El documento describe la historia de la derivada desde su origen en los estudios de Galileo sobre el movimiento de los cuerpos hasta su desarrollo formal en el cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz en el siglo XVII. Explica que la derivada mide la tasa de cambio instantánea de una función y proporciona ejemplos de su uso para calcular la velocidad y aceleración. También define formalmente la derivada como el límite del cociente de diferencias de una función cuando el cambio de variable tiende a cero.

1. HISTORIA DE LA DERIVADA
Galileo, al describir por vez primera una función que relacionaba el espacio y el
tiempo en la caída de los cuerpos, había dejado abierta la necesidad del Cálculo
Diferencial; el cálculo con derivadas.
La derivada, en general, expresa el ritmo de cambio instantáneo en cualquier
fenómeno funcional.
Pero, cuando se trata de cuerpos en movimiento, esta interpretación es
especialmente precisa e interesante. De hecho, históricamente fue la que dio origen
al estudio de las derivadas.
U En cualquier movimiento, el espacio recorrido s es función del tiempo
transcurrido: s = s (t)
La tasa de variación entre dos instantes t = a y t = b es el espacio recorrido en ese
intervalo de tiempo: s (b) – s (a)
La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como velocidad
media:
Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la velocidad
instantánea:
A este límite se le llama derivada. Es decir: la velocidad instantánea en un
momento dado, es la derivada del espacio como función del tiempo en ese
momento:
Vi (a) = s’(a)
U A su vez, la velocidad cambia a lo largo del tiempo, también es función del
tiempo: vi (t) = s’(t)
La tasa de variación entre dos instantes t = a y t = b es la aceleración
experimentada en ese intervalo de tiempo:

2. A a , b = Vi (b) – Vi (a) = s’ (b) – s’ (a)
La tasa de variación media en ese mismo intervalo es conocida como aceleración
media:
Cuando el intervalo de tiempo [a , b] es infinitesimal, casi cero, ésa es la aceleración
instantánea:
Es decir: la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad como función
del tiempo en un momento dado. Y por ser derivada de una derivada, se dice
que es la derivada segunda del espacio con respecto al tiempo en ese
momento:
Ai (a) = Vi’ (a) = [ s’]’(a) = s”(a)
Ejemplo.- Un movimiento viene dado por la siguiente ecuación: s (t) = 2t2
–
5. Vamos a calcular la velocidad instantánea cuando t = 1 seg.
En este ejemplo, para calcular la derivada no vamos a usar tablas de valores, sino
que razonaremos con expresiones algebraicas. Además, al intervalo de tiempo [1
, b] lo llamaremos [1 , 1 + h]. Será lo mismo decir que b ! 1 o que h ! 0 .
Velocidad media en [1 , 1 + h]:
Velocidad instantánea en t = 1 :
LA LEY DE CAÍDA DE LOS CUERPOS
Volvemos al intento de Galileo por demostrar que todos los cuerpos caen con la
misma aceleración, en el punto donde él no pudo seguir.

3. Si en el primer intervalo de tiempo el espacio recorrido era C, Galileo había
comprobado que:
s (t) = C · t 2
¿Con qué rapidez cambia s(t) ?. Calculemos sus velocidades media e instantánea:
Velocidad media en [t , t + h]:
Velocidad instantánea en t :
Aceleración media en [t ,t + h]:
Aceleración instantánea en t :
En definitiva, Galileo tenía razón: la aceleración de los cuerpos que caen es
constante (2·C).
U Se comprobó que la aceleración de los cuerpos en caída libre, sin rozamientos,
es: g = 9,8 m/seg2
, valor llamadoaceleración de la gravedad
Entonces: g = 2·C Þ C = ½ · g Þ s (t) = ½ · g · t2
es la expresión del espacio recorrido por un cuerpo en caída libre.
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a
plantearse en la época clásica de la antigua Grecia(siglo III a.c), pero no se
encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el
siglo XVII por obra deIsaac Newton y Gottfried Leibniz).

4. En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le
dieron origen:
El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo
diferencial.
Siglo XVII
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los
infinitos: Johannes Kepler y BonaventuraCavalieri fueron los primeros en usarlos,
empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del
cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más
usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los
primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
Newton y Leibniz
Artículos principales: Newton y Leibniz.
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus
predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron
reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos
conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En
1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el
descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su
cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de
fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el
tiempo.
Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en
1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10

5. años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la
derivada como un cociente incremental y no como una velocidad.
Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres
de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada y
el símbolo de la integral ∫.
Conceptos y aplicaciones
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo
infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» ointegral; ambos están
relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos
centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa
las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica,
del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo
Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos
casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de
una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los
estudios de Física, Química yBiología, o en ciencias sociales como la Economía y
la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de ,
se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el
punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la
distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es
decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación,
pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones,
tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por
ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente
vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de
las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es
una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

6. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable),
son aproximables linealmente
Definiciones de derivada
Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una
cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto
como una variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula
determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que
hablamos vendría representado en el punto de la funciónpor el resultado de la
división representada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica,
es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que
representa la tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto
que eltriángulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por

7. mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado
de es siempre el mismo.
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el
acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la
izquierda de manera simultánea.
Definición como cociente de diferencias
Recta secante entre f(x) y f(x+h).
La derivada de una función es la pendiente geométrica de la recta tangente del
gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar
directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque
solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar
la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias
progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma
el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la
pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la
pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.
Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un
número relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño
en , el cual puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los
dos puntos y es:

8. .
Inclinación de la secante de la curva y=f(x).
Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada
de en es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas
secantes se aproximan a la línea tangente:
.
Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada
de como la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .
Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular
directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste
en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la del
denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para
muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas
generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.
http://amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/calculo%20de%20derivadas.pdf