Este documento explica los conceptos básicos de las derivadas, incluyendo sus diferentes tipos como la derivada de una función, derivada algebraica, derivada del producto, derivada del cociente, derivadas exponenciales, derivada inmediata, derivada de suma, derivadas de orden superior, derivada de la función trigonométrica, funciones de derivación implícitas y derivadas trigonométricas inversas. También discute las aplicaciones importantes de las derivadas en física, ingeniería y otras áreas. Finalmente, concluye que las derivadas tienen numeros

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Antonio José de Sucre
Extensión Táchira
DERIVADAS
Amarally Carpio
Matemática Sección A
San Cristóbal, 25 de Julio de 2021

2. Contenido
DERIVADAS............................................................................................................. 3
TIPOS DE DERIVADAS.............................................................................................. 6
Derivada de una función ........................................................................................................ 6
Derivada algebraica............................................................................................................... 6
Derivada del producto ........................................................................................................... 7
Derivada del cociente ............................................................................................................ 7
Derivadas exponenciales........................................................................................................ 7
Derivada inmediata............................................................................................................... 7
Derivada de suma.................................................................................................................. 8
Derivadas de orden superior.................................................................................................. 8
Derivada de la función trigonométrica.................................................................................... 8
Funciones de derivación implícitas......................................................................................... 8
Derivadas trigonométricas inversas ........................................................................................ 9
CONCLUSIÓN .........................................................................................................10
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................11

3. DERIVADAS
La derivada te permite conocer lo sensible que es al cambio una variable con respecto a
otra. Eso resulta muy útil en ciencias (velocidades, aceleraciones, distribuciones que
dependen del tiempo o de la cantidad de materia, son ejemplos sencillos), en ingeniería y en
economía.
También las derivadas expresan la variación de una magnitud en “infinitas cantidades
infinitesimales”.
Matemáticamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta
tangente a dicha recta en dicho punto.
Físicamente, miden la rapidez con la que cambia una variable con respecto a otra.
Por ejemplo: la derivada de la posición de un coche con respecto al tiempo es su velocidad.
Si hay un coche en una autopista, su posición cambiará con el tiempo porque se desplaza
con una determinada velocidad. Digamos que la posición tiene esta ecuación:
x=3tx=3t

4. Dónde xx es la posición que varía con un tiempo tt. En el origen (t=0t=0) , su posición
será x=0x=0. Un segundo después, habrá recorrido tres metros. Dos segundos, 6 metros.
Tres segundos, 9 metros….
La derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad, entonces el coche va a:
v=dxdtv=dxdt
v=ddt(3t)=3m/sv=ddt(3t)=3m/s
En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la razón de
cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función matemática, según se
modifique el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto
local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en
cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna
cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto
dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa
la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto
para todos los momentos. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las
12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar
viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si
entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de

5. 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario
calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta
hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la gráfica de la
mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada
puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada
parcial y el diferencial.
Ejemplos importantes en física son:
Cinemática
 La derivada de la posición con el tiempo es la velocidad
 La derivada de la velocidad con el tiempo es la aceleración
Dinámica
 La derivada del momento lineal con el tiempo es la fuerza
 La derivada de la fuerza con respecto a la posición es la energía (potencial, cinética,
trabajo, etc).
Geometría

6.  La derivada del volumen es la superficie o área
 La derivada de la superficie es la distancia
Electrostática
 La derivada de la carga eléctrica en el tiempo es la intensidad de corriente
Física de Materiales
 La derivada de la masa con respecto a la longitud/superficie/volumen es la densidad
TIPOS DE DERIVADAS
Derivada de una función
La derivada de una función f(x) en un punto x=a se define como el valor del límite, cuando
existe de un cociente incrementado o incremental, si ese incremento que tiene la variable es
similar a cero.
Derivada algebraica
La derivada es la pendiente de una recta tangente a la función de un determinado punto, por
lo que la función tiene que estar en ese punto donde se podrá trazar una recta que es
tangente en él.

7. Derivada del producto
La derivada de un producto en dos funciones es similar al primer factor multiplicado por la
derivada del segundo sumándole el segundo factor y multiplicándolo por la derivada del
primero. Ejemplo(x)=u.v entonces f’(x)=u’.v+u.v’
Derivada del cociente
La derivada que tiene un cociente en dos funciones es similar a la derivada que tiene el
numerador multiplicada por el denominador y menos la derivada que tiene el denominador
por el numerador, dividida entre el cuadrado que tiene el denominador. Ejemplo: si
f(x)=u/v Entonces f’(x)=u’.v –u.v’
Derivadas exponenciales
La derivada de una función que es exponencial es igual a esa misma función por el
logaritmo de la base o neperiano multiplicado por la derivada del exponente. Ejemplo:
f(x)=au entonces f’(x)=u’.au .Ina
Derivada inmediata
La derivada que tiene una constante siempre es cero
Si f(x)= k entonces su derivada será f’(x)=0

8. Derivada de suma
La derivada de la suma que tiene dos funciones es similar a la suma de las demás derivadas
que tienen esas funciones. Esta regla se aplica a números de sumandos tanto positivos como
negativos. Ejemplo: f(x)=u ± v entonces
F”(x)=u” ± v
Derivadas de orden superior
La derivada de cualquier función es derivada de una segunda función cuando si f(X) es una
determinada función y tiene una primera derivada f’(x) si la derivada que tiene la función
que se ha obtenido, cuando se ha aplicado la derivada, se denomina segunda derivada.
Derivada de la función trigonométrica
Es un proceso en matemática mediante el cual una función trigonométrica cambia con
relación a la variable independiente o derivada de una función. Estas funciones de tipo
trigonométrico son sin(x), cos(x) y tan(x).
Funciones de derivación implícitas
Es implícita cuando en una función la y son se encuentra despejada y la relación que se da
entre x e y está dada por una ecuación de dos tipos de incógnitas en las que el segundo
miembro es cero.

9. Para encontrar la derivación implícita no se necesita despejar y solo tienes que derivar
miembro a miembro. Ejemplo: x1=1, entonces y1≠1. Se omite x1 y se deja y1.
Derivadas trigonométricas inversas
Son las funciones inversas a las razones de trigonometría definidas por el seno, coseno y la
tangente. Ejemplo: El arco seno tiende a ser una función inversa del seno.

10. CONCLUSIÓN
La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida diaria, con la derivada se puede calcular:
con la derivada implica se calcula la “razón de cambio” o en palabras más simples,
velocidad. También nos ayuda a encontrar valores máximos y mínimos para problemas
físicos reales (bajo el mismo principio de razón de cambio). También es empleada en la
construcción de un edificio…con una función que relacione los costos del edificio con el
tamaño del mismo. Muchas son las aplicaciones de la derivada en profesiones como la
ingeniería, la economía, la administración etc.
Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas las materias que se basan
en ella como estática, cinemática, calor, mecánica, ondas, corriente eléctrica, magnetismo,
etc. Aplicable también en la economía para hallar valores mínimos y máximos los cuales
son importantes para proyectar en economía. Sirven para explicar el comportamiento de la
curva de una función trigonométrica. Es decir tiene un numero sin fin de aplicaciones en las
cuales toma un papel importante

11. BIBLIOGRAFIA
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Derivada_de_una_funcion/
Derivada_de_una_funcion.htm
https://www.tusclases.pe/blog/tabla-derivadas-integrales