El documento describe el Teorema Fundamental del Álgebra. Este teorema establece que todo polinomio de grado n tiene exactamente n raíces complejas, y que si un polinomio real tiene una raíz compleja a + bi, también tendrá la raíz conjugada a - bi. El documento luego demuestra estas propiedades usando propiedades de números complejos como conjugación y operaciones con números complejos.

1. Teorema fundamental del álgebra

2. Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece el número
y tipo de raíces para un polinomio.

3. Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece el número
y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema
también obtenemos los siguientes enunciados acerca de
factorizar polinomios reales.

4. El Teorema Fundamental del Álgebra:
Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece el número
y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema
también obtenemos los siguientes enunciados acerca de
factorizar polinomios reales.

5. El Teorema Fundamental del Álgebra:
I. Sea P(x) un polinomio de grado n. Entonces P(x) tiene
exactamente n raices complejas, contando gradoes.
Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece el número
y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema
también obtenemos los siguientes enunciados acerca de
factorizar polinomios reales.

6. El Teorema Fundamental del Álgebra:
I. Sea P(x) un polinomio de grado n. Entonces P(x) tiene
exactamente n raices complejas, contando gradoes.
II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz.
Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece el número
y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema
también obtenemos los siguientes enunciados acerca de
factorizar polinomios reales.

7. El Teorema Fundamental del Álgebra:
I. Sea P(x) un polinomio de grado n. Entonces P(x) tiene
exactamente n raices complejas, contando gradoes.
II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz.
Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece el número
y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema
también obtenemos los siguientes enunciados acerca de
factorizar polinomios reales.
La demostración del enunciado I está más allá del
propósito de este curso.

8. El Teorema Fundamental del Álgebra:
I. Sea P(x) un polinomio de grado n. Entonces P(x) tiene
exactamente n raices complejas, contando gradoes.
II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz.
Teorema fundamental del álgebra
El teorema fundamental del álgebra establece el número
y tipo de raíces para un polinomio. De este teorema
también obtenemos los siguientes enunciados acerca de
factorizar polinomios reales.
La demostración del enunciado I está más allá del
propósito de este curso, así que sólo demostraremos el
enunciado II. Pero necesitamos algunas reglas sobre
conjugados.

9. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra

10. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.

11. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
Si z = 3, entonces z* = 3.

12. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:

13. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.

14. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Para demostrar el inciso a, denotemos z1 = a + bi y
z2 = c + di
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.

15. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Para demostrar el inciso a, denotemos z1 = a + bi y
z2 = c + di, entonces z1 = a – bi y z2 = c – di.
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.
* *

16. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Para demostrar el inciso a, denotemos z1 = a + bi y
z2 = c + di, entonces z1 = a – bi y z2 = c – di.
Por lo tanto (z1 + z2) = [(a + bi) + (c + di)]* *
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.
* *

17. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Para demostrar el inciso a, denotemos z1 = a + bi y
z2 = c + di, entonces z1 = a – bi y z2 = c – di.
Por lo tanto (z1 + z2) = [(a + bi) + (c + di)]
= a + c – (b + d)i =
* *
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.
* *

18. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Para demostrar el inciso a, denotemos z1 = a + bi y
z2 = c + di, entonces z1 = a – bi y z2 = c – di.
Por lo tanto (z1 + z2) = [(a + bi) + (c + di)]
= a + c – (b + d)i =
* *
z1 + z2.* *
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.
* *

19. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Para demostrar el inciso a, denotemos z1 = a + bi y
z2 = c + di, entonces z1 = a – bi y z2 = c – di.
Por lo tanto (z1 + z2) = [(a + bi) + (c + di)]
= a + c – (b + d)i =
* *
z1 + z2.* *
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.
* *
Análogamente podemos demostrar el inciso b .

20. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Para demostrar el inciso a, denotemos z1 = a + bi y
z2 = c + di, entonces z1 = a – bi y z2 = c – di.
Por lo tanto (z1 + z2) = [(a + bi) + (c + di)]
= a + c – (b + d)i =
* *
z1 + z2.* *
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.
* *
Análogamente podemos demostrar el inciso b .
Del inciso b, tenemos que

21. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Para demostrar el inciso a, denotemos z1 = a + bi y
z2 = c + di, entonces z1 = a – bi y z2 = c – di.
Por lo tanto (z1 + z2) = [(a + bi) + (c + di)]
= a + c – (b + d)i =
* *
z1 + z2.* *
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.
* *
(az) = a z donde a es un número real pues a = a.**c. *
Análogamente podemos demostrar el inciso b .
Del inciso b, tenemos que

22. Sea z* el complejo conjugado de z.
Teorema fundamental del álgebra
Por ejemplo, si z = 3 – 2i entonces z* = 3 + 2i.
(z1 + z2) = z1 + z2.* **a.
(z1z2) = z1 z2.* **
Para demostrar el inciso a, denotemos z1 = a + bi y
z2 = c + di, entonces z1 = a – bi y z2 = c – di.
Por lo tanto (z1 + z2) = [(a + bi) + (c + di)]
= a + c – (b + d)i =
* *
z1 + z2.* *
Si z = 3, entonces z* = 3.
Algunas de las propiedades más importantes son:
b.
* *
(az) = a z donde a es un número real pues a = a.**c. *
(z )n = (zn) para todo número complejo z.**d.
Análogamente podemos demostrar el inciso b .
Del inciso b, tenemos que

23. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Teorema fundamental del álgebra

24. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Teorema fundamental del álgebra

25. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
un polinomio real y z una raíz de P(x).
Teorema fundamental del álgebra

26. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
un polinomio real y z una raíz de P(x).
Entonces si P(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + a0 = 0,
Teorema fundamental del álgebra

27. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
un polinomio real y z una raíz de P(x).
Entonces si P(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + a0 = 0,
P(z*) = an (z*)n + an-1(z*)n-1 + … + a1z* + a0
Teorema fundamental del álgebra

28. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
un polinomio real y z una raíz de P(x).
Entonces si P(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + a0 = 0,
P(z*) = an (z*)n + an-1(z*)n-1 + … + a1z* + a0
= an (zn)* + an-1(zn-1)* + … + a1z* + a0 por d
Teorema fundamental del álgebra

29. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
un polinomio real y z una raíz de P(x).
Entonces si P(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + a0 = 0,
P(z*) = an (z*)n + an-1(z*)n-1 + … + a1z* + a0
= an (zn)* + an-1(zn-1)* + … + a1z* + a0 por d
= (an zn)* + (an-1zn-1)* + … + (a1z)* + a0 por c
Teorema fundamental del álgebra

30. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
un polinomio real y z una raíz de P(x).
Entonces si P(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + a0 = 0,
P(z*) = an (z*)n + an-1(z*)n-1 + … + a1z* + a0
= an (zn)* + an-1(zn-1)* + … + a1z* + a0 por d
= (an zn)* + (an-1zn-1)* + … + (a1z)* + a0 por c
= (an zn + an-1zn-1 + … + a1z + a0)* por a
Teorema fundamental del álgebra

31. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
un polinomio real y z una raíz de P(x).
Entonces si P(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + a0 = 0,
P(z*) = an (z*)n + an-1(z*)n-1 + … + a1z* + a0
= an (zn)* + an-1(zn-1)* + … + a1z* + a0 por d
= (an zn)* + (an-1zn-1)* + … + (a1z)* + a0 por c
= (an zn + an-1zn-1 + … + a1z + a0)* por a
= (P(z))*
Teorema fundamental del álgebra

32. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
un polinomio real y z una raíz de P(x).
Entonces si P(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + a0 = 0,
P(z*) = an (z*)n + an-1(z*)n-1 + … + a1z* + a0
= an (zn)* + an-1(zn-1)* + … + a1z* + a0 por d
= (an zn)* + (an-1zn-1)* + … + (a1z)* + a0 por c
= (an zn + an-1zn-1 + … + a1z + a0)* por a
= (P(z))* = (0)* = 0.
Teorema fundamental del álgebra

33. II. Si P(x) es un polinomio real, entonces sus raíces
complejas se presentan en pares, es decir, si a + bi es
una raíz entonces a – bi también será una raíz
Ahora estamos listos para demostrar que:
Demostración:
Sea P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
un polinomio real y z una raíz de P(x).
Entonces si P(z) = anzn + an-1zn-1 + … + a1z + a0 = 0,
P(z*) = an (z*)n + an-1(z*)n-1 + … + a1z* + a0
= an (zn)* + an-1(zn-1)* + … + a1z* + a0 por d
= (an zn)* + (an-1zn-1)* + … + (a1z)* + a0 por c
= (an zn + an-1zn-1 + … + a1z + a0)* por a
= (P(z))* = (0)* = 0. Por lo tanto z* también es raíz.
Teorema fundamental del álgebra

34. Generando ecuaciones reales de 2o grado
Recordando las propiedades vistas anteriormente
para z = a + bi y z* = a – bi:
z + z* = (a + bi) + (a – bi) = 2a
z(z*) = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2
Un polinomio real de grado 2 con raíces conjugadas
z = a + bi y z* = a – bi es:
(x – z)(x – z*) = x2 – (z + z*)x + z*z*
= x2 – (2a)x + (a2 + b2)
Ejemplo A. a. Encuentra un polinomio real de
grado 2 con raíces z = 3 + 2i y z* = 3 – 2i.
z + z* = 2a = 6 y z(z*) = a2 + b2 = 13
Así que un polinomio con z y z* como raíces es
(x – z)(x – z*) = x2 – (z + z*)x + z*z* = x2 – 6x + 13
Teorema fundamental del álgebra

35. El polinomio de grado 2 de la forma
k(x – z)(x – z*)
donde k ≠ 0 es un número real, también tiene a z y z*
como raíces.
Ejemplo A. b. Encuentra el polinomio Q(x) de grado 2
con raíces z = 3 + 2i y z* = 3 – 2i tal que Q(1) = 2.
De a.
Q(x) = k(x – z)(x – z*) = k(x2 – 6x + 13)
Puesto que Q(1) = k(x2 – 6x + 13)
= k((1)2 – 6(1) + 13) = 2
Entonces 8k = 2 o k = 1/4.
Así que Q(x) = ¼ (x2 – 6x + 13),
es la ecuación específica que cumple la condición
Q(1) = 2.
Teorema fundamental del álgebra

36. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
Teorema fundamental del álgebra

37. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r).
Teorema fundamental del álgebra

38. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r).
b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de
su conjugado z*, proveniente de un polinomio real
irreducible de segundo grado.
Teorema fundamental del álgebra

39. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r).
b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de
su conjugado z*, proveniente de un polinomio real
irreducible de segundo grado. Resumiendo tenemos:
Teorema fundamental del álgebra

40. Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r).
b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de
su conjugado z*, proveniente de un polinomio real
irreducible de segundo grado. Resumiendo tenemos:
Teorema de factorization de polinomios reales
Teorema fundamental del álgebra

41. es decir P(x) = A(x – #)(x – #)..(x2 + #x + #)(x2 + #x + #)...
Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r).
b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de
su conjugado z*, proveniente de un polinomio real
irreducible de segundo grado. Resumiendo tenemos:
Teorema de factorization de polinomios reales
Sea P(x) = Axn +… un polinomio real, entonces
P(x) = AL1(x)L2(x)..Q1(x)Q2(x)..
Teorema fundamental del álgebra

42. es decir P(x) = A(x – #)(x – #)..(x2 + #x + #)(x2 + #x + #)...
Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r).
b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de
su conjugado z*, proveniente de un polinomio real
irreducible de segundo grado. Resumiendo tenemos:
Teorema de factorization de polinomios reales
Sea P(x) = Axn +… un polinomio real, entonces
P(x) = AL1(x)L2(x)..Q1(x)Q2(x).. donde cada Li(x) es de
la forma lineal (x – ri) con ri un número real,
Teorema fundamental del álgebra

43. es decir P(x) = A(x – #)(x – #)..(x2 + #x + #)(x2 + #x + #)...
Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r).
b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de
su conjugado z*, proveniente de un polinomio real
irreducible de segundo grado. Resumiendo tenemos:
Cada factor generan una raíz real.
Teorema de factorization de polinomios reales
Sea P(x) = Axn +… un polinomio real, entonces
P(x) = AL1(x)L2(x)..Q1(x)Q2(x).. donde cada Li(x) es de
la forma lineal (x – ri) con ri un número real,
Teorema fundamental del álgebra

44. es decir P(x) = A(x – #)(x – #)..(x2 + #x + #)(x2 + #x + #)...
Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r).
b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de
su conjugado z*, proveniente de un polinomio real
irreducible de segundo grado. Resumiendo tenemos:
Cada factor generan una raíz real.
Teorema de factorization de polinomios reales
Sea P(x) = Axn +… un polinomio real, entonces
P(x) = AL1(x)L2(x)..Q1(x)Q2(x).. donde cada Li(x) es de
la forma lineal (x – ri) con ri un número real, y cada
Qi(x) es una ecuación cuadrática real irreducible,
Teorema fundamental del álgebra

45. es decir P(x) = A(x – #)(x – #)..(x2 + #x + #)(x2 + #x + #)...
Un polinomio real P de grado n tiene exactamente n
raíces, reales o imaginarias.
a. Una raíz real r de P debe provenir de un factor (x – r).
b. Una raíz compleja z siempre viene acompañada de
su conjugado z*, proveniente de un polinomio real
irreducible de segundo grado. Resumiendo tenemos:
Cada factor generan una raíz real.
Cada factor genera un par de raíces
conjugadas.
Teorema de factorization de polinomios reales
Sea P(x) = Axn +… un polinomio real, entonces
P(x) = AL1(x)L2(x)..Q1(x)Q2(x).. donde cada Li(x) es de
la forma lineal (x – ri) con ri un número real, y cada
Qi(x) es una ecuación cuadrática real irreducible,
Teorema fundamental del álgebra

46. Ejemplo B.
Factoriza 3x6 – 192 y enlista todas sus raíces.
Teorema fundamental del álgebra

47. Ejemplo B.
Factoriza 3x6 – 192 y enlista todas sus raíces.
3x6 – 192 = 3(x6 – 64)
Teorema fundamental del álgebra

48. Ejemplo B.
Factoriza 3x6 – 192 y enlista todas sus raíces.
3x6 – 192 = 3(x6 – 64)
= 3(x3 – 8)(x3 + 8)
Teorema fundamental del álgebra

49. Ejemplo B.
Factoriza 3x6 – 192 y enlista todas sus raíces.
3x6 – 192 = 3(x6 – 64)
= 3(x3 – 8)(x3 + 8)
= 3(x – 2)(x2 + 2x +4)(x + 2)(x2 – 2x + 4)
Teorema fundamental del álgebra

50. Ejemplo B.
Factoriza 3x6 – 192 y enlista todas sus raíces.
3x6 – 192 = 3(x6 – 64)
= 3(x3 – 8)(x3 + 8)
= 3(x – 2)(x2 + 2x +4)(x + 2)(x2 – 2x + 4)
(x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2.
Teorema fundamental del álgebra

51. Ejemplo B.
Factoriza 3x6 – 192 y enlista todas sus raíces.
3x6 – 192 = 3(x6 – 64)
= 3(x3 – 8)(x3 + 8)
= 3(x – 2)(x2 + 2x +4)(x + 2)(x2 – 2x + 4)
(x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2.
(x2 + 2x +4) y (x2 – 2x + 4) son ecuaciones cuadráticas
irreducibles con raíces conjugadas complejas.
Teorema fundamental del álgebra

52. Ejemplo B.
Factoriza 3x6 – 192 y enlista todas sus raíces.
3x6 – 192 = 3(x6 – 64)
= 3(x3 – 8)(x3 + 8)
= 3(x – 2)(x2 + 2x +4)(x + 2)(x2 – 2x + 4)
(x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2.
(x2 + 2x +4) y (x2 – 2x + 4) son ecuaciones cuadráticas
irreducibles con raíces conjugadas complejas.
Las raíces de x2 + 2x + 4 son x = -2 ±-12
2
Teorema fundamental del álgebra

53. Ejemplo B.
Factoriza 3x6 – 192 y enlista todas sus raíces.
3x6 – 192 = 3(x6 – 64)
= 3(x3 – 8)(x3 + 8)
= 3(x – 2)(x2 + 2x +4)(x + 2)(x2 – 2x + 4)
(x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2.
(x2 + 2x +4) y (x2 – 2x + 4) son ecuaciones cuadráticas
irreducibles con raíces conjugadas complejas.
Las raíces de x2 + 2x + 4 son x = = -1 ± i3-2 ±-12
2
Teorema fundamental del álgebra

54. Ejemplo B.
Factoriza 3x6 – 192 y enlista todas sus raíces.
3x6 – 192 = 3(x6 – 64)
= 3(x3 – 8)(x3 + 8)
= 3(x – 2)(x2 + 2x +4)(x + 2)(x2 – 2x + 4)
(x – 2) y (x + 2) generan las raíces x = 2 y –2.
(x2 + 2x +4) y (x2 – 2x + 4) son ecuaciones cuadráticas
irreducibles con raíces conjugadas complejas.
Las raíces de x2 + 2x + 4 son x = = -1 ± i3-2 ±-12
2
Las raíces de x2 – 2x + 4 son x = = 1 ± i32 ±-12
2
Teorema fundamental del álgebra

55. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
Teorema fundamental del álgebra

56. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
Teorema fundamental del álgebra

57. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
i + (-i) = 0, i * (-i) = 1,
Teorema fundamental del álgebra

58. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática
con raíces i, -i es (x2 + 1).
Teorema fundamental del álgebra

59. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática
con raíces i, -i es (x2 + 1).
(2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5,
Teorema fundamental del álgebra

60. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática
con raíces i, -i es (x2 + 1).
(2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la
cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x2 – 4x + 5).
Teorema fundamental del álgebra

61. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática
con raíces i, -i es (x2 + 1).
(2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la
cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x2 – 4x + 5).
Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x2 + 1)(x2 – 4x + 5) para
alguna constante k.
Teorema fundamental del álgebra

62. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática
con raíces i, -i es (x2 + 1).
(2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la
cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x2 – 4x + 5).
Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x2 + 1)(x2 – 4x + 5) para
alguna constante k. Pero P(0) = 10
Teorema fundamental del álgebra

63. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática
con raíces i, -i es (x2 + 1).
(2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la
cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x2 – 4x + 5).
Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x2 + 1)(x2 – 4x + 5) para
alguna constante k. Pero P(0) = 10 = k(0 – 1)(0 + 1)(0
– 0 + 5) = -5k
Teorema fundamental del álgebra

64. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática
con raíces i, -i es (x2 + 1).
(2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la
cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x2 – 4x + 5).
Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x2 + 1)(x2 – 4x + 5) para
alguna constante k. Pero P(0) = 10 = k(0 – 1)(0 + 1)(0
– 0 + 5) = -5k, así que k = -2.
Teorema fundamental del álgebra

65. Ejemplo C.
Dado que x = 1, i , 2 – i son raíces de un polinomio
P(x) real de grado 5 y P(0) = 10, encuentra P(x).
P(x) es un polinomio real, así que las raíces complejas
se presentan en pares y entonces tenemos que x = i, -i
, (2 – i), (2 + i).
i + (-i) = 0, i * (-i) = 1, así que la ecuación cuadrática
con raíces i, -i es (x2 + 1).
(2 + i) + (2 – i) = 4, (2 + i) * (2 – i) = 5, así que la
cuadrática con raíces (2 + i), (2 – i) es (x2 – 4x + 5).
Por lo tanto P(x) = k(x – 1)(x2 + 1)(x2 – 4x + 5) para
alguna constante k. Pero P(0) = 10 = k(0 – 1)(0 + 1)(0
– 0 + 5) = -5k, así que k = -2.
Por lo tanto P(x) = -2(x – 1)(x2 + 1)(x2 – 4x + 5).
Teorema fundamental del álgebra

66. Teorema Fundamental del Álgebra
Ejercicio A. Factoriza los siguientes polinomios en factores
reales e indica todas las raíces reales y complejas.
1. x3 – 1 2. x3 – 8 3. 8x3 + 27 4. 27x3 + 125
5. x4 – 16 6. 16x4 – 81
11. x6 + 1 12. x6 – 1
7. x4 – x2 – 2 8. 4x4 + 3x2 – 1
9. x4 + 3x2 + 2 10. 3x4 + 4x2 + 1
B. Dadas las siguientes raíces y condiciones iniciales,
encuentra el polinomio real P(x) que las satisface.
1. raíces: x = 1 + i, grado 2 con P(0) = 5.
2. raíces: x = 2 – i, grado 2 con P(0) = –2.
3. raíces: x = 2, 1 + 3i, grado 3 con P(1) = –4.
4. raíces: x = –1, 2 – i, grado 3 con P(–1) = 3.
5. raíces: x = –2 + i , 1 + 2i, grado 4 con P(1) = –3.
6. raíces: x = –1 – i , 3 + i, grado 4 con P(–1) = 1.

67. Teorema Fundamental del Álgebra
B. Dadas las siguientes raíces y condiciones iniciales,
encuentra el polinomio real P(x) que las satisface.
7. raíces: x = 0 (ord = 2), i, grado 4, P(1) = 2.
8. raíces: x = 1, 1 + i, (ord = 2), grado 5, P(2) = 1.
9. raíces: x = –1, 2, i – 2 (ord = 2), grado 6, P(1) = 2.
10. raíces: x = 1 (ord = 2), i√2 (ord = 2), grado 6, P(–1) = 2.
11. raíces: x = 0, –1, –2 + i√3, grado 4, P(1) = 1.
12. raíces: x = 0 (ord = 2), 3 + i√5 (ord = 2), grado 6, P(1) = 2.
13. ¿Qué se puede concluir del Teorema Fundamental del
Álgebra acerca de las raíces de polinomios con únicamente
grados pares de x’s? ¿únicamente grados impares?

68. Teorema Fundamental del Álgebra
Ejercicio A.
1. (x – 1)(x2 + x +1), x = 1, (–1)2/3, –√–1
3. (2x + 3)(4x2 – 6x + 9), x = - , (1 – √3 i), (1 + √3 i)
5. (x – 2)(x + 2)(x2 + 4), x = – 2, 2, –2i, 2i
11. (x2 +1)(x2 + √3x + 1)(x2 – √3x + 1), x = – i, i, –(–1), –√–1, √–1
7. (x2 + 1)(x2 – 2), x = –√2, √2, – i, i
9. (x2 + 2)(x2 +1), x = –√2 i, √2 i, – i, i
Ejercicio B.
1. (x2 – 2x + 2) 3. (x3 – 4x2 + 14x – 20)
5. – (x4 + 2x3 + 2x2 + 10x + 25)
3
3
2
3
4
3
4
5/6 6 6
5
2
4
9
3
40
7. x4 – x2
9. ( + )(x6 – x5 – 16x4 + 14x3 + 53x2 – 25x – 503
100
i
25
+ i(– 4x5 + 4x4 + 28x3 – 20x2 – 40x))

69. Teorema Fundamental del Álgebra
11. (x4 + 5x3 + 11x2 + 7x)1
24