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Solución de laSolución de la
expreSiónexpreSión
cuadrática porcuadrática por
factorizaciónfactorización
¿Qué es una ecuación cuadrática?¿Qué es una ecuación cuadrática?
• Una ecuación de segundo grado o ecuación
cuadrática es una ecuación polinómica donde el
mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la
expresión se refiere al caso en que sólo aparece
una incógnita.
La ecuación cuadrática seLa ecuación cuadrática se
expresa de la manera siguiente:expresa de la manera siguiente:
donde a es el coeficiente cuadrático o de
segundo grado y es siempre distinto de 0, b el
coeficiente lineal o de primer grado y c es el
término independiente.
HistoriaHistoria
• La ecuación de segundo grado y su solución
tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos
para resolverla en Babilonia y Egipto.
• En Grecia fue desarrollada por el matemático
Diofanto de Alejandría.
• La solución de las ecuaciones de segundo grado
fue introducida en Europa por el matemático
judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber
embadorum.
Clasificación:Clasificación:
La ecuación de segundo grado se clasifica de laLa ecuación de segundo grado se clasifica de la
siguiente manera:siguiente manera:
• Incompleta pura
• Incompleta mixta
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Para resolver una ecuación cuadrática pura, basta
con despejar la variable y sus raíces serán iguales y de
signo contrario.
ax² + C = 0 despejando tenemos ax² = -C
Por lo tanto : x² = - C
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Ejemplo ecuaciónEjemplo ecuación
cuadrática Puracuadrática Pura
Forma: ax² + c = 0 Sustitución
Con valores: 3x² - 9 = 0 3x² - 9 = 0
Despejando :3x² = 9 3(1.732…) ² -9= 0
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Resultado: x1 = + 1.73205…
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Ecuación cuadrática PuraEcuación cuadrática Pura
Forma: ax² + c = 0
Con valores: 8x² + 24 = 0
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2x² + 8 = 0 8x² + 16= 0
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Las ecuaciones cuadráticas mixtas se resuelven por
factorizacion simple. Una de sus raíces es igual a cero y
la otra tendrá un valor real.
ax² + bx = 0 factorizamos: x (ax + b) = 0
La primera raíz es: x1= 0
Del paréntesis : ax + b = 0
Despejando: ax = - b
Luego la segunda raíz es : x2 = -b
a
Ejemplo ecuaciónEjemplo ecuación
cuadrática mixtacuadrática mixta
Forma: ax² + bx = 0
Con valores: 2x² - 6x = 0
Factorizando: 2x( x – 3) = 0
La primera raiz es: 2x = 0
Por lo tanto: x1 = 0
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La segunda raiz es: x2= 3
Ecuación cuadráticaEcuación cuadrática
mixtamixta
Sustituyendo : 2x² - 6x = 0
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2(0) ² -6(0)= 0 2(3) ² - 6(3) = 0
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• Forma: ax² + bx = 0
• Con valores: 2x² - 8x = 0
• Factorizando: 2x( x – 4) = 0
• La primera raiz es: 2x = 0
• Por lo tanto: x1 = 0
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• Forma: ax² + bx = 0
• Con valores: x² - 4x = 0
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EjerciciosEjercicios
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completacompleta
Las ecuaciones cuadráticas de la forma completa
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Solución por factorizacionSolución por factorizacion
• Este metodo consiste en:
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se anule uno de los factores, es decir, se iguala a
cero el producto
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Ejemplo porEjemplo por
factorizacionfactorizacion
Forma : Ax² + Bx + C = 0
Con valores: x² + 5x + 6 = 0
Factorizamos el trinomio: (x + 2) (x + 3) = 0
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xx² + 10x + 21 = 0² + 10x + 21 = 0
xx² + x - 6= 0² + x - 6= 0
• x² + 12x + 36= 0
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Solución por formulaSolución por formula
generalgeneral
• La formula general se aplica empleando los
coeficientes de la ecuación cuadrática completa:
• Ax² + Bx + C = 0
• La formula general es: x= -B ± √ B² - 4 AC
• 2A
Ejemplo por formulaEjemplo por formula
generalgeneral
Los coeficientes son : A = 3, B = 4, C = -4
La ecuación: 3x² + 4 x – 4 = 0
Los sustituimos: x = -4 ± √ (4) ² - 4 (3) (-4)
2(3)
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Sumando: -4 ± √ 64
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La primera solución es: x1 = -4 + 8 = 4 = 2
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3x² + 4 x – 4 = 0
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3(2/3) ² + 4(2/3) – 4 = 0 3(-2) ² + 4(-2) – 4 = 0
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  • 1. Solución de laSolución de la expreSiónexpreSión cuadrática porcuadrática por factorizaciónfactorización
  • 2. ¿Qué es una ecuación cuadrática?¿Qué es una ecuación cuadrática? • Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita.
  • 3. La ecuación cuadrática seLa ecuación cuadrática se expresa de la manera siguiente:expresa de la manera siguiente: donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
  • 4. HistoriaHistoria • La ecuación de segundo grado y su solución tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia y Egipto. • En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría. • La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.
  • 5. Clasificación:Clasificación: La ecuación de segundo grado se clasifica de laLa ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:siguiente manera: • Incompleta pura • Incompleta mixta • Completa
  • 6. Incompleta PuraIncompleta Pura Para resolver una ecuación cuadrática pura, basta con despejar la variable y sus raíces serán iguales y de signo contrario. ax² + C = 0 despejando tenemos ax² = -C Por lo tanto : x² = - C a x = √ -C a
  • 7. Ejemplo ecuaciónEjemplo ecuación cuadrática Puracuadrática Pura Forma: ax² + c = 0 Sustitución Con valores: 3x² - 9 = 0 3x² - 9 = 0 Despejando :3x² = 9 3(1.732…) ² -9= 0 x² = 9/3 3(3) -9 = 0 x² = 3 9 – 9 = 0 x = ± √ 3 0 = 0 Resultado: x1 = + 1.73205… x2 = - 1.73205 …
  • 8. Ecuación cuadrática PuraEcuación cuadrática Pura Forma: ax² + c = 0 Con valores: 8x² + 24 = 0 x² =24/8 x² =3 x = ± √3 Resultado: x1 = + 1.7320 Resultado: x1 = - 1.7320
  • 9. EjerciciosEjercicios 2x² + 8 = 0 8x² + 16= 0 10x² + 100 = 0 3x² + 24 = 0 4x² + 24 = 0 8x² +48 = 0 x² + 20 = 0 2x² + 24 = 0 5x² + 45 = 0
  • 10. 4x² - 40 = 0 8x² - 80= 0 x² - 12 = 0 3x² - 39 = 0 2x² - 88 = 0 6x² -48 = 0 x² - 20 = 0 15x² - 300 = 0 6x² - 66 = 0
  • 11. Incompleta MixtaIncompleta Mixta Las ecuaciones cuadráticas mixtas se resuelven por factorizacion simple. Una de sus raíces es igual a cero y la otra tendrá un valor real. ax² + bx = 0 factorizamos: x (ax + b) = 0 La primera raíz es: x1= 0 Del paréntesis : ax + b = 0 Despejando: ax = - b Luego la segunda raíz es : x2 = -b a
  • 12. Ejemplo ecuaciónEjemplo ecuación cuadrática mixtacuadrática mixta Forma: ax² + bx = 0 Con valores: 2x² - 6x = 0 Factorizando: 2x( x – 3) = 0 La primera raiz es: 2x = 0 Por lo tanto: x1 = 0 Igualando a cero: x – 3= 0 La segunda raiz es: x2= 3
  • 13. Ecuación cuadráticaEcuación cuadrática mixtamixta Sustituyendo : 2x² - 6x = 0 x1 = 0 x2= 3 2(0) ² -6(0)= 0 2(3) ² - 6(3) = 0 2(0) – 6 (0) = 0 2(9) – 18 =0 0 – 0 = 0 18 – 18 = 0 0 = 0 0 = 0
  • 14. • Forma: ax² + bx = 0 • Con valores: 2x² - 8x = 0 • Factorizando: 2x( x – 4) = 0 • La primera raiz es: 2x = 0 • Por lo tanto: x1 = 0 • Igualando a cero: x – 4= 0 • La segunda raiz es: x2= 4
  • 15. • Forma: ax² + bx = 0 • Con valores: x² - 4x = 0 • Factorizando: x( x – 4) = 0 • La primera raiz es: x = 0 • Por lo tanto: x1 = 0 • Igualando a cero: x – 4= 0 • La segunda raiz es: x2= 4
  • 16. EjerciciosEjercicios 2x² + 8x = 0 8x² + 16x= 0 10x² + 100x = 0 3x² + 24x = 0 4x² + 24x = 0 8x² +48 x= 0 x² + 20x = 0 2x² + 24x = 0 5x² + 45x = 0
  • 17. 4x² + 40x = 0 8x² + 80x= 0 x² + 12x = 0 3x² + 39x = 0 2x² + 88x = 0 6x² +48 x= 0 x² + 20x = 0 15x² + 300x = 0 6x² + 66x = 0
  • 18.
  • 19. Ecuación cuadráticaEcuación cuadrática completacompleta Las ecuaciones cuadráticas de la forma completa pueden resolverse por distintos métodos como son por factorizacion, por formula general o completando el trinomio del cuadrado perfecto. Su forma es:
  • 20. Solución por factorizacionSolución por factorizacion • Este metodo consiste en: • Factorizar el trinomio en el producto de dos binomios • Para que este producto se anule es necesario que se anule uno de los factores, es decir, se iguala a cero el producto • Se despeja la variable (por lo general “x”)
  • 21. Ejemplo porEjemplo por factorizacionfactorizacion Forma : Ax² + Bx + C = 0 Con valores: x² + 5x + 6 = 0 Factorizamos el trinomio: (x + 2) (x + 3) = 0
  • 22. • x² + 6x + 8 = 0
  • 23. xx² + 10x + 21 = 0² + 10x + 21 = 0
  • 24. xx² + x - 6= 0² + x - 6= 0
  • 25. • x² + 12x + 36= 0 • x² + 14x + 40 = 0 • x² - 5x - 6 = 0 • x² + 7x + 6 = 0
  • 26. 4x4x² - 12x + 6 = 0² - 12x + 6 = 0
  • 27. 6x6x² - 19x + 10 = 0² - 19x + 10 = 0
  • 28. 12x12x² -17x + 6 = 0² -17x + 6 = 0
  • 29. Solución por formulaSolución por formula generalgeneral • La formula general se aplica empleando los coeficientes de la ecuación cuadrática completa: • Ax² + Bx + C = 0 • La formula general es: x= -B ± √ B² - 4 AC • 2A
  • 30. Ejemplo por formulaEjemplo por formula generalgeneral Los coeficientes son : A = 3, B = 4, C = -4 La ecuación: 3x² + 4 x – 4 = 0 Los sustituimos: x = -4 ± √ (4) ² - 4 (3) (-4) 2(3) Multiplicando dentro del x = -4 ± √ 16 + 48 Radical. 6 Sumando: -4 ± √ 64 6 La primera solución es: x1 = -4 + 8 = 4 = 2 6 6 3 La segunda solución es: x2 = -4 – 8 = -12 = -2 6 6
  • 31. Ecuación cuadráticaEcuación cuadrática completacompleta 3x² + 4 x – 4 = 0 x1= 2/3 x2= -2 3(2/3) ² + 4(2/3) – 4 = 0 3(-2) ² + 4(-2) – 4 = 0 3(4/9) + 4(2/3) – 4 = 0 3(4) + 4 (-2) – 4 = 0 4/3 + 8/3 – 4= 0 12 -8 -4 = 0 12/3 -4 = 0 12 -12 =0 4 -4 = 0 0 = 0