Este documento presenta las reglas para calcular derivadas de operaciones con funciones derivables. Explica que la derivada de una suma es la suma de las derivadas individuales, la derivada de un producto por una constante es esa constante multiplicada por la derivada, y la derivada de un producto es la derivada de la primera función multiplicada por la segunda función más la primera función multiplicada por la derivada de la segunda. También presenta la regla de la cadena para derivar composiciones de funciones y una tabla con ejemplos comunes de funciones y sus derivadas respectivas.

1. OPERACIONES CON DERIVADAS
Si f (x) y g (x) son funciones derivables en el punto x0 entonces:
- La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas: ( f + g )' ( x 0 ) = f ' ( x0 ) + g ' ( x0 )
- La derivada del producto de una función por una constante es la constante por la derivada de la
función: (k ⋅ f )' ( x0 ) = k ⋅ f ' ( x0 )
- La derivada del producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin
derivar más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda:
( f ⋅ g )' ( x0 ) = f ' ( x0 ) ⋅ g ( x 0 ) + f ( x0 ) ⋅ g ' ( x0 )
- La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin
derivar menos la primera función sin derivar por la derivada de la segunda partido por el cuadrado
'
⎛f⎞ f ' ( x0 ) ⋅ g ( x0 ) − f ( x0 ) ⋅ g ' ( x0 )
de la función del denominador: ⎜ ⎟ ( x0 ) =⎜g⎟
⎝ ⎠ g 2 ( x0 )
- Derivada de la composición de funciones: Regla de la cadena: Si f ( x) es una función derivable
en x0 y g ( x) es una función derivable en f ( x 0 ) entonces g o f es una función derivable en x0 y
además ( g o f )' = g ' ( f ( x0 )) ⋅ f ' ( x0 )
TABLA PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS
Función Derivada Función Derivada
k 0 x 1
n −1
xn nx n
f ( x) n f n−1 ( x) f ' ( x)
x 1 f (x) 1
f ' ( x)
2 x 2 f ( x)
n
x 1 n f ( x) 1
f ' ( x)
n n −1 n n−1
n x n f ( x)
ex ex e f ( x) e f ( x ) f ' ( x)
ax a x ln a a f ( x) a f ( x ) f ' ( x) ln a
ln x 1 ln f ( x) 1
f ' ( x)
x f ( x)
log a x 1 log a f ( x) 1
log a e f ' ( x) log a e
x f ( x)
sin x cos x sin f ( x) cos f ( x) f ' ( x)
cos x − sin x cos f ( x) − sin f ( x) f ' ( x)
tan x 1 tan f ( x) f ' ( x)
= 1 + tan 2 x = (1 + tan 2 f ( x)) f ' ( x)
cos 2 x cos 2 f ( x)
arcsin x 1 arcsin f ( x) 1
f ' ( x)
1− x 2
1 − f 2 ( x)
arccos x 1 arccos f ( x) 1
− − f ' ( x)
1− x2 1 − f 2 ( x)
arctan x 1 arctan f ( x) 1
f ' ( x)
1+ x2 1 + f 2 ( x)
Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito