El documento trata sobre el tema de la derivada de funciones de una variable real. Se define la derivada, se explican conceptos como derivadas laterales, derivadas infinitas y puntos angulosos. También se presentan teoremas como el de Rolle, Lagrange y L'Hospital y fórmulas para derivar funciones elementales, compuestas e implícitas. Finalmente, se explican conceptos como la ecuación de la tangente, extremos relativos, concavidad y polinomios de Taylor.

1. CALCULO 1
Prof. Lic. Silvana R. Anahi Ibáñez

2. 3.- DERIVADA DE FUNCIONES
DE UNA VARIABLE REAL
– Definición. Existencia y unicidad. Significado
geométrico. Derivada de orden superior.
– Teoremas Rolle, Lagrange o Valor medio,
Cauchy y L’Hospital.
– Derivada de las funciones elementales directas
e inversa, de funciones compuestas.
– Derivadas de las funciones implícitas.

3. – Ecuación de la tangente y de la normal. Teoremas.
– Análisis de curvas planas. Puntos críticos: extremos
relativos y puntos de inflexión.
– Teoremas de máximos y mínimos. Simetría.
Aplicaciones de máximos y mínimos
– Concavidad y convexidad. Definición. Teoremas.
Asíntotas. Definición. Clasificación.
– Diferencial de funciones de una variable real.
Definición. Interpretación geométrica.
– Diferencial de segundo orden. Definición.
– Polinomios de Taylor y Maclaurin. Fórmulas de resto
de Lagrange

4. El concepto de derivada está relacionado con el problema de obtener la recta
tangente a la curva, que representa la grafica de la función f(x), en un punto
(a , f(a)).
Sea f definida en un entorno del punto a, se dice que f es derivable en a si el
siguiente limite existe y es real
h 0 x a
f(a +h)-f(a) f(x)-f(a)
lim = lim
h x -a
→
→
A este límite se le llama derivada de f en el punto a y se representa por f´(a).
Derivabilidad
Derivadas

5. Al definirse la derivada mediante un límite, tienen sentido las definiciones de
derivadas laterales.
Al número + +
´ +
h 0 x a
f(a +h)-f(a) f(x)-f(a)
f (a ) = lim = lim
h x-a 
en caso de existir se llama derivada a la derecha en el punto a.
Análogamente, al número - -
´ -
h 0 x a
f(a +h)-f(a) f(x)-f(a)
f (a ) = lim = lim
h x-a 
en caso de existir, se le llama derivada a la izquierda en el punto a.

6. Derivabilidad
Derivadas
Aplicando la condición de existencia de límite se tiene la siguiente propiedad:
La derivada f´(a) de una función f en un punto a existe si y sólo si existen las
derivadas laterales, son finitas y coinciden.
Ejercicios
Estudiar la derivabilidad de la función
1
xsen( ), si x 0
f(x)= x
0, si x=0




en el punto a=0.

7. Derivabilidad
Derivadas
Estudiemos ahora el significado geométrico de la derivada.
Sea la curva y = f(x), y en ella los puntos A(a, f(a)) y B(a+h, f(a+h)); la recta
secante AB tiene por pendiente
f(a+h)-f(a)
h
, cuando h 0 , la recta secante AB
tiende a la recta tangente en A; luego si una curva admite recta tangente en un
punto, su pendiente debe coincidir con el valor de la derivada en dicho punto.
Luego admitimos que la existencia de tangente geométrica en un punto equivale a
la a la existencia de derivada en dicho punto.
f´(a) = tg 
tg  tg, cuando
h 0


tg  =(f(a+h)-f(a))/h
a a + h
B
y = f(x)
 
y
x
f(a)
f(a+h)
A

8. NOTACIÓN PARA LA DERIVADA DE
UNA FUNCIÓN

9. Derivabilidad
Derivadas
La ecuación de la recta tangente en el punto A(a, f(a)) es
y – f(a) = f´
(a)(x-a).
Luego la ecuación de la recta normal (perpendicular a la tangente en el mismo
punto) en A(a, f(a)) es
y – f(a) =
-1
f´(a)
(x-a) , si f´(a) 0 .
y = f(x)
A
Normal en A
Tangente en A
y
x

10. Derivabilidad
Derivada infinita
Si el límite que define la derivada existe pero es infinito, se dice que f tiene
derivada infinita en a, es decir, si f´
(a) = +∞ o si f´(a) = -∞, entonces decimos que en
x = a, la curva y = f(x) tiene tangente vertical en x = a.
Así, por ejemplo la función f(x) = 3
x , tiene derivada +∞ en x = 0.
y = 3
x

11. Derivadas
La función f(x) =- 3
x ,tiene derivada -∞ en x = 0.
3
y=- x
Derivabilidad

12. Derivabilidad
Derivadas
La función f(x) = 3 2
x , tiene derivada por la izquierda -∞, y derivada por la
derecha +∞.
3 2
y= x

13. Derivabilidad
Derivadas
Si ocurre, como en el ultimo ejemplo, f´(a-
) = -∞ y f´(a+
) = +∞, o bien, f´(a-
) = +∞ y
f´(a+
) = -∞, decimos que la fución f tiene un punto de retroceso en x = a.
Si en un punto a donde la función es continua existen las derivadas laterales finitas
y distintas, la grafica de f presenta un pico en el punto x = a y se dice que (a, f(a)) es
un punto anguloso, por ejemplo, la función f(x) = |x2
-4|, presenta puntos angulosos
para x = 2, x = -2.
y = |x2-4|

14. Derivabilidad
Derivadas
Ejercicios
1) Obtener las derivadas laterales de la función
f(x) = |x2
-4|, en los puntos x = 2, x = -2.
2) Estudiar la derivabilidad en x = 0 de la función
1
0
1
0 0
x
x
, si x
f(x)
, si x
e


  



15. Derivabilidad
Derivadas
La derivabilidad implica la continuidad, es decir,
si f es derivable en a, también es continua en a.
El reciproco no es cierto, como se puede
comprobar, por ejemplo, con la función f(x) =|x|,
en x = 0.

16. Derivabilidad
Derivadas
Teorema
Si f y g son funciones derivables en el punto a y c R, entonces tambien son
derivables en a las funciones f+g, cf, fg y se cumple:
(f+g)´(a) = f´(a) + g´(a)
(cf)´(a) = cf´(a)
(fg)´(a) = f´(a)g(a) + f(a)g´(a)
Si tambien se tiene g(a)  0 entonces también
f
g
es derivable en a y
  2
´
f´(a)g(a)-f(a)g´(a)f
(a)=
(g(a))g
Luego las funciones polinómicas son derivables en cualquier punto y las funciones
racionales son derivables en los puntos donde el denominador no se anula.

17. Derivabilidad
Derivadas
Teorema
Si f es una función derivable en a y g es derivable en f(a),
entonces la función compuesta es derivable en a y
(g o f)´(a) = g´(f(a))f´(a)
Como consecuencia de esta fórmula se obtiene el siguiente
resultado para la derivada de la función inversa:
Si f es derivable en a, siendo f´(a)  0, y existiendo f-1
, entonces
f-1
es derivable en f(a) y se verifica
(f-1
)´(f(a)) = 1
f´(a)

18. Derivabilidad
Derivadas
Otra aplicación útil de la regla de la cadena es la llamada “derivación
logarítmica”, que se emplea para derivar funciones de la forma h(x) = (f(x))g(x)
,
con f y g derivables en a y f(x)>0 en cierto entorno de a, tomando logaritmos y
derivando, para, finalmente despejar h´(a).
Ejercicio
Aplicando la derivación logarítmica, obtener las derivadas de:
1) f(x) = (x2
+7)tg x
2) g(x) = [cos (2x)]arcsen x

19. Recordemos ahora el concepto de función
derivada: si f es una función derivable en un
conjunto A, se dice que f es derivable en A si lo es
en cada uno de sus puntos.
Si f es derivable en A, la función que en cada
punto x de A toma el valor f´(x) se llama función
derivada de f y se simboliza por f´.

20. Derivabilidad
Derivadas
Utilizando las propiedades de la derivada, se puede obtener la siguiente lista de
funciones derivables en su dominio con sus funciones derivadas:
1) (k)´= 0, k  R 2) (x)´= 1
3) (xk
)´ = kxk-1
, k R 4) (log x)´=
1
x
5) (ax
)´= ax
log a 6) (sen x)´= cos x
7) (cos x)´= - sen x 8) (tg x)´= 1+tg2
x =
1
2
cos x
9) (arcsen x)´=
2
1
1 x
10) (arcos x)´= -
2
1
1 x
11) (arctg x)´= 2
1
1 x

21. Derivabilidad
Derivadas (en forma implícita)
Consideremos la ecuación x2
+y2
= 25, que representa una
circunferencia, “y” no está en forma explícita (despejada),
aunque podemos despejarla y obtenemos:
y = 2
25 x 
que representa dos funciones: y(x) = 2
25 x , y(x) = 2
25 x  ,
que vienen definidas “implícitamente” (sin despejar) por la
ecuación x2
+y2
= 25. La primera función corresponde a la
semicircunferencia situada por encima del eje OX, y la otra a
la semicircunferencia inferior. Si queremos obtener la
pendiente de la tangente en un punto de la curva, podemos
derivar una de las funciones anteriores (la que corresponda al
punto en cuestión) por ejemplo si es el punto ( 21 ,2 ),
derivamos: y = 2
25 x
obteniendo y´(x) = 2
x
25-x

 y´( 21 ) = 21 21
225 21
 


.

22. Se podría haber obtenido y´de forma mas facil: derivando
“implícitamente”, es decir, derivando directamente en la
ecuación sin despejar “y” considerada como función de x:
x2
+y2
= 25
derivando ambos lados  2x+2yy´ = 0  y´= x
y

, con lo que
sustituyendo se obtiene el mismo resultado anterior. Hay que
hacer notar que y´ se obtiene en función de x e y.
Este procedimiento consistente en derivar los dos lados de una
ecuación con respecto a x despejando a continuación y´ se
denomina derivación implícita.
Derivabilidad
Derivadas (en forma implicita)

23. Ejercicio
Calcular y´(x) sabiendo que se verifica
x2
+y3
-2y = 3.
Obtener también las ecuaciones de la tangente y
la normal a la curva ,que define la ecuación dada,
en el punto (2, 1).

24. Aplicando la derivación reiteradamente, se obtienen las derivadas sucesivas .
Si f es derivable en a, y si a su vez, la función f´es derivable en a, a la derivda de f´
en a se le llama derivada segunda de f en a, que se denota f´´(a), verificándose por
tanto
f´´(a) =
0h
f´(a+h)-f´(a)
lim
h
dicho límite debe existir y ser finito.
Si f está definida en A, de forma que para cada x de A existe f´´(x), entonces a la
función que a cada x asigna f´´(x), se le llama derivada segunda de f, y se simboliza
por f´´.
Análogamente se definen las derivadas terceras, cuartas, quintas, …y en general la
derivada n-ésima f(n
:
Si f es n-1 veces derivable en a, definimos
f(n
(a) =
0
(n-1 (n-1
h
f (a+h)-f (a)
lim
h
siempre que el límite anterior exista y sea finito.
Hay funciones que son indefinidamente derivables, como por ejemplo: las
funciones seno, coseno, polinómicas y exponenciales.
Derivabilidad
Derivadas (derivación sucesiva)

25. Ejercicio
Estudiar la derivabilidad de la siguiente función f así como la continuidad de su
derivada f´:
0
0 0
2 1
x sen si x
f(x) x
si x


 
 
Derivabilidad
Derivadas

26. Derivabilidad
Derivadas
Enunciemos ahora los teoremas del valor medio, en los que se consideran funciones
definidas en un intervalo cerrado y acotado, continuas en dicho intervalo y
derivables en el correspondiente intervalo abierto.
Comenzamos recordando el concepto de extremo relativo o local.
Si f es una función con dominio A, decimos que
1) c es un mínimo relativo o local de f si existe un entorno de c, (c- , c+ ), tal
que
f(c)  f(x) x  (c- , c+ )  A
2) c es un máximo relativo o local de f si existe un entorno de c, (c- , c+ ), tal
que
f(x)  f(c) x  (c- , c+ )  A
A los máximos y mínimos relativos se les llama extremos relativos o locales.

27. Derivabilidad
Derivadas
Una condición necesaria de extremo en términos de derivada la da el:
Teorema
Sea f : (a, b) R y c (a, b). Si f tiene un máximo (mínimo) en c y f es derivable
en c entonces f´(c) = 0.
Una función puede tener extremos relativos sin ser derivable. Así mismo la
anulación de la derivada no es una condición suficiente de extremo.
y = |x| y = (x-3)3 + 2
No existe f´(0) En x= 3, hay punto de inflexión
con tangente horizontal: f´(3) =0

28. Derivabilidad
Derivadas
Teorema de Rolle
Si f : [a, b]  R, es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) siendo
f(a) = f(b), entonces existe al menos un c  (a, b) tal que f´(c) = 0.
c1
c2
y = f(x)
a b
f´(c1) = f´(c2) = 0, pues,
(c1, f(c1)) y (c2,f(c2)) son
Puntos con tangente
horizontal
y
x
f(a) = f(b)

29. Derivabilidad
Derivadas
Teorema del valor medio de Lagrange
Si f : [a, b]  R, es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b). Entonces
existe un c  (a, b) tal que
f(b) – f(a) = f´(c)(b – a)
(este teorema se llama también “teorema de los incrementos finitos”).
Tiene la interpretación geométrica siguiente: si A = (a, f(a)) y B = (b, f(b)) entonces
el número
f(b)-f(a)
b-a
representa la pendiente de la cuerda AB. El teorema anterior
afirma que hay un punto c entre a y b en el que la tangente a la curva y = f(x) es
paralela a la cuerda AB.
tg  = f´(c) = f(b)-f(a)
b-a
a b
f(a)
f(b)

c
y
x
A
B

30. Derivabilidad
Derivadas
Teorema del valor medio generalizado de Cauchy
Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), existe un c  (a, b)
tal que
f´(c)(g(b) – g(a)) = g´(c)(f(b) – f(a))

31. Regla de L´Hôpital
Sea E un entorno del punto a  R, f y g derivables en E-{a}. Si
x x a
limf(x)=limg(x)=0
a 
y existe
´
´x a
f (x)
lim
g (x)
, entonces también existe
x a
f(x)
lim
g(x)
, verificándose:
x a
f(x)
lim
g(x)
=
´
´x a
f (x)
lim
g (x)
El teorema también es cierto cuando
x a x a
limf(x) y limg(x)=
 
    .
También es válido para x a , x a , x , x 
      .
Por tanto la Regla de L´Hôpital puede ser útil para resolver indeterminaciones de
la forma
0
0
,


.
Recordemos ahora los casos de indeterminación en el cálculo de límites:
0
0
,


, 0 ,   .
No existen reglas generales para resolverlos aunque todos ellos se pueden reducir a
la forma
0
0
y aplicar entonces L´Hôpital.
Derivabilidad
Derivadas

32. Derivabilidad
Derivadas
Por ejemplo si 0
x a x a
lim ( ) lim ( )f x y g x
 
   , basta poner f(x)g(x) = f(x)/(1/g(x)),
para llevar la indete rminación 0 a la forma
0
0
.
Si
a a
lim ( ) lim ( )
x x
f x g x
 
  , y hay que estudiar
a
lim( ( ) ( ))
x
f x g x

 , se puede poner
f(x)-g(x) =
1 1
g(x) f(x)
1
f(x)g(x)

con lo que la indeterminación    se reduce a la forma
0
0
.
Las indeterminaciones de la forma 00
, ∞0
, 1∞
se reducen a las anteriores utilizando
la identidad f(x)g(x)
= eg(x)log f(x)
, suponiendo f(x)>0.

33. Derivabilidad
Derivadas
Ejercicio
Calcular los siguientes límites:
1) 0
2
1
x
lim (cos ax)
x
2)
0
sen x
lim x
x 


34. Derivabilidad
Extremos
Recordemos ahora algunas de las aplicaciones de la derivada para el estudio de
una función.
Las definiciones de extremos relativos, ya dadas, difieren de las de extremos
absolutos:
a) La función f tiene un máximo absoluto en c si f(x)  f(c) para todo x  Dom
f.
b) La función f tiene un mínimo absoluto en c si f(c)  f(x) para todo x  Dom
f.
Los máximos y mínimos absolutos se llaman extremos absolutos. Se definen de la
misma forma para cualquier subconjunto del dominio de la función
Teorema
Si f es derivable en un intervalo I, entonces se verifica:
1) f es creciente en I si y solo si f´(x) 0 x I   .
2) f es decreciente en I si y solo si f´(x) 0 x I   .
3) Si f´(x)>0 para todo x  I entonces f es estrictamente creciente en I.
4) Si f´(x)<0 para todo x  I entonces f es estrictamente decreciente en I

35. Derivabilidad
Extremos
Caracterizamos ahora los extremos relativos utilizando las derivadas. Recordemos
que una condición necesaria de extremo es:
Sea f : (a, b) R y c (a, b). Si f tiene un máximo (mínimo) en c y f es derivable
en c entonces f´(c) = 0.
Teorema (condiciones suficientes de extremo)
Sea c  (a, b) y f continua en c,
1) Si existe   R+
tal que
f´(x)>0 x  (c-  , c), ( f crece a la izquierda de c)
f´(x)<0 x  (c, c+  ), ( f decrece a la derecha de c)
entonces f tiene un máximo relativo en c (la función pasa de creciente a
decreciente)
2) Si existe   R+
tal que
f´(x)<0 x  (c-  , c), ( f decrece a la izquierda de c)
f´(x)>0 x  (c, c+  ), ( f crece a la derecha de c)
entonces f tiene un mínimo relativo en c (la función pasa de decreciente a
creciente)

36. Derivabilidad
Extremos
f´(x)>0
f´(x)<0)
a bc
No existe f´(c).
En x=c hay max.
relativo
f es creciente en (a, c)
f es decreciente en (c, b)
f´(x)<0
f´(x)>0
a c b
f es decreciente en (a, c)
f es creciente en (c, b)
Existe f´(c).
En x = c hay min.
Relativo.

37. Derivabilidad
Extremos
Veamos ahora otra condición suficiente de extremo que se basa en la paridad de la
primera derivada que no se anula en elpunto considerado.
Teorema
Sea c  Dom f; f tiene n derivadas continuas en c, siendo n el orden de la primera
derivada que no se anula, es decir, f´(c) = … =f(n-1
(c) = 0, f(n
(c)  0.
Si n es par
f(n
(c) >0  f tiene un mínimo relativo en c
f(n
(c) <0  f tiene un máximo relativo en c
Si n es impar , f no tiene extremo en c (en c presenta un punto de inflexión con
tangente horizontal).
Si se quieren obtener los extremos absolutos de una función continua en un
intervalo cerrado [a, b], que siempre existen, se deben comparar los valores que
toma la función en los puntos:
1) Donde f no es derivable
2) Donde se anula f´(posibles extremos relativos)
3) Los extremos del intervalo.

38. Recordemos los conceptos de concavidad, convexidad y punto de inflexión. Sea f
una función derivable en el punto a, por tanto su gráfica admite tangente en dicho
punto, decimos que f es cóncava en a, cuando existe un entorno de a, para el cual
el arco de curva correspondiente está por encima de la recta tangente en el punto
(a, f(a)). Decimos que f es convexa en a, cuando existe un entorno de a, para el cual
el arco de curva correspondiente está por debajo de la recta tangente en el punto
(a, f(a)).
Concavidad-convexidad
Conceptos:
a a
Cóncava en x = a
Convexa en x = a

39. Cuando el arco de curva correspondiente a un entorno de a se encuentra, a la
derecha de a por encima de la recta tangente en (a, f(a)), y a la izquierda por
debajo (o viceversa), se dice que el punto (a, f(a)) es un punto de inflexión, es decir,
a un lado de un punto de inflexión la función es cóncava y al otro lado es convexa.
La recta tangente en un punto de inflexión debe cortar a la gráfica de la función.
Punto de Inflexión
a
y
x
A la izquierda de x = a es
convexa y a la derecha es
cóncava
(a, f(a)) es un punto
de inflexión
Concavidad-convexidad

40. Decimos que una función es cóncava (o convexa) en un conjunto A  R, cuando lo
es en todos los puntos de dicho conjunto.
Concavidad-convexidad
Concavidad, convexidad en un intervalo.
a b a b
f es cóncava en (a, b)
f es convexa en (a, b)

41. Teorema
Si f tiene derivada segunda en el intervalo I, siendo f´´>0 en I, entonces f es cóncava
en I (por ser f´estrictamente creciente). Si f´´<0 en I, entonces f es convexa en I (al ser
f´ estrictamente decreciente).
Luego si f tiene derivada segunda en I, en un punto de inflexión c debe ser f´´(c) = 0.
Concavidad-convexidad
y = (x-2)4 + 5
y´´ = 12(x-2)2 0, x R 
y = -(x-2)4 + 5
y´´ = -12(x-2)2 0, x R 
f = (x-2)4+5, es cóncava en R f = -(x-2)4+5, es cóncava en R
 

42. La representación gráfica de una función f debe ser el reflejo del estudio que se
haya realizado sobre ella, y que puede resumirse en los siguientes apartados:
1. Estudio del dominio de f.
2. Obtención de los posibles cortes con los ejes coordenados.
3. Estudio de simetrías sencillas: respecto de eje OY y de origen de
coordenadas
4. Estudio de la periodicidad.
5. Obtención de las asíntotas y, de los posibles puntos de corte con la asíntota
oblícua.
6. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.
7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Gráficas de funciones
Representación gráfica

43. Gráficas de funciones
Representación gráfica
Ejercicio
Obtener la gráfica de la función y =
3
2
x
(x 1)
Ejercicio
Dada la función y = |x-1|
| x |
e
, estudiar:
a) Dominio y continuidad.
b) Derivabilidad.
c) Crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos.
d) Extremos absolutos en el intervalo [-2, 3].