1) El documento trata sobre derivadas de orden superior, derivación de funciones implícitas, puntos críticos, concavidad y criterio de derivada, razón de cambio, ejemplos y curiosidades relacionadas con las derivadas. 2) Incluye ejemplos de cálculo de derivadas de funciones explícitas e implícitas y de velocidad de cambio. 3) También menciona curiosidades como el Puente Matemático en la Universidad de Cambridge.

1. 0
P e a r s o n E d u c a c i ó n
2014
Aplicaciones de las Derivadas
NOMBRE Soterano Yeffersson
Novena edición

2. 1
Tabla de contenido
Derivada de Orden Superior .................................................................................................................................................. 1
Derivación de funciones implícitas ..................................................................................................................................... 2
Pasos para clasificar puntos críticos de acuerdo al criterio de la primera derivada ..................................................... 3
Concavidad y criterio de la derivada .................................................................................................................................... 4
Chistes de matemática........................................................................................................................................................ 5
Razón de Cambio ............................................................................................................................................................ 6
Ejemplos.............................................................................................................................................................................. 8
Curiosidades.................................................................................................................................................................. 11
Aplicaciones de las Derivadas

3. 2
Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una nueva función, la
cual se puede derivar nuevamente. A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y
a las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas,
siendo la primera derivada la ordinaria.
1) Obtenga la tercera derivada de la función
( )
La primera derivada de la función es:
( )
La segunda derivada
( )
La tercera derivada
( )
*Los extremos absolutos se denominan también extremos globales.

4. 3
Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia ninguna variable
está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con
respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso
denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena.
1) Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la función
Derivando con respecto a x
( ) ( ) ( )
Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos y se debe aplicar el teorema de
la derivada de un producto.
Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x.
( )
Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer
miembro, factorizando los términos
( )
Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.

5. 4

6. 5
Concavidad y criterio de la derivada.

7. 6
2 + 2 = ?
 Ingeniero3.9968743
 Físico: 4.000000004 ± 0.00000006
 Matemático: Espere, solo unos minutos
más, ya he probado que la solución existe y
es única, ahora la estoy acotando...
 Filósofo: ¿Qué quiere decir 2+2?
 Lógico: Defina mejor 2+2 y le responderé.
 Contador: ¿Cuánto quiere que dé?

8. 7
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el
tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t),
siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo
 El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
 La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
 El volumen de un globo mientras se infla
 La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+∆t, es el incremento
)()( tfttfQ 
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio
∆Q en Q con respecto del cambio ∆t en t, por lo que es el cociente
t
tfttf
t
Q




 )()(
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta
razón promedio cuando ∆t→0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es
t
tfttf
t
Q
tt 





)()(
limlim
00
Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es
la derivada

9. 8
)´(tf
dt
dQ

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se
mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a
lo largo de la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria
recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es
ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así
Q es creciente en el instante t si

10. 9
Q es decreciente en el instante t si
La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como
una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón
de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+∆x] es el cociente
x
xfxxf
x
y




 )()(
La razón de cambio instantánea de y con respecto de x es el límite, cuando ∆x→0, de la razón de
cambio promedio. Así, la razón de cambio instantánea de y con respecto de x es
)x´(f
dx
dy
x
y
lim
x



 0
1) Al arrojar una piedra a un estanque de agua tranquila se forman ondas circulares concéntricas
cuyos radios aumentan de longitud al paso del tiempo. Cuando la onda exterior tiene un radio de 3 m,
éste aumenta a una rapidez (velocidad) de 50 cm=s. ¿A qué rapidez (velocidad) aumenta el área del
círculo formado por dicha onda?
Se pide calcular la rapidez (velocidad) a la que está aumentando el área de un círculo, cuando su
radio mide 3 m y la longitud de éste aumenta a razón de 0,5 m/s. Es decir, si consideramos un círculo que
(en cierto instante t ) tiene un radio r(t) y un área A(t), entonces lo que se desea es calcular la velocidad
con que cambia (razón de cambio) el área A(t), cuando el radio r(t)es de 3 m y la razón de cambio del
radio es de 0.5 m/s. Esto es, se pide calcular la derivada cuando r = 3 y cuando

11. 10
El área del círculo es A = πr2
. La razón de cambio de A con respecto al tiempo t se obtiene derivando ambos
miembros con respecto al tiempo:
( )
En el caso particular en que r(t) = 3 m y
Esto es, en el preciso instante en que el radio es de 3 m, éste tiene un cambio de 0.5 m/s y el área tiene un
cambio de 3π m2
/s ≈ 9,4248 m2
/s.
2) Dos barcos salen simultáneamente de un puerto; uno viaja hacia el sur a una velocidad de 30 km/h y el otro
hacia el este a una velocidad de 40 km/h. Después de 2 h ¿cuál es la velocidad de separación de los dos barcos?
Se pide calcular la velocidad a la que se están separando los barcos después de 2 h de haber partido del mismo
puerto. Es decir, si consideramos que z(t) es la distancia que separa a los barcos en cierto instante t , entonces lo que se
desea es calcular la rapidez con que cambia (razón de cambio) la distancia z(t) al paso del tiempo. Esto es, se pide
calcular la derivada cuando el tiempo t transcurrido es de 2 h.
La posición de los barcos después de haber iniciado su desplazamiento es:
( ) ( )
( ) ( )
Entonces:
( ) √

12. 11
Por lo que:
( )
[ ( ) ( ) ]
Luego:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Sustituyendo:
( )
( )
( )
( )
A las 2 horas los barcos se alejan con una rapidez de 50km/h.
x(t)
y(t)
𝑧(𝑡) x(t) y(t)

13. 12La derivada es un concepto muy útil para aplicar a cuestiones
cotidianas, como por ejemplo la variación de la velocidad que
sufre en cada instante de tiempo un maratonista a lo largo de
su carrera. Esto quiere decir que a través de la utilización de las
derivadas es posible calcular exactamente a qué velocidad
corría este maratonista en cada instante de tiempo y saber así
los cambios en su rendimiento.
En la prestigiosa Universidad de Cambridge (Reino Unido) hay un popular puente de madera llamado
el Puente Matemático (Mathematical Bridge), muy fotografiado por los visitantes.
A primera vista, el puente hace honor al nombre, pues en su estructura se observan varias tangentes
a la curva sobre el río, dando una buena plasmación visual de cómo, de izquierda a derecha, las
pendientes van en disminución: al subir el puente (derivadas positivas) y en su descenso (derivadas
negativas), siendo cero en el punto más alto (máximo).
Aunque el nombre y la fama le vienen de una leyenda, según el cual el puente fue construido por Sir
Isaac Newton sin usar tornillos y los estudiantes eran sometidos a una prueba consistente en tener
que reconstruir el puente previamente desmontado.
Pero la cronología desmonta la leyenda: Newton moría en 1727 y el puente fue construido en 1749.
Además, el tamaño y el peso de sus piezas de madera hacen inviable la reconstrucción "a mano".
Una tradición conservada hasta 1909 era la concesión de un premio honorífico al estudiante de
Matemáticas que obtuviera las más altas calificaciones finales. El premio consistía en una cuchara de
madera, de1 m de longitud. Se conservaba un registro de todos los ganadores de la cuchara, siendo
un honor figurar en dicha lista.