiplicación y
división de expresiones
algebraicas
Tiene por coeficiente el producto
de los coeficientes y cuya parte
literal se obtiene multiplicando las
potencias que tengan la misma
base, las propiedades de potencia
a usar son:
Multiplicación
de monomios
5X ³. 6X ²= 30X⁵
(3a ²b ⁶) . (7 ab ⁴)= 21 a³ b¹ ⁰
a) Se multiplican los coeficientes,
luego se realiza la multiplicación de las
letras; por lo tanto se obtiene su
resultado.
(3X ²Y³) . (-2X ⁶Y⁹Z)=
= (3 . X² . Y³) . (- 2 . X⁶ . Y⁹ . Z)
= 3 . (- 2) . X² . X⁶ . Y³ . Y⁹. Z
= -6 . X⁸. Y¹². Z
= -6X⁸Y¹² Z
Multiplicación
de polinomios
(3X + 2X) (5X - 4Y)=
= 15X² - 12XY + 10XY - 8Y²
= 25X² - 2XY - 8Y²
X³ - 5X ² + 7
X² + 3X - 1
- X³ + 5X² - 7
3X⁴ - 15X³ + 21 X
X⁵ - 5X⁴ + 7X²
X⁵ - 2X⁴ - 16X³ + 12X² + 21X - 7
Tiene por coeficiente el producto de
los coeficientes y cuya parte literalse
obtiene multiplicando las potencias
que tengan la misma base, es decir,
sumando los exponentes.
a) Para multiplicar dos polinomios se
multiplica cada monomio del uno por
todos los monomios del otro y, luego se
suman los polinomios obtenidos.
b) Como puedes ver en el lado izquierdo
los cálculos pueden disponerse de dos
maneras, todos seguidos o como
aparece en el segundo ejercicio.
División de
monomios
20X⁵ = 5X³
4X²
Su parte literal se obtiene dividiendo las
potencias que tenga la misma base, es
decir, restando los exponentes. Si el
grado del divisor es mayor, obtenemos
una fracción algebraica.
27 M⁷N⁶= 3N⁵
9M⁷N
150b⁵= 15b⁻³ = 15
10b⁸ b³
a) Se dividen las partes literales, si tienen
variables iguales; se pone la misma
variable y se restan los exponentes. Si
tienen variables diferentes, se deja el
coeficiente indicado.
x + 1
Su parte literal se obtiene dividiendo las
potencias que tenga la misma base, es decir,
restando los exponentes. Si el grado del divisor
es mayor, obtenemos una fracción algebraica.
Se ordenan el dividendo y el divisor en potencias
descendentes, luego; dividir el primer término del
dividendo entre el primer término del divisor para
obtener el primer término del cociente. Multiplicar el
divisor completo por el cociente antes obtenido,
escribir los términos del producto debajo de los
términos semejantes del dividendo y restar esta
expresión del dividendo. Considerar el resto como
un nuevo dividendo y repetir los pasos. Se continúa
el proceso hasta que el resto es cero o es de un
grado menor que el divisor. En el ejemplo
considerado el resto es cero
División de
polinomios
3x² + 2x - 8 =
x² + 2
3x² + 2x - 8
- 3x² - 6x 3x - 4
- 4 x - 8
+ 4 x + 8
x³- 2x² + 1 =
x + 1
x³ - 2x² + 1
x³ - x² x² - 4 - 1
- x² + 1
- x² + 1
- x + 1
- x + 1
x + 2
Productos Notables
de Expresiones
Algebraicas
Trinomio al cuadrado:
(X ² − X + 1 )² =
= (X²)² + (−X)² + 1² + 2 · X² · (−X) + 2 · X² · 1 + 2 · (−X) · 1
= X4 + X² + 1 − 2X³ + 2X² − 2X
= X 4 − 2X ³ + 3X ² − 2X + 1
Suma de cubos:
(X + 2) (X ² - 2X + 4)=
=( X + 2) ( X² - 2X + 4 ) + 2 ( X² - 2X + 4 )
= X³ - 2X² + 4 X + 2X² - 4 X + 8
= X³ + 8
Diferencia de cubos:
(X - 4) (X ² + 4X + 16)=
= X ( X² + 4 X + 16 ) - 4 ( X² + 4 X + 16 )
= X³ + 4 X² + 16 X - 4X²- 16 X - 64
= X³ - 64
∵ (X - 4) (X² + 4X + 16)= X³ - 4³= X³ - 64
Productos notables
Son polinomios obtenidos de la multiplicación de otros
que poseen ciertas características particulares, que al
cumplir ciertas reglas no es necesario realizar la
multiplicación. Y entre ellos podemos encontrar:
Binomio al cuadrado:
(X + 3)² = X² + 2 · (X) · ( 3) + 3²
= X ² + 6 X + 9
Suma por diferencia:
(2X + 5) · (2X - 5) = (2X)² − 5²
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Binomio al cubo:
(X + 3)³ = X³ + 3 · X² · 3 + 3 · X · 3² + 3³
= X ³ + 9X ² + 27 X + 27
Factorización por
Productos Notables
Factorización
Consiste en transformar a dicho polinomio
como el producto de dos o más factores, y
encontrar los polinomios de raíz cuadrada
a otros más complejos.
Diferencia de cubos:
x³ - 8=( x - 2) (x + 2x² + 4)
x 2
Diferencia de cuadros:
100m ² - 121 =( 10m - 11) (10m + 11)
Cuadrado perfecto:
9x ² + 42x + 49= ( 3x + 7)²
= (3x + 7) (3x + 7)
Suma de cubos:
27 x + 1= (3x + 1) (9x + 3x +1)
3x 1
3x 7
2 (3x) . (7)
42x
Referencias
https://www.matematicasonline.es/pdf/ejercicios/3_ESO/Ejercicios%20de%
20expresiones%20algebraicas.pdf
https://www.lifeder.com/ejercicios-de-factorizacion/
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios
/ejercicios-de-factorizacion-y-raices-de-polinomios.html
https://www.ejerciciosweb.com/radicales/ejercicios-racionalizar.html

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  • 2. ¡Un cordial saludo! ¡Bienvenidos a la presentación de este contenido! En este espacio conoceremos brevemente las expresiones algebraicas: suma y resta, multiplicación y división, producto notables y factorización por producto notables. ACOMPAÑANOS EN ESTA AVENTURA DE TRAYECTO INICIAL...
  • 3. Suma, resta y valor numérico deexpresiones algebraicas
  • 4. Suma y restade monomios 5x⁴+ 3 x⁴+ = 8 x⁴ -3bc - 10bc= -13bc 5x²- (2x + x²)= 5x²- 2x - x² = 4x²- 2x Para sumar o restar dos monomios y poder juntar los términos (simplificar), las variables que hay en ellos deben ser las mismas y tener las mismas potencias. a) La suma y resta de monomios en este caso ellos tienen las variables iguales, con los mismos exponentes, procedemos agrupándolos según su parte literal y sumando normalmente: El truco está en agruparlos debidamente. Luego, la suma o resta de ambos Monomios, será otro monomio semejante.
  • 5. Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. a) En la suma o resta de polinomios vertical se siguen las leyes de signos para exponentes. En este caso los exponentes de cada termino son iguales y pasan al resultado de la misma manera como están expresados. b) Cuando sumamos polinomios horizontales agrupamos los términos semejantes y luego los sumamos. (Recuerda que la resta se convierte en suma del opuesto). Suma y restade polinomios (3x²- 5x + 1) + (x²- 7x - 3)= Modo vertical: 3x² - 5x + 1 + x² - 7x -3 4x² - 12x -2 (2x² + 5x - 6) + (3x² -6x + 3)= Modo horizontal: = (2x² + 3x²) + (5 x - 6x) + (-6 + 3)= = 5x² - x - 3
  • 6. Valor numérico a= 2 b=3 3a - 4b =3( 2) – 4( 3) = 6 - 12 = -6 a= 7 c= -9 -5a + 4c = -5( 7) + 4 (-9) = -35 - 36 = -71 Es el número que se obtiene al quitar las letras o sustituir por números y realizar las operaciones indicadas. a) Para determinar un valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y obtener el resultado.
  • 7. Multiplicación y división de expresiones algebraicas
  • 8. Tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, las propiedades de potencia a usar son: Multiplicación de monomios 5X ³. 6X ²= 30X⁵ (3a ²b ⁶) . (7 ab ⁴)= 21 a³ b¹ ⁰ a) Se multiplican los coeficientes, luego se realiza la multiplicación de las letras; por lo tanto se obtiene su resultado. (3X ²Y³) . (-2X ⁶Y⁹Z)= = (3 . X² . Y³) . (- 2 . X⁶ . Y⁹ . Z) = 3 . (- 2) . X² . X⁶ . Y³ . Y⁹. Z = -6 . X⁸. Y¹². Z = -6X⁸Y¹² Z
  • 9. Multiplicación de polinomios (3X + 2X) (5X - 4Y)= = 15X² - 12XY + 10XY - 8Y² = 25X² - 2XY - 8Y² X³ - 5X ² + 7 X² + 3X - 1 - X³ + 5X² - 7 3X⁴ - 15X³ + 21 X X⁵ - 5X⁴ + 7X² X⁵ - 2X⁴ - 16X³ + 12X² + 21X - 7 Tiene por coeficiente el producto de los coeficientes y cuya parte literalse obtiene multiplicando las potencias que tengan la misma base, es decir, sumando los exponentes. a) Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio del uno por todos los monomios del otro y, luego se suman los polinomios obtenidos. b) Como puedes ver en el lado izquierdo los cálculos pueden disponerse de dos maneras, todos seguidos o como aparece en el segundo ejercicio.
  • 10. División de monomios 20X⁵ = 5X³ 4X² Su parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes. Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica. 27 M⁷N⁶= 3N⁵ 9M⁷N 150b⁵= 15b⁻³ = 15 10b⁸ b³ a) Se dividen las partes literales, si tienen variables iguales; se pone la misma variable y se restan los exponentes. Si tienen variables diferentes, se deja el coeficiente indicado.
  • 11. x + 1 Su parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes. Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica. Se ordenan el dividendo y el divisor en potencias descendentes, luego; dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente. Multiplicar el divisor completo por el cociente antes obtenido, escribir los términos del producto debajo de los términos semejantes del dividendo y restar esta expresión del dividendo. Considerar el resto como un nuevo dividendo y repetir los pasos. Se continúa el proceso hasta que el resto es cero o es de un grado menor que el divisor. En el ejemplo considerado el resto es cero División de polinomios 3x² + 2x - 8 = x² + 2 3x² + 2x - 8 - 3x² - 6x 3x - 4 - 4 x - 8 + 4 x + 8 x³- 2x² + 1 = x + 1 x³ - 2x² + 1 x³ - x² x² - 4 - 1 - x² + 1 - x² + 1 - x + 1 - x + 1 x + 2
  • 13. Trinomio al cuadrado: (X ² − X + 1 )² = = (X²)² + (−X)² + 1² + 2 · X² · (−X) + 2 · X² · 1 + 2 · (−X) · 1 = X4 + X² + 1 − 2X³ + 2X² − 2X = X 4 − 2X ³ + 3X ² − 2X + 1 Suma de cubos: (X + 2) (X ² - 2X + 4)= =( X + 2) ( X² - 2X + 4 ) + 2 ( X² - 2X + 4 ) = X³ - 2X² + 4 X + 2X² - 4 X + 8 = X³ + 8 Diferencia de cubos: (X - 4) (X ² + 4X + 16)= = X ( X² + 4 X + 16 ) - 4 ( X² + 4 X + 16 ) = X³ + 4 X² + 16 X - 4X²- 16 X - 64 = X³ - 64 ∵ (X - 4) (X² + 4X + 16)= X³ - 4³= X³ - 64 Productos notables Son polinomios obtenidos de la multiplicación de otros que poseen ciertas características particulares, que al cumplir ciertas reglas no es necesario realizar la multiplicación. Y entre ellos podemos encontrar: Binomio al cuadrado: (X + 3)² = X² + 2 · (X) · ( 3) + 3² = X ² + 6 X + 9 Suma por diferencia: (2X + 5) · (2X - 5) = (2X)² − 5² = 4X ² − 25 Binomio al cubo: (X + 3)³ = X³ + 3 · X² · 3 + 3 · X · 3² + 3³ = X ³ + 9X ² + 27 X + 27
  • 15. Factorización Consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores, y encontrar los polinomios de raíz cuadrada a otros más complejos. Diferencia de cubos: x³ - 8=( x - 2) (x + 2x² + 4) x 2 Diferencia de cuadros: 100m ² - 121 =( 10m - 11) (10m + 11) Cuadrado perfecto: 9x ² + 42x + 49= ( 3x + 7)² = (3x + 7) (3x + 7) Suma de cubos: 27 x + 1= (3x + 1) (9x + 3x +1) 3x 1 3x 7 2 (3x) . (7) 42x