Este documento presenta conceptos clave sobre límites en cálculo. En primer lugar, introduce el problema de calcular la tangente a la curva y=2x^2+x-1 en el punto P(1,2). Luego, explica que el límite de una función f(x) cuando x se aproxima a un valor a es la base del cálculo diferencial. Por último, resume propiedades de límites como la continuidad y el teorema de compresión.

1. FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR ANDY MORALES VASQUEZ PERIODO 2010 - 2011 2do SEMESTRE

2. Q(x, 2x^2+x-1) Límites Tangente a Y Comenzamos con el problema de la Tangente a la curva y=2x^2+x-1, sabiendo que pasa por el punto P(1,2). P(1,2)

3. mpq 2x2+x-3 x-1 = Q(x, 2x^2+x-1) Límites Tangente a Y La variación de la pendiente de la recta secante a medida que el punto Q se aproxima al punto P, es la base fundamental del Cálculo Diferencial. P(1,2) Winplot

4. mpq 2x2+x-3 x-1 y x2-x-12 x+3 y 3x2-x-2 3x+2 = = = Límites Factorizar: Simplificar: Límites en Proyecto Descartes

5. L L L a a a Límites Escribimos: Lim f(x) = L x–›a Y decimos “el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L”, si podemos acercar arbitrariamente los valores de f(x) a L (tanto como deseemos) tomando x lo bastante cerca de a, pero no igual a a. Winplot

6. LÍMITE ACERCAMIENTO Si f(x) se acerca a un valor Lconforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir: NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

7. f(x) 5 3.5 3 x -3 -2 3 Dado el gráfico de f(x): Encuentre: EJERCICIO 1

8. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES ?

9. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

10. Evalúelos siguientes límites: EJERCICIO 2

11. EJERCICIO 3 Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:

12. EJERCICIO 4 Utilice propiedades para hallar los siguientes límites: Lim (x2+2x)sen(5x) X->0 3x d. Lim Tan(3x) X->0 2x

13. Continuidad de una Función Dícese de una función f es continua en el número a si: Continuidad en Descartes

14. TEOREMA DE LA COMPRESION En caso de que se cumpla la siguiente relación (para toda x perteneciente a algún intervalo abierto que contenga a c): y además se cumple: Entonces:

15. h(x) f(x) L g(x) c TEOREMA DE LA COMPRESION y x

16. 1. Si 2. Dada la función g(x)=xsen(1/x). Estime : (trabaje gráficamente) PROBLEMA 1

17. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO Cuando se habla del Límite de una función cuando X tiende a Infinito: Quiere decir que para todo ε > 0 existe un A que pertenece a los R+, tal que si X>A, entonces: ׀ f(x)-L ׀ < ε

18. LÍMITES INFINITOS Y LÍMITES AL INFINITO

19. LÍMITES TRIGONOMETRICOS Evalúe los siguientes límites utilizando propiedades y límites notables:

20. REFLEXIÓN “La mayoría de la gente se da por vencida cuando están a punto de alcanzar el éxito” Napoleón Bonaparte