El documento presenta información sobre derivadas de funciones, incluyendo ejemplos de funciones derivadas, propiedades de derivadas, reglas para calcular derivadas como la regla de la cadena, y aplicaciones de derivadas como determinar el crecimiento de una función. Se explican conceptos como máximos, mínimos, concavidad, puntos de inflexión y optimización.

1. Derivación
Juan Carlos Ballabriga
Departamento de Matemáticas
IES Benjamín de Tudela

2. Ejemplos de funciones
x2 4
f ( x)
x2 9

3. Ejemplos de funciones
x3 1
f ( x)
x2 2

4. Ejemplos de funciones
15
2
f ( x) ex 9

5. Ejemplos de funciones
cos(x 2 4)
f ( x)
x2 9

6. Ejemplos de funciones
cos(x 2 4)
f ( x)
x

7. Ejemplos de funciones
cos(x 2 4)
f ( x)
x

8. Ejemplos de funciones
cos(x 2 4)
f ( x)
x

9. Variación de una función
y=f(x)
f(b)
f(a)
a b

10. Tasa de variación f (b) f (a)
y=f(x)
f(b)
f (b) f (a)
f(a)
f (b) f (a) a b y=f(x)
f(b) f(b)
f(a)
f(a) f (b) f (a)
a b
a b

11. Tasa de variación media
y=f(x)
f(b) f (b) f (a)
f(a)
b-a
a b f (b) f (a)
tg
b a
b-a

12. Tasa de variación instantánea
Las rectas y=f(x)
secantes al
final se
convierten f(b)
en
tangentes f(a)
y=f(x)
a b
b-a
f (b) f (a) f (b) f (a)
lim tg
b a b a b a

13. Otra forma de expresar la tasa de variación
instantánea
f(a+h)
f(a)
a a+h
h
f (b) f (a) f ( a h) f (a)
lim lim
b a b a h 0 h

14. Derivada de una función en un punto
• Llamaremos derivada de una función f(x) en
un punto x=a a la tasa de variación instantá-
nea de dicha función en el punto x=a y lo
denotaremos f’(a)
f (b) f (a) f ( a h) f (a)
f ' (a) lim lim
b a b a h 0 h
df
f ' (a) (a) f x (a)
dx

15. Interpretación geométrica de la derivada
• La derivada de una función en un punto es la pendiente de la
recta tangente a la función en dicho punto
y=f(x)
f(b)
f(a)
a b
f’(a)=tg =m
Ecuación de la recta tangente y f (a) f ' (a) ( x a)

16. Cálculo de la derivada con la definición
• Ej: Vamos a calcular la derivada de f(x)=x2-3x+1 en
x=2
f ( 2 h) f (2) (2 h) 2 3(2 h) 1 (1)
f ' (2) lim lim
h 0 h h 0 h
4 4h h 2 6 3h 1 (1) h2 h h(h 1)
lim lim lim 1
h 0 h h 0 h h 0 h
Nota: Para cada punto habría que hacer lo mismo

17. Función derivada
• ¿Hay alguna manera de derivar sin aplicar la
definición?
• ¿Podemos generar una función que nos dé la
derivada de TODOS los puntos?
• SI: La función derivada

18. Función derivada
• Tomemos una función cualquiera y
apliquemos la definición pero en este caso en
un punto genérico
f (b) f ( x) f ( x h) f ( x)
f ' ( x) lim lim
b x b x h 0 h

19. Función derivada
• Ej: Vamos a calcular la derivada de f(x)=x2-3x+1en un
punto genérico x
f ( x h) f ( x) ( x h) 2 3( x h) 1 ( x 2 3x 1)
f ' ( x) lim lim
h 0 h h 0 h
x2 2 xh h 2 3x 3h 1 x 2 3x 1 h2 2 xh 3h
lim lim
h 0 h h 0 h
h(h 2 x 3)
lim 2x 3 f ' ( x) 2x 3
h 0 h
NOTA: Ahora f ’(2) basta sustituir x por 2, es decir f’(2)=2(2)—3=1

20. Derivadas inmediatas
y k y' 0 y x y' 1
1 -1
y xn y ' nx n 1
y y'
x x2
1 n 1
y x y' y x y'
2 x nn x n 1
y sin x y' cos x y cos x y' sin x
1
y tgx y' 1 tg 2 x
cos2 x
y ex y' e x y ax y ' a x ln a
1 1
y ln x y' y log a x y' log a e
x x

21. Propiedades
a) (k f )' ( x) k f ' ( x)
b) (f g )' ( x) f ' ( x) g ' ( x)
c)
(f g )' ( x) f ' ( x) g ' ( x)
d)
( f g )' ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x)
e) '
f f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x)
( x)
g g ( x) 2

22. Ejemplos de derivadas
a) f ( x) x 4 3x 2 4x 4 f ' ( x) 4 x3 6 x 4
b) f ( x) (2 x 3) ( x 2 4 x 1) f ' ( x)
2( x 2 4 x 1) (2 x 3)(2 x 4)
1
c) f ( x) x (4 x 3 6 x) f ' ( x) (4 x 3 6 x) x (12 x 2 6)
2 x
2x 1 2 (3x 2) (2 x 1) 3
d ) f ( x) f ' ( x)
3x 2 (3x 2) 2

23. e) f ( x) sen( x) (3x 2 2 x 1) f ' ( x)
cos(x) (3x 2 2 x 1) sen( x)(6 x 2)
1
(3x) ln x 3
ln x x
f ) f ( x) f ' ( x) 2
3x 3x
g ) f ( x) sen( x) cos(x) f ' ( x) cos(x) cos(x) sen( x)( sen( x))
sen( x) cos(x) cos(x) sen( x) ( sen( x))
h) f ( x ) f ' ( x)
cos(x) (cos(x))2
cos2 ( x) sen 2 ( x) 1 1
(cos(x))2 (cos(x))2 cos2 ( x)

24. Regla de la cadena
• Esta regla se aplica cuando queremos derivar una función
compuesta. Hay que tener cuidado a la hora de aplicarla
( f  g )' ( x) f ' ( g ( x)) g ' ( x)
Ejemplo:
f ( x) sen( x) 2
2
( f  g )(x) f ( g ( x)) sen( x 2)
g ( x) x 2
f ' ( x) cos x g' (x) 2x
2
( f  g )' ( x) f ' ( g ( x)) g ' ( x) cos(x 2) (2 x)

25. f ( x) sen( x)
( g  f )(x) g ( f ( x)) sen 2 ( x) 2
g ( x) x2 2
f ' ( x) cos x g' (x) 2x
( g  f )' ( x) g ' ( f ( x)) f ' ( x) 2sen( x) cos(x)
Nota: - La composición NO es conmutativa
- Cuando se deriva una función NO se puede cambiar el argumento
- No se acaba hasta que no se ha derivado todas las funciones
implicadas

26. Ejemplo complicado
x2 1 x2 1
f ( x) sen cos ln f ' ( x) cos cos ln
4x 4x
1 x2 1 1 2 x(4 x) 4( x 2 1)
sen ln
x 2
1 4x x2 1 (4 x) 2
2 cos ln 4x
4x

27. Aplicación de las derivadas
• Crecimiento de una función
• Máximos y mínimos relativos
• Concavidad y convexidad
• Puntos de inflexión
• Problemas de optimización

28. Crecimiento de una función
• De la definición se deduce que si la derivada es positiva la
función crece y si es negativa la función decrece
f (b) f (a)
f ' (a) lim
b a b a
• f creciente en x0  f’(x0)>0
• f decreciente en x0  f’(x0)<0

29. Ejemplo
• Estudiar el crecimiento de la siguiente función
f ( x) x 3 5 x 2 3x 4 f ' ( x) 3x 2 10 x 3
Ahora hay que resolver la siguiente inecuación
3x 2 10 x 3 0
+ +
-
creciente decreciente creciente
1/3 3