El documento explica la derivada como una notación para cuantificar cambios en variables relacionadas. Galileo descubrió que la distancia y el tiempo en la caída libre se relacionan a través de la fórmula s=4.9t^2. Para medir el cambio en distancia entre 1 y 2 segundos, se calcula la diferencia Δs=s2-s1=14.7m. Finalmente, la derivada proporciona una fórmula general Δs=9.8tiΔt+4.9Δt^2 para calcular el cambio en distancia para

1. La derivada
Una notación operativa para cuantificar los
cambios

2. La variables siempre están
relacionadas unas con otras de
alguna manera, y las relaciones
entre las variables mas útiles para
nuestro propósito son las
funciones

3. Por ejemplo

4. Galileo Galilei, en el S.
XVII descubrió, que la
relación entre las
distancia y el tiempo en
la caída libre de los
cuerpos sobre la
superficie terrestre, se
describe por la
formula:
𝐬 𝐭 = 𝟒. 𝟗𝐭 𝟐

5. Analizando este fenómeno y suponiendo que s representa la
distancia en metros y t el tiempo en segundos, uno se puede
preguntar cuanto cambia la distancia que recorre un cuerpo
entre los segundos 1 y 2. Esto puede medirse utilizando la
diferencia 𝑺 𝒇 − 𝑺𝒊 = ∆𝒔 , pero como s depende de t , se
obtiene de la siguiente manera:
∆𝑠 = 𝑠 2 − 𝑠 1 = 4.9 2 2 − 4.9 1 2 = 19.6 − 4.9 = 14.7 𝑚
La interpretación
geométrica de estos
resultados pueden
ser apreciados en la
siguiente gráfica

6. Para medir el cambio, se considera un estado inicial 𝒙𝒊 el
estado inicial de 𝒇(𝒙), sería 𝒇 𝒙 𝒊
.Después de un cambio que
experimente 𝒙𝒊 , de 𝒙𝒊 a 𝒙𝒊 + ∆𝒙 (un estado final), 𝒇(𝒙)
también cambio a un estado final y este que da como
𝒇(𝒙𝒊 + ∆𝒙)
Estado
inicial
Cambio Estado Final Diferencia
Variable
independiente
𝒙𝒊 𝒙𝒊 + ∆𝒙 ∆𝒙
Variable
dependiente
𝒇(𝒙𝒊) 𝒇(𝒙𝒊 + ∆𝒙) 𝒇(𝒙𝒊 + ∆𝒙)-𝒇(𝒙𝒊)

7. Obtengamos, por ejemplo, la formula de las
diferencias para 𝐬 𝐭 = 𝟒. 𝟗𝐭 𝟐
Estado inicial 𝒔 𝒕𝒊 = 𝟒. 𝟗 𝒕𝒊
𝟐
Estado Final 𝑠 𝑡𝑖 + ∆𝑡 = 4.9(𝑡𝑖 + ∆𝑡)2 = 4.9𝑡𝑖
2 + 9.8𝑡𝑖∆𝑡 + 4.9∆𝑡2
Diferencias ∆𝑠 = 𝑠 𝑡𝑖 + ∆𝑡 − 𝑠(𝑡𝑖)
∆𝑠 = 4.9(𝑡𝑖 + ∆𝑡)2
− 4.9 𝑡𝑖
2
= 4.9𝑡𝑖
2
+ 9.8𝑡𝑖∆𝑡 + 4.9∆𝑡2
− 4.9 𝑡𝑖
2
∆𝑠 = 9.8𝑡𝑖∆𝑡 + 4.9∆𝑡2

8. Con la diferencia ∆𝑠 = 9.8𝑡𝑖∆𝑡 + 4.9∆𝑡2
se puede
calcular cuanto cambia la distancia recorrida, en la
caída libre de los cuerpos, para cualesquiera
valores del tiempo
∆𝑠 = 9.8𝑡𝑖∆𝑡 + 4.9∆𝑡2= 9.8 1 1 + 4.9(1)2= 9.8 + 4.9 = 14.7