El documento presenta los conceptos básicos de derivadas, incluyendo su interpretación geométrica como la pendiente de la tangente a una curva. Explica cómo calcular derivadas mediante la definición de límite, usando ejemplos como hallar la derivada de funciones como x^2, 2x+3, x y (2x-3)/(3x+4). Finalmente, indica que también es posible calcular derivadas usando reglas sin aplicar los pasos de la definición de límite.
Este documento presenta la Unidad VI de un curso de matemáticas sobre la aplicación de la derivada. La unidad cubre conceptos como la interpretación gráfica de la derivada, tangentes y normales a curvas, funciones crecientes y decrecientes, y valores extremos. El objetivo es que los estudiantes identifiquen el concepto de derivada gráficamente y lo apliquen para resolver problemas geométricos, físicos y otras aplicaciones.
Trabajo integrador final calculo diferencial upsSCOUTS ECUADOR
La derivada representa tres interpretaciones: matemática como la pendiente de la tangente, geométrica como la pendiente de la recta tangente, y física como la velocidad instantánea. Se explican estas interpretaciones y se resuelven ejercicios de derivadas de funciones, incluyendo derivadas implícitas y logarítmicas. Finalmente, se analiza un problema de física que involucra velocidad y derivadas para calcular la posición de una lámpara.
El documento presenta una guía para resolver problemas de razones afinas, incluyendo 7 pasos para abordar estos problemas. Luego, presenta 8 ejemplos de problemas resueltos que ilustran cómo aplicar estos pasos. Los ejemplos cubren temas como la velocidad y altura de un proyectil, la tasa de cambio de la corriente eléctrica con respecto a la resistencia, y el cálculo de tasas de cambio y variación para diferentes funciones y situaciones.
Este documento presenta un manual de cálculo vectorial. Explica conceptos como funciones vectoriales de una variable real, ecuaciones paramétricas y representaciones paramétricas de curvas como circunferencias, elipses e hipérbolas. También cubre temas como obtener ecuaciones cartesianas a partir de ecuaciones paramétricas y parametrizar curvas mediante la intersección de superficies.
Este documento introduce los conceptos de razón de cambio y derivada. Explica que las razones de cambio media y la pendiente de una secante no pueden responder preguntas sobre puntos específicos, mientras que el concepto de derivada como un límite cuando el incremento se acerca a cero sí puede hacerlo. También define la función derivada como el modelo matemático que representa el conjunto de puntos formados por las derivadas de una función en cada punto de su dominio.
Sea α un camino regular a trozos en R
p
, definido en [a,b]. Sea f un campo vectorial definido
y acotado sobre la gráfica C de α. La integral de línea de f a lo largo de C se representa
Este documento define transformaciones lineales y proporciona ejemplos de funciones que son y no son transformaciones lineales. Una transformación lineal T de un espacio vectorial U a otro V debe cumplir dos condiciones: T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) y T(αu) = αT(u). Se demuestra un teorema y se enumeran propiedades de las transformaciones lineales.
Este documento describe el movimiento de un proyectil lanzado con un ángulo θ desde una altura h. Explica que la gravedad es la única fuerza que actúa, y resuelve las ecuaciones del movimiento para calcular la máxima altura alcanzada y la distancia horizontal recorrida. Estas ecuaciones muestran que la trayectoria forma una parábola, y se usan para derivar fórmulas para la máxima altura y distancia horizontal en términos de la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento.
Este documento presenta la Unidad VI de un curso de matemáticas sobre la aplicación de la derivada. La unidad cubre conceptos como la interpretación gráfica de la derivada, tangentes y normales a curvas, funciones crecientes y decrecientes, y valores extremos. El objetivo es que los estudiantes identifiquen el concepto de derivada gráficamente y lo apliquen para resolver problemas geométricos, físicos y otras aplicaciones.
Trabajo integrador final calculo diferencial upsSCOUTS ECUADOR
La derivada representa tres interpretaciones: matemática como la pendiente de la tangente, geométrica como la pendiente de la recta tangente, y física como la velocidad instantánea. Se explican estas interpretaciones y se resuelven ejercicios de derivadas de funciones, incluyendo derivadas implícitas y logarítmicas. Finalmente, se analiza un problema de física que involucra velocidad y derivadas para calcular la posición de una lámpara.
El documento presenta una guía para resolver problemas de razones afinas, incluyendo 7 pasos para abordar estos problemas. Luego, presenta 8 ejemplos de problemas resueltos que ilustran cómo aplicar estos pasos. Los ejemplos cubren temas como la velocidad y altura de un proyectil, la tasa de cambio de la corriente eléctrica con respecto a la resistencia, y el cálculo de tasas de cambio y variación para diferentes funciones y situaciones.
Este documento presenta un manual de cálculo vectorial. Explica conceptos como funciones vectoriales de una variable real, ecuaciones paramétricas y representaciones paramétricas de curvas como circunferencias, elipses e hipérbolas. También cubre temas como obtener ecuaciones cartesianas a partir de ecuaciones paramétricas y parametrizar curvas mediante la intersección de superficies.
Este documento introduce los conceptos de razón de cambio y derivada. Explica que las razones de cambio media y la pendiente de una secante no pueden responder preguntas sobre puntos específicos, mientras que el concepto de derivada como un límite cuando el incremento se acerca a cero sí puede hacerlo. También define la función derivada como el modelo matemático que representa el conjunto de puntos formados por las derivadas de una función en cada punto de su dominio.
Sea α un camino regular a trozos en R
p
, definido en [a,b]. Sea f un campo vectorial definido
y acotado sobre la gráfica C de α. La integral de línea de f a lo largo de C se representa
Este documento define transformaciones lineales y proporciona ejemplos de funciones que son y no son transformaciones lineales. Una transformación lineal T de un espacio vectorial U a otro V debe cumplir dos condiciones: T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) y T(αu) = αT(u). Se demuestra un teorema y se enumeran propiedades de las transformaciones lineales.
Este documento describe el movimiento de un proyectil lanzado con un ángulo θ desde una altura h. Explica que la gravedad es la única fuerza que actúa, y resuelve las ecuaciones del movimiento para calcular la máxima altura alcanzada y la distancia horizontal recorrida. Estas ecuaciones muestran que la trayectoria forma una parábola, y se usan para derivar fórmulas para la máxima altura y distancia horizontal en términos de la velocidad inicial y el ángulo de lanzamiento.
El documento presenta información sobre el Teorema de Green, el cual vincula una integral doble sobre una región plana R con una integral de línea con respecto a una curva C que es la frontera de R. Explica que una curva es cerrada y simple si el punto inicial y final coinciden y no se corta consigo misma, y es suave a trozos si puede dividirse en subintervalos donde es suave. Finalmente, enuncia el Teorema de Green y presenta una demostración del mismo.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
i. El documento describe las transformaciones lineales entre espacios vectoriales y cómo pueden representarse mediante matrices. Específicamente, una transformación lineal T: V → W se puede definir por la matriz que tiene las coordenadas de los vectores transformados T(v) respecto a bases fijas de V y W.
ii. También introduce conceptos como transformaciones inyectivas, sobreyectivas e isomorfismos, y explica cómo realizar operaciones como suma y multiplicación por escalares con transformaciones lineales.
iii. Finalmente, verifica que la suma y multiplicación por
1) El documento describe las transformaciones lineales, incluyendo su definición, propiedades y teoremas clave. 2) Una transformación lineal mapea vectores de un espacio vectorial a otro de manera lineal. 3) Las propiedades de una transformación lineal incluyen su núcleo, recorrido, nulidad, rango e isomorfismos.
Este documento presenta una evaluación de álgebra lineal que consta de 5 problemas. El primer problema pide construir un operador lineal con ciertas propiedades. El segundo problema define un producto interno y pide calcular una proyección. El tercer problema involucra valores y vectores propios de una matriz. El cuarto problema compara matrices semejantes. El quinto problema pide graficar una cónica dada por una ecuación.
Este documento describe los problemas de encontrar la ruta más corta (camino mínimo) entre dos puntos en un grafo. Explica los algoritmos de Dijkstra y Floyd para resolver este problema de forma eficiente, encontrando la ruta de menor coste entre todos los pares de nodos en un grafo. Aplica ambos algoritmos a ejemplos numéricos, mostrando los cálculos paso a paso para determinar las rutas óptimas entre los nodos.
Este documento describe el formalismo de Lagrange y Hamilton para sistemas mecánicos. Presenta la ecuación de Lagrange y cómo se obtiene a partir del principio de acción mínima. También explica los teoremas de conservación de momento lineal, momento angular y energía que surgen de la simetría de la lagrangiana bajo traslaciones y rotaciones infinitesimales. Finalmente, introduce brevemente las ecuaciones de Hamilton.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
Este documento presenta conceptos clave sobre derivadas y razón de cambio. Explica la tabla de derivadas fundamentales, la definición de razón de cambio y su relación con la pendiente de una recta. Luego, resuelve problemas aplicando estos conceptos para calcular razón de cambio en función del tiempo para diferentes funciones como población, área de un círculo, volumen de un globo y número de bacterias.
Este documento presenta una introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que puede escribirse como una función componente. Incluye ejemplos de funciones vectoriales y sus trayectorias. También cubre conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales.
Este documento presenta un resumen sobre la integral de línea de un campo vectorial. Explica que la integral de línea evalúa una función sobre una curva, y que en cálculo vectorial existen tres teoremas importantes relacionados con integrales de línea y superficies. Luego, proporciona definiciones sobre integrales de línea, campos vectoriales y curvas regulares, y ofrece ejemplos para calcular el trabajo realizado por un campo vectorial al mover un objeto a lo largo de una curva.
Este documento contiene una prueba parcial de cálculo con 3 preguntas. La primera pregunta involucra una carrera entre 2 deportistas y determinar quién es más rápido. La segunda pregunta trata sobre la evaporación de agua. La tercera pregunta analiza puntos críticos, valores extremos y concavidad de una función.
Este documento describe varias aplicaciones de la integral definida, incluyendo el cálculo de áreas, volúmenes de revolución y áreas entre curvas. Explica que la integral puede usarse para calcular áreas de forma más rápida que los métodos griegos antiguos. Luego, detalla fórmulas para calcular el área bajo una curva, el área entre dos curvas, el volumen de un sólido de revolución usando discos o arandelas, y provee ejemplos ilustrativos de cada aplicación.
Este documento presenta varios problemas relacionados con transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Algunos de los problemas incluyen determinar si ciertas funciones son transformaciones lineales, calcular núcleos y recorridos de transformaciones, y encontrar las matrices asociadas a transformaciones con respecto a bases dadas.
Este documento explica los conceptos de máximos y mínimos en función de la interpretación geométrica de la derivada. Se define un máximo como un punto donde la función toma un valor mayor que en puntos cercanos, y un mínimo como un punto donde la función toma un valor menor. Se muestran ejemplos de cómo calcular las coordenadas de puntos de máximos, mínimos y tangencia mediante el cálculo de derivadas. Finalmente, se introduce brevemente el uso de la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones.
Este documento contiene 6 ejercicios de mecánica con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran temas como movimiento acelerado, proyectiles, sistemas de masas y resortes, y fuerzas de roce y viscosidad. El autor provee todos los datos y ecuaciones necesarias para que el lector pueda resolver cada problema paso a paso.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Este documento introduce conceptos básicos sobre curvas en el plano y en el espacio. Explica que una curva diferenciable está dada por una función continua y derivable que mapea un intervalo de números reales a puntos en R2 o R3. Define conceptos como parametrización, vector tangente, recta tangente y longitud de una curva. Incluye ejemplos como rectas, circunferencias, hélices y curvas con autointersecciones o picos.
Este documento define transformaciones lineales y ofrece ejemplos ilustrativos. Una transformación es una función que mapea elementos de un espacio vectorial V a otro espacio W. Una transformación es lineal si preserva las operaciones de suma y multiplicación por escalares. El documento explica los conceptos de dominio, codominio, recorrido y núcleo de una transformación.
Este documento presenta conceptos clave sobre transformaciones lineales. Explica que una transformación lineal mapea vectores de un espacio vectorial a otro mediante una matriz. Define vectores y valores propios, y explica que los valores propios se obtienen resolviendo la ecuación característica determinada por la matriz de la transformación. El objetivo es comprender las transformaciones lineales a partir de ejemplos en el plano y el espacio.
<a><img src="http://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png" /></a><br /><span>administracion por objetivos</span> by <span>Jose Saltos</span> is licensed under a <a>Creative Commons Reconocimiento 4.0 Internacional License</a>.
Este documento introduce los conceptos básicos de informática como la definición de informática, el manejo de grandes volúmenes de datos, el concepto de computadora, software y hardware. Explica que la informática es la ciencia del tratamiento automático de la información y que ha permitido manipular grandes cantidades de datos. También define las computadoras como sistemas electrónicos que procesan datos bajo programas de instrucciones y describe los componentes básicos de hardware y software.
El documento presenta información sobre el Teorema de Green, el cual vincula una integral doble sobre una región plana R con una integral de línea con respecto a una curva C que es la frontera de R. Explica que una curva es cerrada y simple si el punto inicial y final coinciden y no se corta consigo misma, y es suave a trozos si puede dividirse en subintervalos donde es suave. Finalmente, enuncia el Teorema de Green y presenta una demostración del mismo.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
i. El documento describe las transformaciones lineales entre espacios vectoriales y cómo pueden representarse mediante matrices. Específicamente, una transformación lineal T: V → W se puede definir por la matriz que tiene las coordenadas de los vectores transformados T(v) respecto a bases fijas de V y W.
ii. También introduce conceptos como transformaciones inyectivas, sobreyectivas e isomorfismos, y explica cómo realizar operaciones como suma y multiplicación por escalares con transformaciones lineales.
iii. Finalmente, verifica que la suma y multiplicación por
1) El documento describe las transformaciones lineales, incluyendo su definición, propiedades y teoremas clave. 2) Una transformación lineal mapea vectores de un espacio vectorial a otro de manera lineal. 3) Las propiedades de una transformación lineal incluyen su núcleo, recorrido, nulidad, rango e isomorfismos.
Este documento presenta una evaluación de álgebra lineal que consta de 5 problemas. El primer problema pide construir un operador lineal con ciertas propiedades. El segundo problema define un producto interno y pide calcular una proyección. El tercer problema involucra valores y vectores propios de una matriz. El cuarto problema compara matrices semejantes. El quinto problema pide graficar una cónica dada por una ecuación.
Este documento describe los problemas de encontrar la ruta más corta (camino mínimo) entre dos puntos en un grafo. Explica los algoritmos de Dijkstra y Floyd para resolver este problema de forma eficiente, encontrando la ruta de menor coste entre todos los pares de nodos en un grafo. Aplica ambos algoritmos a ejemplos numéricos, mostrando los cálculos paso a paso para determinar las rutas óptimas entre los nodos.
Este documento describe el formalismo de Lagrange y Hamilton para sistemas mecánicos. Presenta la ecuación de Lagrange y cómo se obtiene a partir del principio de acción mínima. También explica los teoremas de conservación de momento lineal, momento angular y energía que surgen de la simetría de la lagrangiana bajo traslaciones y rotaciones infinitesimales. Finalmente, introduce brevemente las ecuaciones de Hamilton.
Este documento presenta una guía sobre integrales de superficie y sus aplicaciones. Incluye una breve introducción a superficies paramétricas, planos tangentes, áreas de superficies y diferentes tipos de integrales de superficie. Contiene ejemplos resueltos y propuestos, así como teoremas importantes como el de Stokes y el de Gauss. El autor ofrece esta guía para apoyar la enseñanza del cálculo vectorial en ingeniería.
Este documento presenta conceptos clave sobre derivadas y razón de cambio. Explica la tabla de derivadas fundamentales, la definición de razón de cambio y su relación con la pendiente de una recta. Luego, resuelve problemas aplicando estos conceptos para calcular razón de cambio en función del tiempo para diferentes funciones como población, área de un círculo, volumen de un globo y número de bacterias.
Este documento presenta una introducción a las funciones vectoriales de una variable real. Explica que una función vectorial mapea números reales a vectores, y que puede escribirse como una función componente. Incluye ejemplos de funciones vectoriales y sus trayectorias. También cubre conceptos como límites, continuidad, derivadas e integrales de funciones vectoriales.
Este documento presenta un resumen sobre la integral de línea de un campo vectorial. Explica que la integral de línea evalúa una función sobre una curva, y que en cálculo vectorial existen tres teoremas importantes relacionados con integrales de línea y superficies. Luego, proporciona definiciones sobre integrales de línea, campos vectoriales y curvas regulares, y ofrece ejemplos para calcular el trabajo realizado por un campo vectorial al mover un objeto a lo largo de una curva.
Este documento contiene una prueba parcial de cálculo con 3 preguntas. La primera pregunta involucra una carrera entre 2 deportistas y determinar quién es más rápido. La segunda pregunta trata sobre la evaporación de agua. La tercera pregunta analiza puntos críticos, valores extremos y concavidad de una función.
Este documento describe varias aplicaciones de la integral definida, incluyendo el cálculo de áreas, volúmenes de revolución y áreas entre curvas. Explica que la integral puede usarse para calcular áreas de forma más rápida que los métodos griegos antiguos. Luego, detalla fórmulas para calcular el área bajo una curva, el área entre dos curvas, el volumen de un sólido de revolución usando discos o arandelas, y provee ejemplos ilustrativos de cada aplicación.
Este documento presenta varios problemas relacionados con transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Algunos de los problemas incluyen determinar si ciertas funciones son transformaciones lineales, calcular núcleos y recorridos de transformaciones, y encontrar las matrices asociadas a transformaciones con respecto a bases dadas.
Este documento explica los conceptos de máximos y mínimos en función de la interpretación geométrica de la derivada. Se define un máximo como un punto donde la función toma un valor mayor que en puntos cercanos, y un mínimo como un punto donde la función toma un valor menor. Se muestran ejemplos de cómo calcular las coordenadas de puntos de máximos, mínimos y tangencia mediante el cálculo de derivadas. Finalmente, se introduce brevemente el uso de la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones.
Este documento contiene 6 ejercicios de mecánica con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran temas como movimiento acelerado, proyectiles, sistemas de masas y resortes, y fuerzas de roce y viscosidad. El autor provee todos los datos y ecuaciones necesarias para que el lector pueda resolver cada problema paso a paso.
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...dinorkis
1. El documento explica conceptos fundamentales de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración, derivación implícita y funciones crecientes y decrecientes. 2. Incluye ejemplos detallados sobre cómo calcular la velocidad y aceleración de objetos en movimiento, derivar funciones implícitas y determinar puntos críticos, máximos y mínimos. 3. Finalmente, define concavidad y criterios para identificar cambios en la concavidad de una función a través de su derivada segunda.
Este documento introduce conceptos básicos sobre curvas en el plano y en el espacio. Explica que una curva diferenciable está dada por una función continua y derivable que mapea un intervalo de números reales a puntos en R2 o R3. Define conceptos como parametrización, vector tangente, recta tangente y longitud de una curva. Incluye ejemplos como rectas, circunferencias, hélices y curvas con autointersecciones o picos.
Este documento define transformaciones lineales y ofrece ejemplos ilustrativos. Una transformación es una función que mapea elementos de un espacio vectorial V a otro espacio W. Una transformación es lineal si preserva las operaciones de suma y multiplicación por escalares. El documento explica los conceptos de dominio, codominio, recorrido y núcleo de una transformación.
Este documento presenta conceptos clave sobre transformaciones lineales. Explica que una transformación lineal mapea vectores de un espacio vectorial a otro mediante una matriz. Define vectores y valores propios, y explica que los valores propios se obtienen resolviendo la ecuación característica determinada por la matriz de la transformación. El objetivo es comprender las transformaciones lineales a partir de ejemplos en el plano y el espacio.
<a><img src="http://i.creativecommons.org/l/by/4.0/88x31.png" /></a><br /><span>administracion por objetivos</span> by <span>Jose Saltos</span> is licensed under a <a>Creative Commons Reconocimiento 4.0 Internacional License</a>.
Este documento introduce los conceptos básicos de informática como la definición de informática, el manejo de grandes volúmenes de datos, el concepto de computadora, software y hardware. Explica que la informática es la ciencia del tratamiento automático de la información y que ha permitido manipular grandes cantidades de datos. También define las computadoras como sistemas electrónicos que procesan datos bajo programas de instrucciones y describe los componentes básicos de hardware y software.
Este documento presenta el libro "Matemática... ¿Estás ahí?" escrito por Adrián Paenza. El libro contiene una colección de historias y curiosidades matemáticas con diferentes niveles de dificultad, abarcando temas como números, personajes matemáticos, probabilidades y problemas matemáticos. El objetivo es acercar la matemática al público general de una manera entretenida y amena.
El documento resume los proyectos y actividades de desarrollo rural, ambiental y minero llevados a cabo por la Dirección de Desarrollo Rural, Ambiental y Minero del Municipio de Cáceres. Se describen proyectos relacionados con el caucho, el cacao, la seguridad alimentaria, la piscicultura, las microcuencas, el arroz, el crédito agropecuario y la minería, así como actividades ambientales. Se proporcionan detalles sobre los beneficiarios, las áreas sembradas, los aportes
El documento habla sobre la prescripción médica de fármacos. Es un acto complejo que requiere conocimientos, experiencia y responsabilidad. Una buena prescripción busca maximizar la efectividad de los medicamentos y minimizar riesgos y costos, mejorando la adherencia del paciente al tratamiento. Se describen también prácticas incorrectas en la prescripción y partes de una receta tradicional.
Este documento resume el contenido de 7 capítulos de un libro sobre liderazgo. En el Capítulo I se definen términos como liderazgo, poder y autoridad. El Capítulo II habla sobre paradigmas antiguos y nuevos. El Capítulo III presenta a Jesús como el modelo de líder. El Capítulo IV explica el concepto bíblico de amor. El Capítulo V trata sobre crear un buen entorno. El Capítulo VI cubre la noción de "praxis". Y el Capítulo VII concluye hablando sobre los resultados de aplicar
La moda ha existido desde la prehistoria, cuando los humanos usaban pieles para cubrirse. A través de los siglos, la moda ha cambiado de acuerdo a las tendencias propuestas por los diseñadores de cada época. En la actualidad, los diseñadores colombianos han ganado reconocimiento internacional y la industria de la moda en Colombia se ha convertido en una de las principales fuentes de divisas, superando posiblemente al café para finales de la década.
Este documento habla sobre las redes informáticas. Explica que una red informática conecta varios ordenadores para compartir información, con un servidor más potente almacenando datos y ordenadores terminales conectados a él. Describe diferentes tipos de redes como LAN, PAN, MAN y WAN. También explica componentes clave de redes como tarjetas de red, cables, switches y routers. Brevemente cubre temas como direcciones IP, máscaras de subred, virus informáticos y medidas de seguridad como cortafuegos y antivirus.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos clave como el acero y la madera, así como medidas contra bancos y funcionarios rusos. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Modelo de van hiele curso virtual (hercy)Annaiiz Gf'
El modelo de Van Hiele describe 5 niveles de razonamiento geométrico y 5 fases de aprendizaje. Pierre Van Hiele desarrolló este modelo para explicar por qué los estudiantes tienen dificultades con la geometría y para guiar a los maestros en cómo ayudar a los estudiantes a alcanzar niveles más altos de razonamiento.
El documento describe un encuentro de experiencias entre Samuel Torres y otros participantes en Bogotá el 21 de agosto de 2012 para compartir conocimientos y aprendizajes.
Una estudiante de educación preescolar realizó una visita previa a un jardín de niños para diagnosticar a los alumnos de 3er grado sobre sus conocimientos de contaminación. Sin embargo, no pudo realizar un diagnóstico formal debido a que los niños estaban ensayando para una presentación. Más tarde, habló con la maestra y acordaron que el tema de su proyecto sería la contaminación. Recordó los conocimientos previos de los niños sobre este tema y contaminación que había observado anteriormente. La mitad de los alumn
El documento describe el Editor de MercadoClics, una herramienta que permite crear y modificar anuncios de forma masiva. El Editor permite subir gran cantidad de anuncios rápidamente, modificarlos en forma escalable, y trabajar la campaña de manera offline antes de publicar. Explica cómo crear una planilla de anuncios, generar una nueva campaña en el Editor, subir los anuncios y realizar modificaciones masivas como cambiar texto o CPC. También describe nuevas funcionalidades como agregar texto a múltiples anuncios y descargar mé
El documento describe el sistema solar, que está formado por una estrella central llamada el Sol y ocho planetas que orbitan alrededor de él: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. Cada planeta se caracteriza por sus propias propiedades únicas como su tamaño, composición y temperatura.
Este documento describe los diferentes tipos de robots según su tecnología, cronología y arquitectura. Se clasifican los robots en cuatro generaciones según su cronología, desde los manipuladores de la primera generación hasta los robots inteligentes de la cuarta generación. Según su arquitectura, los robots pueden ser poliarticulados, móviles, androides, zoomórficos o híbridos. La robótica combina disciplinas como la mecánica, electrónica e inteligencia artificial para el diseño y aplicación de robots.
El documento habla sobre el anhelo de vivir en paz y la violencia que existe en el mundo. Define la paz como una armonía interior y tranquilidad espiritual que invade a la persona. Afirma que la paz verdadera viene de Dios y requiere justicia social. Finalmente, analiza las negociaciones de paz en Colombia, señalando que será un proceso largo y difícil dado los intereses encontrados de las partes involucradas.
Este documento discute las nuevas tecnologías en la educación como las telecomunicaciones, lo audiovisual, lo multimedia y la informática, y analiza sus características como la información, innovación, instrucción e interactividad. También explora sus ventajas como la flexibilidad y la interdisciplinariedad y sus desventajas como el aislamiento y alto coste.
Este documento clasifica y describe los diferentes tipos de artritis. La artritis se clasifica según su duración como aguda o crónica, y según el número de articulaciones afectadas como monoartritis, oligoartritis o poliartritis. Las causas más comunes de poliartritis son la artritis reumatoide, las espondiloartropatías seronegativas y las enfermedades del colágeno-vasculares. El diagnóstico de artritis se basa en el patrón del dolor articular y las manifestaciones extraarticul
El documento presenta 7 saberes o formas de enseñanza necesarias para la educación del futuro: 1) reconocer errores y ilusiones en el conocimiento, 2) principios de un conocimiento relevante, 3) enseñar la condición humana, 4) la identidad terrenal, 5) enfrentar incertidumbres, 6) enseñar la comprensión, y 7) la ética del género humano. Los objetivos son generar docentes capacitados y transformar la educación para el futuro.
Este documento presenta las soluciones a varios problemas de matemáticas. En la primera pregunta, se demuestra que si una función es diferenciable en un punto, entonces es continua en ese punto. La segunda pregunta encuentra los puntos críticos de una función escalar dada. La tercera pregunta reescribe las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares.
1) El documento introduce las curvas parametrizadas y sus propiedades, incluyendo ejemplos.
2) Explica las integrales de línea de campos escalares a lo largo de curvas parametrizadas, con ejemplos como calcular masas.
3) Extiende el concepto a integrales de línea de campos vectoriales bidimensionales y tridimensionales.
Este documento presenta conceptos clave sobre límites en cálculo. En primer lugar, introduce el problema de calcular la tangente a la curva y=2x^2+x-1 en el punto P(1,2). Luego, explica que el límite de una función f(x) cuando x se aproxima a un valor a es la base del cálculo diferencial. Por último, resume propiedades de límites como la continuidad y el teorema de compresión.
1) El documento presenta problemas de mecánica clásica extraídos de un libro de texto.
2) El problema 5 trata sobre dos rines montados en extremos de un eje común que ruedan independientemente sobre una superficie. Se demuestra que hay dos ecuaciones de restricción no holonómicas y una ecuación de restricción holonómica.
3) El problema 6 trata sobre una partícula que se mueve en el plano xy bajo la restricción de que su velocidad apunte siempre hacia un punto en el eje x cu
1) El documento explica el concepto de derivada como el límite del cambio en la función entre el cambio en la variable cuando este último tiende a cero. 2) También presenta las reglas para calcular la derivada de funciones como sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones exponenciales. 3) Incluye un ejemplo de calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.
1) El documento explica el concepto de derivada como el límite del cambio en la función entre el cambio en la variable cuando este último tiende a cero. 2) También presenta las reglas para calcular la derivada de funciones como sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones exponenciales. 3) Incluye un ejemplo de calcular la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.
El documento presenta conceptos básicos sobre límites en cálculo diferencial. Introduce la noción de límite como la variación de la pendiente de una recta secante a medida que se aproxima a un punto. Explica que un límite existe cuando los valores de una función pueden acercarse arbitrariamente a un valor L al aproximarse el argumento a un valor a. También cubre propiedades de límites, continuidad de funciones y límites infinitos.
El documento presenta un resumen sobre la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de diferencias finitas. Se describe la ecuación de Poisson y cómo este método permite aproximar las derivadas mediante diferencias centrales, generando un sistema de ecuaciones que puede resolverse numéricamente. También se mencionan conceptos como condiciones de frontera de Dirichlet y el error de truncamiento del método.
Este documento presenta conceptos fundamentales de mecánica del movimiento en dos dimensiones, incluyendo desplazamiento, velocidad, aceleración, movimiento de proyectiles y movimiento circular. Explica cómo calcular estas cantidades usando ecuaciones vectoriales y cómo representar gráficamente las trayectorias. También incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta conceptos fundamentales de mecánica del movimiento en dos dimensiones, incluyendo desplazamiento, velocidad, aceleración, movimiento de proyectiles y movimiento circular. Explica cómo calcular estas cantidades usando ecuaciones vectoriales y cómo representar gráficamente las trayectorias. Incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta un material didáctico para apoyar la unidad de cálculo diferencial de funciones de varias variables. Incluye conceptos básicos sobre funciones de varias variables, dominio, rango, representación gráfica, curvas y superficies de nivel, límites, derivadas y derivadas direccionales. El objetivo es facilitar la comprensión de estos temas mediante definiciones, ecuaciones y 97 diapositivas.
El documento trata sobre conceptos fundamentales del cálculo diferencial como la derivada, la tasa de cambio promedio y la tasa de cambio instantánea. Explica que la derivada representa la tasa de cambio instantánea de una función y puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente en un punto. También define la tasa de cambio promedio como la pendiente de la recta secante entre dos puntos y analiza su relación con los conceptos de velocidad promedio y velocidad instantánea.
Este documento contiene resúmenes de 12 ejercicios de dinámica. Cada ejercicio presenta un problema de movimiento de una o más partículas sometidas a fuerzas, y proporciona la solución analítica al problema mediante el uso de las leyes de Newton y el cálculo. Los ejercicios cubren una variedad de fuerzas y condiciones iniciales, y las soluciones incluyen expresiones para la velocidad, posición, aceleración y otros parámetros en función del tiempo.
Este documento discute cómo los problemas físicos pueden modelarse como ecuaciones diferenciales de segundo orden. Explica que el modelado matemático involucra tres pasos: 1) formular un modelo a partir de la situación física, 2) resolver el modelo, y 3) interpretar la solución matemática en términos físicos. Luego presenta varios ejemplos de problemas que conducen a ecuaciones diferenciales de segundo orden, como el movimiento armónico simple y circuitos eléctricos RLC.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la derivada en cálculo, incluyendo la definición de derivada como el límite del cambio en la función entre el cambio en la variable cuando este último tiende a cero. También cubre reglas para calcular derivadas de funciones como sumas, diferencias, productos, cocientes y funciones elevadas a una potencia.
El documento explica el uso de funciones cuadráticas para modelar diversos fenómenos físicos y situaciones de la vida real. Las funciones cuadráticas se representan mediante la ecuación y = ax2 + bx + c y pueden usarse para estudiar trayectorias, economía, ingeniería y biología. Se describen las características clave de las funciones cuadráticas como su concavidad, vértice, intersecciones con los ejes y eje de simetría. También se presentan ejemplos de cómo aplicar funciones cuadráticas para
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en el espacio tridimensional. Define funciones vectoriales de una variable real y sus propiedades como dominio, límite y continuidad. Explica las nociones de trayectoria, gráfica y curva como la traza de una función vectorial. Presenta ejemplos de curvas como la hélice y discute la derivada de funciones vectoriales y su interpretación geométrica como vector tangente a la curva. El objetivo es que los estudiantes aprendan a describir curvas en R3 y calcular conceptos como
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en el espacio tridimensional. Define funciones vectoriales de una variable real y sus propiedades como dominio, límite y continuidad. Explica las nociones de trayectoria, gráfica y curva como la traza de una función vectorial. Presenta ejemplos de curvas como la hélice y discute la derivada de funciones vectoriales y su interpretación geométrica como vector tangente a la curva. El objetivo es que los estudiantes aprendan a describir curvas en R3 y calcular conceptos como
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Este documento presenta el concepto de derivada matemática. Explica que la derivada representa la tasa de cambio de una función y cómo se puede calcular como el límite de la pendiente de la recta secante. Incluye definiciones formales de derivada y pendiente de una curva, y reglas para derivar funciones como polinomios, exponenciales, sumas, productos y cocientes. Contiene ejemplos ilustrativos para aplicar estas reglas y calcular derivadas.
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Derivadas
1. 1 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
2.1.3 Derivadas
2.1.3.1 1Introducción.- El concepto de derivada tiene su origen relacionado con la
tangente geométrica a una curva plana y con el concepto físico de la velocidad.
Una esfera que está cayendo es un ejemplo de un cuerpo que cambia de
velocidad en cada instante, supongamos que se obtuvieron los siguientes datos:
● t(seg.) d(m)
P ●
180 m 0 0
Q’’’ ● 1 5
2 20
Q’’ ● 3 45
4 80
Q’ ● 5 125
6 180
Q ●
Al graficar los números tabulados obtenemos la curva parabólica
d (m)
Q(6,180)
Q’(5,125)
Q’’(4,80)
Q’’’(3,45)
P(2,20)
t (seg.)
Si el cuerpo se mueve de P(2,20) hasta Q(6,180), su velocidad media es:
_ d − d o ∆d 180 − 20 160
v= = = = = 40m / seg
t − to ∆t 6−2 4
1
Introducción al Cálculo (Edipime)
2. 2 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
↔
En la gráfica, este valor representa la pendiente de la recta secante PQ .
Si el cuerpo se mueve desde P hasta Q’ su velocidad media es:
_
∆d 125 − 20 105
v= = = = 35m / seg
∆t 5−2 3
↔
Este valor representa la pendiente de la recta secante PQ' , en la misma forma
cuando se mueve de P hasta Q’’ y de P hasta Q:
_
∆d 80 − 20 _
∆d 45 − 20
v= = = 30m / seg y v = = = 25m / seg
∆t 4−2 ∆t 3− 2
↔ ↔
Estos valores representan las pendientes de la rectas secantes PQ' ' y PQ' ' ' .
Las velocidades medias: 40 m/seg., 35 m/seg., 30 m/seg., 25 m/seg., pendientes
↔ ↔ ↔ ↔
de las rectas secantes PQ , PQ' , PQ' ' , PQ' ' ' , se acercarán en estos diferentes
pasos a la definición de velocidad instantánea en el punto P.
↔
En el límite cuando Q' ' ' se confunde con P., la recta secante PQ' ' ' se transforma
en la “recta tangente” a la curva en el punto P y la velocidad instantánea es la
pendiente de la recta tangente en el punto P.
2.1.3.2 2Interpretación geométrica
y= f(x)
Q( x + ∆x, y + ∆y )
T
P ( x, y ) ∆y
∆x
∆y
La figura muestra que es la pendiente de la secante que une un punto fijo
∆x
P( x, y ) cualquiera de la curva con otro Q( x + ∆x, y + ∆y ) . Cuando ∆x → 0 , P
permanece fijo y Q se mueve sobre la curva acercándose a P; la recta PQ va
2
Cálculo (Schaums)
3. 3 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
girando alrededor de P hasta que llega a su posición límite que es la tangente PT
a la curva en el punto P.
dy
Así pues dx es la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) en el punto P
La pendiente de la recta tangente en el punto P es:
lim ∆y
m tan = ó
∆x → 0 ∆x
lim f ( x + h) − f ( x )
m tan = cuando el límite existe.
h→0 h
2.1.3.2 Calculo de la derivada
Se puede calcular la derivada de una función por dos métodos:
a) Por definición de límite
b) Por reglas.
2.1.3.2.1 Calculo de la derivada por definición de límite
Para calcular la derivada de una función por la 3definición de límite, se pueden
seguir los siguientes cuatro pasos:
Dada la función y = f (x)
1. Determinar f ( x + h)
2. Efectuar f ( x + h) − f ( x)
f ( x + h) − f ( x )
3. Dividir por h para obtener:
h
4. Calcular el límite cuando h → 0 para obtener m
lim f ( x + h) − f ( x )
m=
h→0 h
2.1.3.2.1.1 Ejemplos
a) Hallar la derivada de y = x 2
3
Introducción al Cálculo (Edipime)
4. 4 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
Aplicamos el método:
1. Determinar f ( x + h)
f ( x + h) = ( x + h) 2
2. Efectuar f ( x + h) − f ( x)
( x + h) 2 − x 2
f ( x + h) − f ( x )
3. Dividir por h para obtener:
h
( x + h) 2 − x 2
h
4. Calcular el límite cuando h → 0 para obtener m
lim f ( x + h) − f ( x )
m=
h→0 h
( x + h) 2 − x 2
lim
m=
h→0 h
lim x 2 + 2 xh + h 2 − x 2
m= , desarrollando el cuadrado del binomio
h→0 h
2 xh + h 2
lim
m= , sacando factor común h
h→0 h
lim h( 2 x + h)
m= , simplificando
h→0 h
lim
m= 2 x + h , evaluamos el límite
h→0
lim
m= = 2x + 0
h→0
m = 2x
b) Hallar la derivada de f ( x) = 2 x + 3
Aplicamos el método:
1. Determinar f ( x + h)
5. 5 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
f ( x + h) = 2( x + h) + 3
2. Efectuar f ( x + h) − f ( x)
[2( x + h) + 3] − [2 x + 3]
f ( x + h) − f ( x )
3. Dividir por h para obtener:
h
[2( x + h) + 3] − [2 x + 3]
h
4. Calcular el límite cuando h → 0 para obtener m
lim f ( x + h) − f ( x )
m=
h→0 h
lim [2( x + h) + 3] − [2 x + 3]
m=
h→0 h
lim 2 x + 2h + 3 − 2 x − 3
m= , destruyendo paréntesis
h→0 h
lim 2h
m= , términos semejantes
h→0 h
lim
m= 2 , simplificando
h→0
lim
m= 2 , evaluamos el límite
h→0
m=2
c) Hallar la derivada de f ( x) = x
Aplicamos el método:
1. Determinar f ( x + h)
f ( x + h ) = ( x + h)
6. 6 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
2. Efectuar f ( x + h) − f ( x)
x+h − x
f ( x + h) − f ( x )
3. Dividir por h para obtener:
h
x+h − x
h
4. Calcular el límite cuando h → 0 para obtener m
lim f ( x + h) − f ( x )
m=
h→0 h
lim x+h − x
m=
h→0 h
lim x+h − x x+h + x
m= * , multiplicamos por la conjugada
h→0 h x+h + x
lim ( x + h)2 − ( x)2
m= , factorando la diferencia de cuadrados
h → 0 h( x + h + x )
lim x+h−x
m= , simplificando
h → 0 h( x + h + x )
lim h
m= , simplificando
h → 0 h( x + h + x )
lim 1
m= , simplificando
h → 0 ( x + h + x)
lim 1 1 1
m= = = = , evaluando el límite
h→0 ( x + 0 + x) ( x + x) 2 x
1
m=
2 x
7. 7 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
2x − 3
d) Hallar la derivada de f ( x) =
3x + 4
Aplicamos el método:
5. Determinar f ( x + h)
2( x + h) − 3
f ( x + h) =
3( x + h) + 4
6. Efectuar f ( x + h) − f ( x)
[2( x + h) − 3] [2 x − 3]
−
[3( x + h) + 4] [3x + 4]
f ( x + h) − f ( x )
7. Dividir por h para obtener:
h
[2( x + h) − 3] [2 x − 3]
−
[3( x + h) + 4] [3x + 4]
h
8. Calcular el límite cuando h → 0 para obtener m
lim f ( x + h) − f ( x )
m=
h→0 h
[2( x + h) − 3] [2 x − 3]
−
lim [3( x + h) + 4] [3x + 4]
m=
h→0 h
[2 x + 2h − 3] [2 x − 3]
−
lim [3x + 3h + 4] [3x + 4]
m= , destruyendo paréntesis
h→0 h
[3x + 4][2 x + 2h − 3] − [3x + 3h + 4][2 x − 3]
lim [3x + 3h + 4][3x + 4]
m= , sacando mcm
h→0 h
6 x 2 + 6 xh − 9 x + 8 x + 8h − 12 − [6 x 2 − 9 x + 6 xh − 9h + 8 x − 12]
lim [3 x + 3h + 4][3x + 4]
m= h ,
h→0
8. 8 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
6 x 2 + 6 xh − 9 x + 8 x + 8h − 12 − 6 x 2 + 9 x − 6 xh + 9h − 8 x + 12
lim [3 x + 3h + 4][3 x + 4]
m= h ,
h→0
8h + 9h
lim [3x + 3h + 4][3x + 4]
m= h , términos semejantes
h→0
17h
lim [3x + 3h + 4][3x + 4]
m= h , términos semejantes
h→0
1
17h
lim [3x + 3h + 4][3x + 4]
m= h , simplificamos
h→0
1
lim 17
m= [3x + 3h + 4][3x + 4] , simplificamos
h→0
lim 17 17 17
m= = =
[3x + 3(0) + 4][3x + 4] [3x + 4][3x + 4] [3x + 4] 2 , evaluamos el límite
h→0
17
m=
[3x + 4] 2
2.1.3.2.1.2 Ejercicios propuestos
9. 9 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
1
1. Hallar la derivada de y= 2 x + 1 , Sol.
2x + 1
3 1
2. Hallar la derivada de y= x , Sol.
3 x2
3
3. Hallar la derivada de y= x 2 + 3x + 5 , Sol. 2 x + 3
1 + 2x 1
4. Hallar la derivada de y= , Sol.
1 − 2x 2( x + 1) 2
2.1.3.2.2 Calculo de la derivada por reglas
4
En los ejercicios anteriores se calculó la derivada por la definición dada de límite,
este procedimiento es bastante laborioso. Sin embargo se pueden encontrar
reglas que permiten calcular las derivadas fácilmente sin usar los pasos dados por
la definición de límite.
5
Las funciones que aparecen en el cálculo elemental son, en general, derivables
en sus intervalos de definición, pudiendo no serlo en algún punto aislado
La nomenclatura que usaremos será:
dy
, f ' ( x) , y '
dx
Algunas de las reglas que usaremos serán:
1. Derivada de una función constante
f ( x) = c , donde c es una constante
f ' ( x) = 0
2. Derivada de una función elevada a un exponente
Si f ( x) = x n , para algún número natural, entonces:
4
f ' ( x) = nx n −1
Introducción al Cálculo (Edipime)
5
Cálculo (Schaums)
10. 10 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
3. Derivada de una función lineal
Si f ( x) = x , la derivada de la función lineal es 1:
f ' ( x) = 1
4. Derivada de una suma de funciones
Si f y g son derivables en x , entonces f + g es también derivable en
x , y:
( f + g )' ( x) = f ' ( x) + g ' ( x)
5. Derivada de un producto de funciones
Si f y g son derivables en x , entonces f * g es también derivable en
x , y:
( f * g )' ( x) = f ' ( x) g ( x) + g ' ( x) f ( x)
6. Caso especial del producto: cuando una función es constante
[cf ( x)]' = c * f ' ( x)
7. Derivada de un Cociente de funciones
f
Si f y g son derivables en x y g ( x) ≠ 0 , entonces es derivable en x ,
g
y:
f f ' ( x) g ( x) − g ' ( x) f ( x)
( )' ( x) =
g [ g ( x)] 2
8. Caso especial del cociente: cuando una función es constante
c c * f ' ( x)
[ ]' = −
f ( x) [ f ( x)] 2
2.1.3.2.2.1 Ejemplos
11. 11 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
Hallar la derivada de:
a) f ( x) = 5 x 4 , (Regla 6, constante por función)
[cf ( x)]' = c * f ' ( x)
f ' ( x) = 5 * 4 x 4 −1
f ' ( x) = 20 x 3
b) f ( x) = x 3 + x , (Reglas 2 y 3, función elevada a exponente y función lineal)
f ' ( x) = nx n −1 y f ' ( x) = 1
f ' ( x) = 3x 2 −1 + 1
f ' ( x) = 3 x 2 + 1
1
c) g ( x) = , (Regla 8, caso especial de cociente de funciones)
5x − 3
2
c c * f ' ( x)
[ ]' = −
f ( x) [ f ( x)] 2
1(5 x 2 − 3)'
g ' ( x) = −
(5 x 2 − 3) 2
1(5 * 2 x 2 −1 − 0)
g ' ( x) = −
(5 x 2 − 3) 2
1(10 x)
g ' ( x) = −
(5 x 2 − 3) 2
10 x
g ' ( x) = −
(5 x 2 − 3) 2
d) h( x) = ( x 2 + 2)(3 x − 1) , (Regla 5, producto de funciones)
( f * g )' ( x) = f ' ( x) g ( x) + g ' ( x) f ( x)
12. 12 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
h' ( x) = ( x 2 + 2)' (3x − 1) + (3x − 1)' ( x 2 + 2)
h' ( x) = (2 x 2 −1 + 0)(3x − 1) + (3 − 0)( x 2 + 2)
h' ( x) = (2 x)(3x − 1) + (3x)( x 2 + 2)
h' ( x) = (6 x 2 − 2 x) + (3x 2 + 6)
h' ( x ) = 6 x 2 − 2 x + 3 x 2 + 6
h' ( x ) = 9 x 2 − 2 x + 6
3x 2 + 1
e) t ( x) = 2 , (Regla 7, cociente de funciones)
5x − 2
f f ' ( x) g ( x) − g ' ( x) f ( x)
( )' ( x) =
g [ g ( x)] 2
(3x 2 + 1)'*(5 x 2 − 2) − (5 x 2 − 2)'*(3 x 2 + 1)
t ' ( x) =
(5 x 2 − 2) 2
(3 * 2 x 2 −1 + 0) * (5 x 2 − 2) − (5 * 2 x 2 −1 − 0)(3x 2 + 1)
t ' ( x) =
(5 x 2 − 2) 2
(6 x) * (5 x 2 − 2) − (10 x)(3x 2 + 1)
t ' ( x) =
(5 x 2 − 2) 2
(30 x 3 − 12 x) − (30 x 3 + 10 x)
t ' ( x) =
(5 x 2 − 2) 2
30 x 3 − 12 x − 30 x 3 − 10 x
t ' ( x) =
(5 x 2 − 2) 2
30 x 3 − 12 x − 30 x 3 − 10 x
t ' ( x) =
(5 x 2 − 2) 2
− 22 x
t ' ( x) =
(5 x 2 − 2) 2
2.1.3.2.2.2 Ejercicios propuestos
13. 13 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
1. Hallar la derivada de y = 4 + 2 x − 3x 2 − 5 x 3 + 8 x 4 + 9 x 5 ,
Sol. 2 − 6 x − 15 x 2 − 32 x 3 + 45 x 4
1 2 1
2. Hallar la derivada de y = 3 3x 2 − , Sol. +
3
5x 9x 2 x 5x
3. Hallar la derivada de s = (t 2 − 3) 4 , Sol. 8t (t 2 − 3) 3
4. Hallar la derivada de y= y = ( x 2 + 4) 2 (2 x 3 − 1) 3 ,
Sol. 2 x( x 2 + 4)(2 x 3 − 1) 2 (13x 3 + 36 x − 2)
x+3
5. Hallar la derivada de y= x 2 +6 x + 3 , Sol.
x 2 +6 x + 3
3 − 2x − 12
6. Hallar la derivada de y= y = , Sol.
3 + 2x (3 + 2 x) 2