Este documento presenta las aplicaciones de las derivadas en la ciencia física. Explica que la derivada mide el cambio rápido de una magnitud y se usa para calcular la velocidad, aceleración y otras cantidades físicas. Por ejemplo, la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, y la aceleración es la derivada de la velocidad. También provee ejemplos como calcular la velocidad de un auto basado en su función de posición.

1. UNIVERSIDAD TECNICA DE MANABI
FACULTAD CIENCIAS INFORMATICA
CARRERA INGIENERIA EN SISTEMAS
Aplicaciones de las Derivadas en la
Ciencia Fisica
 ANGEL ANTONIO MIELES SEGURA
 ROQUE IVAN MACIAS ESPINOZA
 MARIA AUXILIADORA VELEZ MENDOZA
PROF: ING. JOSE
CEVALLOS SALAZAR
SEGUNDO SEMESTRE “C”
ABRIL 2012-SEP.2012

2. TEMA
Aplicaciones de las Derivadas en la Ciencia Fisica
INTRODUCCIÓN
Fue Isaac Newton que estudiando las leyes del movimiento de los planetas que Kepler
había descubierto medio siglo antes, llegó a la idea de incremento de una función como
se nos Ofrece en dos ejemplos; la velocidad y la aceleración de los cuerpos en
movimiento, conceptos básicos de la Dinámica. En el Cálculo Diferencial es
fundamental comprender esta idea de incremento que se Asocia a la noción de derivada
y ha permitido a lo largo de los siglos hallar soluciones a Problemas como determinar la
ecuación de rectas tangentes a una curva y calcular los valores Máximos o mínimos de
las funciones. La derivada expresa la variación de las funciones entre dos puntos muy
cercanos y se Aplica a situaciones físicas como el cálculo de la velocidad de un móvil,
conocida su ley de Movimiento como también a la solución de otros problemas ligados
a economía, demografía, Costos, ingeniería, etc. La interpretación geométrica de la
derivada la identifica como la pendiente de la tangente a una curva en un punto dado,
En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del
cálculo.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos
donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o
situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios
de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.
Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la
derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede
aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos
puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta
secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas
propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales
como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo,
una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical,
una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las
funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva
suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable),
son aproximables linealmente.

3. El otro concepto es la anti derivada o integral; ambos conceptos están relacionados por
el teorema fundamental del cálculo. La derivada de una función en un punto mide el
coeficiente por cual el valor de la función cambia. Es decir, que una derivada provee
una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El Coeficiente de
cambio equivale a decir como de rápido crece (o decrece) una función en un punto a lo
largo del eje X en un plano cartesiano de dos dimensiones, ósea que, en otras palabras,
equivale a la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.
FUNDAMENTACION
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN LA CIENCIAS FÍSICA
En física, las derivadas se aplican en aquellos casos donde es necesario medir la
rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.La velocidad (veloci
dad instantánea; el concepto de la velocidad promedio que prevalece en el cálculo) es la
derivada, con respecto al tiempo, de la posición de un objeto. La aceleración es
la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad de un objeto. La Sobre aceleración o
el tirón es la derivada, con respecto al tiempo, de la aceleración de un objeto.
La Derivada en la física es la pendiente de la recta tangente geométrica a una curva
representativa de una función en un cierto punto. Y función derivada es la familia de
tales valores que forman una función.
Se podrida decir que en la física, como en matemática, al decir que la velocidad es la
DERIVADA de la posición estamos tomando un cociente de incrementos
infinitesimales que representan o se interpretan como la pendiente de la función de
posición a lo largo del tiempo.
A veces se puede usar el concepto de derivar (y por ende del participio femenino
"derivada") como el "deducir" u "obtener a partir de".
Así, podríamos expresar aún en física que la ecuación general de los gases perfectos se
"deriva" de las leyes de Boyle-Mariotte y de Charles- Gay Lussac.
En este caso no es que la ecuación sea la "pendiente" o tasa de cambio de una variable
sino que se "deriva" o "deduce" de las expresiones de aquellas leyes.
Ejemplo:
Si la posición de un objeto está determinada por la ecuación: Entonces la velocidad del
objeto es: La aceleración del objeto es: y el tirón del objeto es: Si la velocidad de un
auto está dada como una función del tiempo, entonces la derivada de dicha función con
respecto al tiempo, describe la aceleración del auto como una función del tiempo.

4. La aceleración es la derivada, con respecto al tiempo, de la velocidad de un
objeto.
La Sobre aceleración o el tirón es la derivada, con respecto al tiempo, de la aceleración de
un objeto.
Por ejemplo
Si la posición de un objeto está determinada por la ecuación
Entonces la velocidad del objeto es
La aceleración del objeto es:
Y el tirón del objeto es
Si la velocidad de un auto está dada como una función del tiempo, entonces la derivada de dicha función
con respecto al tiempo, describe la aceleración del auto como una función del
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (∆e) y el tiempo transcurrido (∆t)

5. Velocidad instantánea
La velocidad instantánea es el límite de la
velocidad media cuando tiende acero, es
decir, la derivada del espacio respecto al
tiempo.
Aceleración instantánea
La aceleración instantánea es la derivada de la
velocidad respecto al tiempo
Por tanto, la aceleración es la derivada segunda del espacio respecto al tiempo
La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.

6. Ejemplo de tiempo
Imaginemos que el número de bacterias de un cultivo varía con el tiempo,
expresado en minutos, según la ecuación N=500+50t-t2 para t[0,35]
¿Cuál es la velocidad de crecimiento de la población en el instante t=7
min?
Hallando la derivada de la función N(t), N'(t) es la velocidad de crecimiento de la
población en cualquier instante t.
En esta escena está representada la función N(t) cuando s=0. Si s=1 se dibuja la
función derivada N'(t). Cambiando el valor de t podrás averiguar la velocidad de
crecimiento en cada instante.
COGER UN AUTOBÚS EN MARCHA
La línea blanca que ves en la siguiente escena, representa el
movimiento de un autobús que arranca de la parada y va, poco a
poco, ganando velocidad.
Las líneas turquesa y verde corresponden a pasajeros que llegan
tarde y corren para coger el autobús en marcha.
El pasajero turquesa llega a la parada 7 segundos después de que saliera el
autobús, y lo alcanza 4 segundos después, 20 metros más allá. Corrió, por tanto, a
20/4=5 m/s. Es decir, a 5*3.6=18km/h
La velocidad del autobús en el instante en que es alcanzado la hallaremos
aproximadamente, estudiando su recorrido desde 1s antes, a 1s después:

7. En el instante 10s está a 17m de la
parada Velocidad media
En el instante 12s está a 25m de la =8m/2s=4m/s=14,4km/h
parada
El viajero turquesa llega a la parada a los 7 seg de haber arrancado el autobús, y el
verde a los 10 seg.
Además de verlo en la gráfica se puede deducir haciendo y=0 en las ecuaciones de
movimiento de cada uno.
y = 0.535 t -3.745 y=0, t=7
y = 0.8 t -8 y=0, t=10
b) El viajero azul se encuentra a 9.5*10=95 metros de la parada cuando arranca el
autobús, y el naranja a 9.6*10=96 m.
Además de verlo en la gráfica se puede deducir haciendo t=0 en las ecuaciones de
movimiento de cada uno.
y = (10/529) t2 - (10/23) t + 9.5 t=0, y=9.5, distancia=10y=95 m
y = 9.6 t=0, o cualquier valor de t, y=9.6, distancia=10y=96 m
c) Resolviendo el sistema entre la ecuación del autobús y la del viajero turquesa
encontraremos que una de las soluciones es t=11 seg, y se puede comprobar en la
escena que es el instante donde se encuentran sus gráficas. O sea, el viajero turquesa
alcanza al autobús a los 11 s de haber arrancado.
Haciendo lo mismo con el viajero verde, obtenemos que alcanza al autobús a los 15 s.
El azul lo alcanza a los 23 s, y el naranja a los 23 s.
d)
Ecuaciones de movimiento del: Derivada=velocidad
Autobús y = (4/225) t2 y' = 2*(4/225)*t=(8/225)*t
Viajero turquesa y = 0.535 t -3.745 y'=0.535
Viajero verde y = 0.8 t -8 y'=0.8
Viajero azul y = (10/529) t2 - (10/23) t + 9.5 y'=(20/529)t-(10/23)
Viajero naranja y = 9.6 y'=0

8. Conclusión
En conclusión diríamos que las aplicaciones de las derivadas en la ciencias física la
podemos aplicar en aquellos casos donde es necesario medir la
rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación es decir la velocidad.
También se dice que la Derivada en la física es la pendiente de la recta tangente
geométrica a una curva representativa de una función en un cierto punto.
Bibliografía:
http://www.slideshare.net/kettyunac/la-derivada-1732683
http://es.scribd.com/doc/56214826/Aplicaciones-de-las-Derivadas-en-Fisica
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivadas_aplicaciones
_optimizacion/pag7.htm