El documento resume los conceptos fundamentales de la derivada, incluyendo: 1) la tasa de variación media y cómo calcular la derivada de una función en un punto; 2) las reglas básicas para derivar funciones como polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones compuestas; y 3) cómo derivar sumas, productos, cocientes y funciones potenciales. Explica estos conceptos a través de varios ejemplos numéricos.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo la definición de derivada, reglas de derivación, derivadas laterales, derivadas de funciones compuestas, diferenciación implícita y ecuaciones de rectas tangente y normal.
El documento resume las principales reglas para derivar funciones, incluyendo reglas para constantes, potencias, productos, cocientes, logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. Al final, propone ejercicios para aplicar las reglas de derivación.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas de funciones. En 3 oraciones o menos:
1) Define la derivada de una función como el límite de la razón de cambio de la función cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero. 2) Presenta las derivadas de funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. 3) Explica las reglas para calcular derivadas de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones.
Elaborados durante el verano de 1997 para el alumnado de 5º de Formación Profesional del IES Bajo Guadalquivir de Lebrija.
Realizados con Ami Pro, programa de procesamiento de texto de Lotus.
Este documento presenta las soluciones a un examen de cálculo numérico. En la primera sección, se piden determinar si cinco afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando contraejemplos si son falsas. La segunda sección contiene dos problemas que involucran el método de Newton y el esquema de diferencias divididas. El documento proporciona detalles completos sobre las soluciones a cada parte del examen.
1) Se describen funciones reales de varias variables cuyo dominio es un subconjunto de Rn y cuya imagen son números reales. Se definen el dominio, imagen y gráfica de estas funciones.
2) Se presentan ejemplos de funciones de dos variables donde se calcula el dominio de definición e imagen.
3) Se define la noción de curvas de nivel como el conjunto de puntos donde la función toma un valor constante c.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo la definición de derivada, reglas de derivación, derivadas laterales, derivadas de funciones compuestas, diferenciación implícita y ecuaciones de rectas tangente y normal.
El documento resume las principales reglas para derivar funciones, incluyendo reglas para constantes, potencias, productos, cocientes, logaritmos, exponenciales y funciones trigonométricas. Proporciona ejemplos para ilustrar cada regla. Al final, propone ejercicios para aplicar las reglas de derivación.
Este documento presenta conceptos básicos sobre derivadas de funciones. En 3 oraciones o menos:
1) Define la derivada de una función como el límite de la razón de cambio de la función cuando el cambio en la variable independiente tiende a cero. 2) Presenta las derivadas de funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. 3) Explica las reglas para calcular derivadas de sumas, diferencias, productos y cuocientes de funciones.
Elaborados durante el verano de 1997 para el alumnado de 5º de Formación Profesional del IES Bajo Guadalquivir de Lebrija.
Realizados con Ami Pro, programa de procesamiento de texto de Lotus.
Este documento presenta las soluciones a un examen de cálculo numérico. En la primera sección, se piden determinar si cinco afirmaciones son verdaderas o falsas, proporcionando contraejemplos si son falsas. La segunda sección contiene dos problemas que involucran el método de Newton y el esquema de diferencias divididas. El documento proporciona detalles completos sobre las soluciones a cada parte del examen.
1) Se describen funciones reales de varias variables cuyo dominio es un subconjunto de Rn y cuya imagen son números reales. Se definen el dominio, imagen y gráfica de estas funciones.
2) Se presentan ejemplos de funciones de dos variables donde se calcula el dominio de definición e imagen.
3) Se define la noción de curvas de nivel como el conjunto de puntos donde la función toma un valor constante c.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
Este documento presenta ejercicios sobre derivadas y técnicas de derivación. Incluye preguntas para calcular derivadas de funciones, estudiar la derivabilidad de funciones en puntos específicos, y hallar derivadas primeras, segundas y terceras de funciones. También contiene gráficos y tablas para ilustrar conceptos relacionados con derivadas como tangentes, puntos de inflexión y intervalos donde la derivada es positiva o negativa.
Este documento presenta 53 ejercicios de cálculo de derivadas de funciones. Los ejercicios involucran funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Se pide calcular la derivada de cada función y representar gráficamente algunas de las funciones y sus derivadas.
El documento presenta varios temas relacionados con sistemas dinámicos y funciones. Incluye definiciones de conceptos como velocidad, fuerza, inflación y cómo estos cambian con el tiempo. También discute cómo evolucionan ecosistemas y revoluciones a través del tiempo. Finalmente, explica que las funciones describen la evolución de variables dinámicas en sistemas.
La primitiva de una función f(x) es cualquier función F(x) cuya derivada sea igual a f(x). La integral indefinida de f(x) representa el conjunto de todas las primitivas de f(x) y se denota como ∫f(x)dx. El área delimitada entre dos funciones f(x) y g(x) en un intervalo [a,b] se calcula como la integral definida de la diferencia f(x)-g(x) entre a y b.
Este documento describe el método de Neville para la interpolación polinómica. Explica cómo construir una tabla (llamada tabla de Neville) que permite aproximar el valor de una función en un punto dado, a partir de los valores conocidos de la función en otros puntos. La tabla se construye de manera recursiva utilizando polinomios de Lagrange. El documento incluye un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento presenta varios ejercicios resueltos sobre funciones de varias variables. El primer ejercicio analiza la función z = x2 + y2 y encuentra que representa un paraboloide. Los ejercicios siguientes estudian otras funciones y calculan derivadas parciales y diferenciales. El documento provee detalles sobre cómo representar dominios de funciones y resolver diferentes tipos de ejercicios sobre funciones de varias variables.
Este documento presenta conceptos clave sobre derivadas. Explica la tasa de variación media en un intervalo y cómo se usa para calcular la variación promedio de una función. También define la derivada de una función en un punto como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño, y cómo la derivada representa la pendiente de la recta tangente. Además, explica reglas para calcular derivadas de funciones compuestas y funciones inversas.
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
I've made this document with IPython Notebook. It contains the Newton and Neville's algorithms written with Python 3 using Matplotlib, Sympy and Numpy.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento presenta una introducción a la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas de la forma F(x)+C. Luego lista varias integrales inmediatas como ∫dx, ∫xndx, ∫senxdx, y explica métodos como el cambio de variable y la integración por partes.
Este documento explica cómo calcular el dominio de las funciones resultantes de componer otras funciones. Presenta cuatro funciones f, g, h y j, y calcula el dominio de las funciones compuestas (g ◦ j), (j ◦ g), (f ◦ h) y (j ◦ h). Explica que los dominios de las funciones polinómicas y racionales resultantes son el conjunto de los números reales, excepto aquellos que anulan el denominador en el caso de las funciones racionales.
Este documento presenta ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas de funciones. Incluye ejemplos de derivar funciones simples y compuestas, hallar derivadas sucesivas, y calcular valores de derivadas en puntos específicos.
Este documento explica los conceptos de asíntota y continuidad de funciones. Define una asíntota como una recta cuya distancia a la curva tiende a cero cuando el punto se mueve al infinito. Explica tipos de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Luego define la continuidad de una función y los tipos de discontinuidad. Finalmente, presenta ejemplos para identificar discontinuidades y asíntotas de funciones.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
El documento explica los conceptos básicos de integración. La integración es el proceso inverso de la derivación, buscando funciones cuya derivada sea igual a una función dada. Se define la integral indefinida como el conjunto de todas las primitivas de una función, representada por la notación ∫f(x)dx, donde f(x) es la función a integrar y dx indica la variable. La integral indefinida de una función es igual a cualquier primitiva de esa función más una constante.
Este documento presenta varios ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye ejercicios para calcular límites cuando x tiende a infinito de expresiones algebraicas, identificar si expresiones son infinitas cuando x tiende a infinito, y determinar si funciones son indeterminadas o no cuando x tiende a infinito.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales. Incluye reglas básicas de derivación como la derivada de sumas, productos, cocientes, funciones compuestas y funciones trigonométricas. Luego, proporciona 18 ejercicios de derivación de funciones como x3, 1/x, x4 + 3x2 - 6 y raíces cuadradas que deben resolverse aplicando dichas reglas. El objetivo es practicar el cálculo de derivadas a través de ejemplos.
Este documento resume las propiedades de la función f(x) = x3 - 3x + 2. El dominio es el conjunto de los números reales. Los puntos de corte con los ejes son (-2,0), (1,0) y (0,2). No hay asíntotas. Los puntos críticos son -1 y 1, siendo (-1,4) un máximo relativo y (1,0) un mínimo relativo. El punto de inflexión es (0,2).
El documento presenta los conceptos fundamentales de la derivación, incluyendo la definición de tangente y pendiente, las reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales, y ejemplos de problemas de derivación.
Este documento presenta tres ejercicios resueltos sobre la continuidad de funciones. El primer ejercicio analiza la continuidad de una función en un punto y determina que tiene una discontinuidad removable. El segundo ejercicio encuentra que la función es discontinua en un punto con una discontinuidad esencial. El tercer ejercicio determina los valores de las constantes necesarios para que una función sea continua en todo su dominio.
Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones, encontrar sus máximos y mínimos, determinar la concavidad y convexidad, y localizar puntos de inflexión. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y el signo de la derivada segunda para estudiar la concavidad. También presenta criterios para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión utilizando las derivadas primera y segunda.
Este documento presenta 53 ejercicios de cálculo de derivadas de funciones. Los ejercicios involucran funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Se pide calcular la derivada de cada función y representar gráficamente algunas de las funciones y sus derivadas.
El documento presenta varios temas relacionados con sistemas dinámicos y funciones. Incluye definiciones de conceptos como velocidad, fuerza, inflación y cómo estos cambian con el tiempo. También discute cómo evolucionan ecosistemas y revoluciones a través del tiempo. Finalmente, explica que las funciones describen la evolución de variables dinámicas en sistemas.
La primitiva de una función f(x) es cualquier función F(x) cuya derivada sea igual a f(x). La integral indefinida de f(x) representa el conjunto de todas las primitivas de f(x) y se denota como ∫f(x)dx. El área delimitada entre dos funciones f(x) y g(x) en un intervalo [a,b] se calcula como la integral definida de la diferencia f(x)-g(x) entre a y b.
Este documento describe el método de Neville para la interpolación polinómica. Explica cómo construir una tabla (llamada tabla de Neville) que permite aproximar el valor de una función en un punto dado, a partir de los valores conocidos de la función en otros puntos. La tabla se construye de manera recursiva utilizando polinomios de Lagrange. El documento incluye un ejemplo numérico para ilustrar el método.
Este documento presenta varios ejercicios resueltos sobre funciones de varias variables. El primer ejercicio analiza la función z = x2 + y2 y encuentra que representa un paraboloide. Los ejercicios siguientes estudian otras funciones y calculan derivadas parciales y diferenciales. El documento provee detalles sobre cómo representar dominios de funciones y resolver diferentes tipos de ejercicios sobre funciones de varias variables.
Este documento presenta conceptos clave sobre derivadas. Explica la tasa de variación media en un intervalo y cómo se usa para calcular la variación promedio de una función. También define la derivada de una función en un punto como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño, y cómo la derivada representa la pendiente de la recta tangente. Además, explica reglas para calcular derivadas de funciones compuestas y funciones inversas.
El documento describe diferentes métodos de diferenciación numérica por 3 y 5 puntos para aproximar la derivada de una función. Presenta las fórmulas para aproximar la derivada usando puntos hacia la derecha, izquierda y en el medio para 3 puntos, y una fórmula para 5 puntos. Luego aplica los métodos a una función exponencial para comparar los errores obtenidos.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
I've made this document with IPython Notebook. It contains the Newton and Neville's algorithms written with Python 3 using Matplotlib, Sympy and Numpy.
Este documento presenta temas adicionales sobre la derivada, incluyendo la monotonía, máximos y mínimos, concavidad, gráficas sofisticadas, y teoremas como el valor medio, Rolle y L'Hôpital. Explica cómo usar la derivada para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos como máximos y mínimos locales, y provee ejemplos y ejercicios resueltos.
Este documento presenta una introducción a la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas de la forma F(x)+C. Luego lista varias integrales inmediatas como ∫dx, ∫xndx, ∫senxdx, y explica métodos como el cambio de variable y la integración por partes.
Este documento explica cómo calcular el dominio de las funciones resultantes de componer otras funciones. Presenta cuatro funciones f, g, h y j, y calcula el dominio de las funciones compuestas (g ◦ j), (j ◦ g), (f ◦ h) y (j ◦ h). Explica que los dominios de las funciones polinómicas y racionales resultantes son el conjunto de los números reales, excepto aquellos que anulan el denominador en el caso de las funciones racionales.
Este documento presenta ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas de funciones. Incluye ejemplos de derivar funciones simples y compuestas, hallar derivadas sucesivas, y calcular valores de derivadas en puntos específicos.
Este documento explica los conceptos de asíntota y continuidad de funciones. Define una asíntota como una recta cuya distancia a la curva tiende a cero cuando el punto se mueve al infinito. Explica tipos de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Luego define la continuidad de una función y los tipos de discontinuidad. Finalmente, presenta ejemplos para identificar discontinuidades y asíntotas de funciones.
Este documento trata sobre los conceptos de límites y continuidad en matemáticas. Incluye ejercicios de cálculo de límites, funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta información sobre derivadas de funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, así como sobre asíntotas de funciones.
El documento explica los conceptos básicos de integración. La integración es el proceso inverso de la derivación, buscando funciones cuya derivada sea igual a una función dada. Se define la integral indefinida como el conjunto de todas las primitivas de una función, representada por la notación ∫f(x)dx, donde f(x) es la función a integrar y dx indica la variable. La integral indefinida de una función es igual a cualquier primitiva de esa función más una constante.
Este documento presenta varios ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. Incluye ejercicios para calcular límites cuando x tiende a infinito de expresiones algebraicas, identificar si expresiones son infinitas cuando x tiende a infinito, y determinar si funciones son indeterminadas o no cuando x tiende a infinito.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales. Incluye reglas básicas de derivación como la derivada de sumas, productos, cocientes, funciones compuestas y funciones trigonométricas. Luego, proporciona 18 ejercicios de derivación de funciones como x3, 1/x, x4 + 3x2 - 6 y raíces cuadradas que deben resolverse aplicando dichas reglas. El objetivo es practicar el cálculo de derivadas a través de ejemplos.
Este documento resume las propiedades de la función f(x) = x3 - 3x + 2. El dominio es el conjunto de los números reales. Los puntos de corte con los ejes son (-2,0), (1,0) y (0,2). No hay asíntotas. Los puntos críticos son -1 y 1, siendo (-1,4) un máximo relativo y (1,0) un mínimo relativo. El punto de inflexión es (0,2).
El documento presenta los conceptos fundamentales de la derivación, incluyendo la definición de tangente y pendiente, las reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones algebraicas, trigonométricas y exponenciales, y ejemplos de problemas de derivación.
Este documento presenta tres ejercicios resueltos sobre la continuidad de funciones. El primer ejercicio analiza la continuidad de una función en un punto y determina que tiene una discontinuidad removable. El segundo ejercicio encuentra que la función es discontinua en un punto con una discontinuidad esencial. El tercer ejercicio determina los valores de las constantes necesarios para que una función sea continua en todo su dominio.
Este documento trata sobre las aplicaciones de la derivada para estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones, encontrar sus máximos y mínimos, determinar la concavidad y convexidad, y localizar puntos de inflexión. Explica cómo usar el signo de la derivada primera para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y el signo de la derivada segunda para estudiar la concavidad. También presenta criterios para identificar máximos, mínimos y puntos de inflexión utilizando las derivadas primera y segunda.
Este documento presenta conceptos básicos sobre funciones reales de una variable, incluyendo definiciones de función, dominio y recorrido, clasificación de funciones, función inversa, paridad de funciones, operaciones con funciones y ejemplos. Se define formalmente una función, se explican métodos para representar funciones gráficamente y se clasifican funciones según su forma como lineales, cuadráticas, exponenciales, etc. También se describen propiedades como función inyectiva, sobre y biyectiva y cómo encontrar la función inversa.
La regla de Simpson proporciona una estimación más precisa de la integral de una función. La regla de Simpson 1/3 simple aproxima el área bajo una curva mediante el área bajo una parábola que une tres puntos. La regla de Simpson 1/3 compuesta divide el intervalo en subintervalos iguales y aplica la regla simple en cada uno para mejorar la precisión cuando el intervalo original es grande. Dividiendo en más subintervalos reduce aún más el error de la aproximación.
Este documento describe conceptos fundamentales sobre derivadas, incluyendo: (1) la tasa de variación media y cómo se calcula, (2) la definición de derivada como un límite, y (3) algunas reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones compuestas o la derivada de la función inversa.
Este documento presenta 5 ejercicios de matemática que involucran funciones. El Ejercicio 1 pide estudiar dominios, ceros y signos de funciones f(x) y g(x), y resolver gráficamente f(x) ≥ g(x) y el signo de (f-g)(x). El Ejercicio 2 involucra funciones f(x) y g(x) con una raíz común y pide factorizar, simplificar, bosquejar y resolver gráficamente y analíticamente f(x) < g(x). El Ejercicio 3
Este documento no contiene información relevante para resumir. Consiste únicamente en el nombre de una ciudad venezolana sin ningún otro detalle o contexto.
Este documento presenta ejercicios y problemas relacionados con el cálculo de derivadas. En particular, se pide calcular derivadas de funciones, identificar puntos en los que la derivada es cero, positiva o negativa, y hallar intervalos donde la derivada sea positiva. También se explica la relación entre una función y su derivada.
El documento resume las aplicaciones de la derivada, incluyendo la monotonía, extremos relativos, optimización y curvatura de funciones. Explica cómo usar la primera y segunda derivada para determinar si una función es creciente o decreciente, si tiene máximos o mínimos relativos, y si es cóncava hacia arriba o abajo. También proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos para resolver problemas relacionados con la Prueba de Acceso a la Universidad.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de derivadas e incluye las siguientes ideas clave:
1) Define la tasa de variación media de una función en un intervalo y la tasa de variación instantánea en un punto.
2) Explica la derivada de una función en un punto como el límite de la pendiente de la recta secante cuando h tiende a cero.
3) Presenta las interpretaciones geométricas de la derivada como la pendiente de la recta tangente y la ecuación de la recta tangente y normal.
4) Enuncia teore
Este documento presenta conceptos básicos sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, incluyendo: 1) Definiciones de derivadas parciales y direccionales; 2) Propiedades de derivadas parciales y direccionales; 3) Ejemplos de cálculo de derivadas parciales de funciones específicas. Además, incluye problemas resueltos que ilustran conceptos como la existencia de derivadas parciales pero no direccionales, y que la existencia de derivadas direccionales no garantiza la contin
Este documento presenta conceptos clave sobre el cálculo diferencial de funciones de varias variables, como derivadas parciales, derivadas direccionales y derivadas de orden superior. Introduce las definiciones formales de derivadas parciales y direccionales, y discute propiedades como que las derivadas parciales se pueden obtener como componentes de la derivada direccional. Luego, presenta una serie de problemas resueltos como ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento analiza conceptos básicos de funciones como dominio, recorrido, límites y límites infinitos. Explica que una función asocia cada valor de una variable independiente (x) a un único valor de una variable dependiente (y). Define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente. Además, introduce la noción de límite de una función en un punto de manera intuitiva y formal mediante la definición ε-δ.
Este documento presenta el tema de las derivadas de funciones trascendentes. Introduce las derivadas de las funciones seno y coseno, mostrando cómo derivarlas y aplicar las reglas de derivación a funciones compuestas que contengan seno y coseno. Incluye ejemplos como calcular derivadas, rectas tangentes y normales, y encontrar el rectángulo de mayor área inscrito en un círculo.
1) El documento presenta las derivadas de varias funciones elementales como polinómicas, racionales, raíz cuadrada, funciones trigonométricas y exponentes. 2) Incluye las reglas básicas para calcular derivadas como la derivada de una constante, suma, producto y cociente de funciones. 3) Explica conceptos como derivada en un punto, interpretación geométrica como pendiente de la tangente y función derivada.
1. El documento presenta el concepto fundamental de límite de una función y cómo se utiliza para encontrar la tangente a una curva o la velocidad de un objeto.
2. Introduce la idea intuitiva de límite mediante una tabla de valores y define formalmente el límite.
3. Explica propiedades de los límites como la adición, multiplicación y división, así como límites trigonométricos.
El documento presenta información sobre derivadas y problemas relacionados con derivadas. Incluye una tabla de derivadas de funciones comunes, una sección con 20 ejercicios resueltos de cálculo de derivadas, y un boletín de trabajo con 4 problemas adicionales de derivadas.
[1] Este documento presenta información sobre derivadas y problemas de derivadas. Incluye una tabla de derivadas comunes, reglas para derivar sumas, productos y funciones compuestas, y una colección de 20 ejercicios de derivadas resueltos.
[2] También incluye un boletín de trabajo con 4 problemas de derivadas para que el estudiante resuelva. El documento proporciona información fundamental sobre el cálculo de derivadas a través de ejemplos y ejercicios resueltos.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
https://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/2024/06/soluciones-examen-de-selectividad.html
http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. TEMA : LA DERIVADA
1.- TASA DE VARIACION MEDIA
Medimos el crecimiento o decrecimiento de una función en un intervalo calculando la tasa de variación
media de la función en dicho intervalo
T.V.M.de f en [x1, x2] =
f(x2)
var iación de la función f(x2)-f(x1)
=
var iación de la var iable independiente f(x1) x2 – x1
f ( x2 ) − f ( x1 ) x1 x2
x2 − x1
3
Ejemplo: Calcula la tasa de variación media de f ( x) = en el intervalo [-3, -1]. ¿Crece o decrece la
x
función en dicho intervalo?
f (− 1) − f (− 3) − 3 − (− 1) − 3 + 1 − 2
a) T.V.M. [− 3, − 1] = = = = = −1
− 1− (− 3) − 1+ 3 2 2
b) Como la tasa de variación media es negativa, la
función es decreciente en el intervalo dado.
2.- DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
La derivada de la función f(x) en el punto x = x0 es el limite
f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f(x0+h)
f ´(x0 ) = lim f(x0 + h)-f(x0 )
h →0 h
f(x0)
La derivada f ´(x0 ) es un número que nos indica la h
variación instantánea de la función en el punto x = x0 x0 x0 + h
3
Ejemplo: Hallar la derivada de f ( x) = en el punto x=-3
x
f(-3)=-1
3
f ( −3 + h ) =
−3+ h
3 h
+1
f (−3 + h) − f (−3) 1 −1
f ′(− 3) = lim = lim h − 3 = lim h − 3 = lim =
h →0 h h →0 h h→0 h h→0 h − 3 3
José Ángel López Martín Pág 1
2. TEMA : LA DERIVADA
Ejemplo: Hallar la derivada de f(x) = - x2 + 6x en el punto x=2
f(2) = - 4 + 12 = 8
f (2 + h ) = −(2 + h ) + 6(2 + h ) = −4 − h 2 − 4h + 12 + 6h = − h 2 + 2h + 8
2
f (2 + h) − f (2) − h 2 + 2h h(− h + 2)
f ′(2 ) = lim = lim = lim = lim(− h + 2 ) = 2
h →0 h h →0 h h →0 h h →0
⎧− x si x < 0
Ejemplo: Hallar la derivada de la función f ( x) = x = ⎨ en el punto x=0
⎩ x si x ≥ 0
f ( 0 + h ) − f ( 0) h −0 −h
f ′(0 − ) = lim− = lim− = lim− = lim− − 1 = −1
h →0 h h →0 h h→0 h h →0
f ( 0 + h ) − f ( 0) h −0
f ′(0 + ) = lim+
h
= lim+ = lim+ = lim+ 1 = 1
h →0 h h →0 h h→0 h h →0
Como f ´(0−) ≠ f ´(0+ ) f no es derivable en x=0
3.- FUNCIÓN DERIVADA.
La función derivada de una función f(x) es una nueva función que asocia a cada número real su
derivada. Se denota por f´(x). Su definición es la siguiente:
f ( x + h) − f ( x )
f ´(x) = lim
h→0 h
Ejemplo: Halla la función derivada de f(x) = x2 .
f(x+ h) = (x+h)2 =x2 + 2xh + h2
f (x+h) - f(x) = x2 + 2xh + h2 - x2 = 2xh + h2
f ( x + h) − f ( x ) h 2 + 2 xh h( h + 2 x )
f ´(x) = lim = lim = lim = lim(h + 2 x ) = 2 x
h →0 h h →0 h h →0 h h →0
Ejemplo: Halla la función derivada de f(x) = x2 - 2x .Una vez hallada f ‘(x), calcula f ‘(3), f ‘(0) y f ‘ (1)
f(x+ h) = (x+h)2 – 2(x+h) =x2 + 2xh + h2 -2x - 2h
f (x+h) - f(x) = x2 + 2xh + h2 - 2x -2h - x2 + 2x = 2xh + h2 - 2h
f ( x + h) − f ( x ) h 2 + 2 xh − 2h h(h + 2 x − 2)
f ´(x) = lim = lim = lim = lim(h + 2 x − 2) = 2 x − 2
h →0 h h →0 h h →0 h h →0
Por tanto, la función derivada de f(x) = x2 - 2x es f´(x) = 2x - 2
Si ahora se desea hallar la derivada en cualquier punto, basta con sustituir.
f ´(3)= 6 – 2 = 4 f´(0) = 0 - 2= -2 f ´(1) = 2 – 2 -= 0
José Ángel López Martín Pág 2
3. TEMA : LA DERIVADA
4.- REGLAS DE DERIVACIÓN
Derivada de f (x)=k f´(x)= 0
y = Ln10 → y´= 0
Derivada de f (x)=x f´(x)= 1
Derivada de f (x)=xn f´(x)= n· xn-1
y = x2 → y´= 2· x
y = x3 → y´= 3· x 2
y = x4 → y´= 4· x 3
1 −2
y= 2
= x −2 → y´= −2· x − 2−1 = −2· x −3 =
x x3
1 1 −1
1 2 −1 1 2 1
f ( x) = x = x 2 → f ´(x) = ·x = ·x =
2 2 2 x
1
Derivada de f ( x) = x f ´(x) =
2 x
1 −2
1 1
f ( x) = x = x
3 3
f ´(x) = · x 3 =
3 3 x2
1
Derivada de f ( x ) = n x f ´(x) =
n x n −1
1 5 5 3
x3 3− 5 −1 5 5 x3
y= =x 2
=x 2
→ y´= x 2 = x 2 =
x 2 2 2
Derivada de una constante por una función: y=k · f (x) y´= k · f´(x)
y = 3x 5 → y´= 3·5 x 4 = 15 x 4
−2 3 −2 2 −6 2
y= x → y´= 3x = x
7 7 7
x3 1 3x 2
y= → y´= 3 x 2 =
5 5 5
Derivada de una suma o diferencia de funciones: y=f (x)+g (x) y´ = f´(x)+g´(x)
y = 5 x 2 + 3x → y´= 5·2 x + 3 = 10 x + 3
y = −3 x 3 + 4 x 2 − 2 x − 7 → y´= −3·3 x 2 + 4·2 x − 2 = −9 x 2 + 8 x − 2
Derivada de un producto de funciones: y=f (x) · g (x) y´ = f´(x) · g(x) + f(x) ·g´(x)
y = (3 x − 5)( x 2 + 4 x)
y´= 3( x 2 + 4 x) + (3 x − 5)(2 x + 4) = 3 x 2 + 12 x + 6 x 2 + 12 x − 10 x − 20 = 9 x 2 + 14 x − 20
José Ángel López Martín Pág 3
4. TEMA : LA DERIVADA
Podemos operar primero y derivar después
y = (3 x − 5)( x 2 + 4 x) = 3 x 3 + 12 x 2 − 5 x 2 − 20 x = 3 x 3 + 7 x 2 − 20 x → y´= 9 x 2 + 14 x − 20
f ( x) f ´(x)·g ( x) − f ( x)·g´(x)
Derivada de un cociente de funciones y = y´=
g ( x) g ( x) 2
y=
2x − 1
→ y´=
( )
2 x 2 + 1 − (2 x − 1)2 x
=
2x 2 + 2 − 4x 2 + 2x
=
− 2x 2 + 2x + 2
x2 +1 (x 2
+1 )2
(x 2
+1 )2
(x 2
+1 ) 2
1 − (5 − 6 x ) 6x − 5
y= → y´= =
5 x − 3x 2 (5x − 3x ) (5 x − 3x )
2 2 2 2
1− x2 − 2 x ( x − 3) − (1 − x ) − 2 x 2 2
+ 6x − 1 + x 2 − x 2 + 6x − 1
y= → y´= = =
x −3 (x − 3)2 (x − 3)2 (x − 3)2
Derivada de funciones compuestas: y = f(g(x)) y´= f ´( g ( x )) · g´( x )
La derivada de una composición de funciones es el producto de las derivadas de cada una de las
funciones que se componen
(
y = 3x 2 − 2 x + 5 )6
“Es una composición de un polinomio y una potencia por tanto su derivada es el producto de la
derivada de la potencia 6(3 x 2 − 2 x + 5) y la derivada del polinomio (6 x − 2) ”
5
(
y´= 6 3 x 2 − 2 x + 5 · (6 x − 2 ) )
5
y = 5x 3 − 2 x + 1
“Es una composición de un polinomio y una raíz cuadrada por tanto su derivada es el producto de la
derivada de la raíz y la derivada del polinomio”
1
y´= (6 x − 2) )
2 5x − 2 x + 1
3
Función potencial
y = f ( x) n → y´= n f ( x) n −1 · f ´(x)
1 1
y= f (x) y´= f ´(x) y = n f ( x) y´= f ´(x)
2 f ( x) n n f ( x) n−1
y´= 3(2 x + 5) 2 · 2 = 6(2 x + 5)
2
y = (2 x + 5) 3 →
1 12 x 2 6x 2
y = 4x 3 + 1 → y´= ⋅ 12 x 2 = =
2 4x3 + 1 2 4x3 + 1 4x3 + 1
−3
6x − 7
( ) 1
( ) (6 x − 7) =
1
y = 4 3x 2 − 7 x = 3x 2 − 7 x 4 → y´= 3x 2 − 7 x 4
4 (
4 4 3x 2 − 7 x )
3
José Ángel López Martín Pág 4
5. TEMA : LA DERIVADA
Exponencial de base a: y = a x → y´= a x ln a y = a f ( x) → y´= a f ( x ) ln a · f ´(x)
y = 2x → y´= 2 x ln 2
y = 2 3 x +5 → y´= 2 3 x + 5 ln 2 · 3
Exponencial de base e: y = e x → y´= e x y = e f ( x) → y´= e f ( x ) · f ´(x)
· (2 x − 5)
2 2
−5 x −5 x
y = ex → y´= e x
y = e x + e−x → y´= e x + e − x (−1) = e x − e − x
1 1 f ´(x) 1
Logaritmo de base a: y = log a x → y´= y = log a f ( x) → y´=
x ln a f ( x) ln a
1 1
y = log x → y´=
x Ln10
3 1
y = log(3 x − 1) → y´=
(3 x − 1) Ln10
1 f ´(x)
Logaritmo neperiano: y = ln x → y´= y = ln f ( x) → y´=
x f ( x)
3
y = ln(3 x + 4) → y´=
3x + 4
1 1 3 3
y = ln (3 x + 4) = ln(3 x + 4) → y´= · =
2 2 3x + 4 6 x + 8
Función seno: y = sen x → y´= cos x y = sen f ( x ) → y´= cos f ( x ) · f ´( x )
y = sen( x 2 + 1) → y´= cos( x 2 + 1) · 2 x
Función coseno: y = cos x → y´= − sen x y = cos f ( x ) → y´= − senf ( x ) · f ´( x )
y = cos( 6 x + 5) → y´= − sen (6 x + 5) · 6 = −6 sen (6 x − 5)
1
Funcion tangente: y = tg x → y´=
cos 2 x
= 1 + tg 2 x y = tg f ( x) → y´=
1
( )
f ´(x ) = 1 + tg 2 x · f ´(x )
cos 2 f ( x)
· 4 = (1 + tg 2 (4 x) )·4
1
y = tg (4 x) → y´= 2
cos (4 x)
y = sen 3 (2 x + 5) → y´= 3 sen 2 (2 x + 5) · cos(2 x + 5) · 2 = 6 sen 2 (2 x + 5) cos(2 x + 5)
1 f ´(x)
Función arco seno: y = arc sen x → y´= y = arc sen f ( x) → y´=
1− x2 1 − f ( x) 2
1 2x
y = arc sen x 2 → y´= 2x =
1− x2 ( ) 2
1− x4
José Ángel López Martín Pág 5
6. TEMA : LA DERIVADA
−1 − f ´(x )
Función arco seno: y = arc cos x → y´= y = arc cos f ( x) → y´=
1− x2 1 − f ( x) 2
1 −1 −1 1 1
y = arc cos → y´= 2
= =
x ⎛1⎞ x
2
x −1 x x2 −1
2
1− ⎜ ⎟ x2
⎝ x⎠ x2
1 f ´(x)
Función arco tangente: y = arc tg x → y´= y = arc sen f ( x) → y´=
1+ x2 1 + f ( x) 2
y = arc tg ( x) → y´=
1 1
=
1
1+ ( x) 2
2 x 2(1 + x ) x
5.- DERIVACION DE LA FUNCIÓN INVERSA O RECIPROCA
Ejemplo halla la derivada de f −1 (x) = arc tg x teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es
f' (x) = 1 + tg2 x.
Solución:
y = arctg x
tg y = tg (arctgx ) = x
(1 + tg y )y´= 1
2
1 1
y´= =
1 + tg 2 y 1+ x2
De forma general, podemos hallar la derivada de la función inversa de la siguiente forma
´ ´ 1 ´ ´ 1
1 1 1
´ ´
´ ´ ´
José Ángel López Martín Pág 6
7. TEMA : LA DERIVADA
6.- TABLA DE DERIVADAS
y = f(x) + g(x) y´ = f´(x) + g´(x)
y = f(x)·g(x) y´= f´(x)·g(x) + f(x) g´(x)
y = k f(x) y´ = k f´(x)
f ( x) f ´(x) g ( x) − f ( x ) g´(x)
y= y´=
g ( x) g ( x) 2
f ( x) f ´(x)
y= ý´=
k k
y = g o f ( x) = g ( f ( x )) y´= g´( f ( x )) f ´( x )
FUNCION ELEMENTAL FUNCION COMPUESTA
y=k y´ = 0
y=x Y´= 1
y=x n
(n ≠ −1) y´= n x n −1 y = f ( x) n y´= n f ( x) n −1 · f ´(x)
y= x 1 y= f (x) 1
y´= y´= f ´(x)
2 x 2 f ( x)
y=n x 1 y = n f ( x) 1
y´= y´= f ´(x)
n n x n −1 n n f ( x) n −1
y = log a x 1 1 y = log a f ( x) f ´(x) 1
y´= y´=
x Ln a f ( x) ln a
y = Lnx 1 y = ln f ( x ) f ´(x)
y´= y´=
x f ( x)
y = ax y´= a x Lna y = a f ( x) y´= a f ( x ) ln a · f ´(x)
y = ex y´= e x y = e f ( x) y´= e f ( x ) · f ´(x)
y = sen x y´= cos x y = sen f (x ) y´= cos f ( x ) · f ´( x )
y = cos x y´ = − sen x y = cos f ( x ) y´= − senf ( x ) · f ´(x )
y = tg f (x )
y = tg x
y´= 1 + tg 2 x =
1
cos 2 x
y´=
1
2
( )
f ´(x ) = 1 + tg 2 f ( x) · f ´(x)
cos f ( x)
−1 y = cot g f ( x ) −1
y = cotg x
(
y´= − 1 + cot g 2 x = ) sen 2 x
y´= 2
( )
f ´(x) = − 1 + cot g 2 f ( x) · f ´(x)
sen f ( x)
y = arc sen x 1 y = arc sen f(x) f ´(x)
y´= y´=
1− x 2
1 − f(x) 2
y = arc cos x −1 y = arc cos f(x) - f ´(x)
y´= y´=
1− x2 1 − f(x) 2
y=arc tg x 1 y=arc tg f(x) f ´(x)
y´= y´=
1+ x2 1 + f(x) 2
José Ángel López Martín Pág 7
8. TEMA : LA DERIVADA
7.- DERIVACION LOGARÍTMICA
f(x) =xx
Tomamos el logaritmo neperiano de ambos miembros
ln f(x) = ln xx = x ln x
derivamos ambos miembros
f ´(x) 1
= ln x + x·
f ( x) x
despejamos f ’(x)
f ’(x) = xx ·[ln x + 1]
8.- DERIVACION IMPLICITA
x2 y2
Hallar la derivada de la función implicita + = 1 en el punto x=3
25 9
quitamos denominadores
9x2+ 25 y2 = 225
derivamos y despejamos y´
-18x
18x + 50 y y' = 0 ; y' = 50y
calculamos la ordenada y para x=3
144 12
x=3 9·9+25y2 = 225 25y2 = 144 y2 = y=±
25 5
sustituimos en la derivada y´
− 18·3 − 54 − 9 − 18·3 − 54 9
y' (3) = = = o y' (3) = = =
12 120 20 − 12 − 120 20
50· 50·
5 5
9.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCION
Una función será derivable en aquellos puntos en que pueda trazarse recta tangente. Por tanto
no será derivable en:
a) Los puntos de discontinuidad
b) Los en los que no coinciden las derivadas laterales (puntos angulosos donde no coinciden las
semitangentes por la izquierda y por la derecha)
c) Los puntos en los que la derivada es ∞ (tangente vertical)
José Ángel López Martín Pág 8
9. TEMA : LA DERIVADA
1
Ejemplo 1: Estudiar la derivabilidad de f(x)= x - 1
Discontinua en x = 1 y por tanto no es derivable en dicho punto.
−1
En el resto es derivable siendo f ' ( x) =
(x − 1)2
Ejemplo 2. Estudiar la derivabilidad de f(x) en x= -1
, 1
2 , 1
En x=-1
lim 1 lim 2 2 1
f no es continua y por tanto tampoco es derivable.
Comprobémoslo
1 1 1 2 2 2 1 1
lim lim lim ∞
0
1 1 2 2 2 2
lim lim lim lim 2 2
No es derivable en x=-1 ya que f´(-1-) ≠ f´(-1+) y además f´(-1-) = ∞
3
Ejemplo3: Estudiar la derivabilidad de f(x) = x
f es continua en R
f ´(x) =
1 no derivable en x = 0 ya que f´(0)= ∞
3
x2
En x=0 tiene un punto con tangente vertical
Ejemplo 4: Estudiar la derivabilidad de f(x)=|x|
Es continua en R.
Calculemos la derivada en x =0
Lim h − 0 Lim h Lim h
+ = = =1
h→0 h h→0 h h→0h
José Ángel López Martín Pág 9
10. TEMA : LA DERIVADA
Lim h − 0 Lim h Lim − h
− = = = −1
h→0 h h→0 h h→0 h
Podemos estudiar la derivabilidad en x= 0 de otra manera. Expresamos la función como una función
definida a trozos y la derivamos
⎧− x si x < 0 ⎧− 1 si x < 0
f ( x) = x = ⎨ f ´(x ) = ⎨
⎩ x si x ≥ 0 ⎩ 1 si x > 0
Calculamos la derivada en x=0
f´(0-) = lim f ´( x) = −1 f´(0+) = lim f ´(x) = 1
x→0 x →0
No es derivable en x =0 ya que no coinciden las derivadas laterales.
Es un punto anguloso
José Ángel López Martín Pág 10