El documento explica los conceptos fundamentales de derivadas, incluyendo que miden la tasa de cambio de una función, se calculan como el límite de la pendiente promedio de la función cuando el intervalo se hace más pequeño, y geométricamente representan la pendiente de la tangente en un punto. También cubre brevemente la historia del cálculo y sus creadores Isaac Newton y Gottfried Leibniz, así como conceptos avanzados como derivadas de orden superior y derivación implícita.

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
CABUDARE ESTADO LARA
DERIVADAS
ALIMNO: FERCRIS PIÑA
V26.976.991
@UFT

2. En matemáticas, la derivada de una función mide la rapidez con la que
cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable
independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se
calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto
intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna
cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una
función en un punto dado. el valor de la derivada de una función en un punto
puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de
la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a
su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho
punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de
más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
Siglo XVII
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos les habían tenido a los
infinitesimales: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalierifueron los primeros en
usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al
descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII las cantidades infinitesimales fueron cada vez más
usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los
primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. A finales del siglo
XVII se sintetizaron en dos conceptos los algoritmos usados por sus
predecesores, en lo que hoy llamamos «derivada» e «integral». La historia de la
matemática reconoce que Isaac Newton y Gottfried Leibniz son los creadores del
cálculo diferencial e integral. Ellos desarrollaron reglas para manipular las
derivadas (reglas de derivación) e Isaac Barrow demostró que la derivación y
la integraciónson operadores inversos.
DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR: La derivada de orden superior se
conoce como la segunda derivada de la función, es decir, si F(X) es una
función y existe su primera derivada f'(x).
Es importante tener en cuenta:

3. De manera similar se puede obtener las derivadas de mayor orden, sin embargo,
es necesario aclarar que las derivadas de una función dependen de las
características de la función y es posible y frecuentemente sucede, que algunas
derivadas existen, pero no para todos los órdenes pese a que se pueden calcular
con las fórmulas.
Los órdenes de las derivadas se pueden expresar de la siguiente manera.

4. Derivación Implícita.
La derivación implícita se aplica a funciones definidas implícitamente,
específicamente a funciones definidas por una ecuación en que la variable
dependiente, y. no está despejada,
Para conseguir la derivada de y con respecto a x, dy/dx, con x la variable
independiente, efectuamos dos pasos principales
Paso 1 Derivar ambos miembros de la ecuación, tomando en cuenta en todo
momento que y es función de x, y por consiguiente al tener que derivar una
expresión con y con respecto a x hay que considerar aplicar la regla de la cadena.
Paso 2 Despejar dy/dx.
Normalmente, la derivada queda expresada en términos de x y y.
Para la derivación implícita hay que tener en cuenta:
 · Reconocer una función definida implícitamente.
 · Calcular la derivada implícita de una función definida implícitamente.
 · Resuelve situaciones problemáticas vinculadas a la regla de la cadena
y derivadas implícitas.
La función 𝑦 = 𝑓 𝑥 está definida implícitamente por la ecuación 𝐸 (𝑥; 𝑦) = 0, cuando
para cada 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 (𝑓) en el punto (𝑥; 𝑓 (𝑥)) satisface 𝐸 𝑥; 𝑓 𝑥 = 0 para
cada 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓.
El procedimiento para hallar la derivada en forma implícita, consiste en derivar la
ecuación dada con respecto a la variable independiente y luego resolver la ecuación
resultante.
Ejemplo Consiga dy/dx por derivación implícita
Solución Preparamos antes de derivar, para que la derivación resulte más fácil.
Como tenemos el logaritmo de un producto aplicamos la propiedad, es la suma de
los logaritmos, aprovechamos de reescribir el radical

5. Ahora se deriva implícitamente. Se deriva el lado izquierdo y el derecho con
respecto a x, Recuerde que y es función de x. El lado derecho es una constante,
su derivada es cero
Queda despejar y´.
Seguimos las recomendaciones para despejar una variable que está lineal en una
ecuación.
Primero multiplicar por el mcm de los denominadores (2xy), a fin de eliminarlos,
queda
La última simplificación se obtuvo al sacar -2y de factor común en el numerador y
x en el denominador. Los otros factores resultaron iguales, se cancelaron.
Ejercicios Encuentre dy/dx por derivación implícita.