El documento presenta información sobre el Teorema de Green, el cual vincula una integral doble sobre una región plana R con una integral de línea con respecto a una curva C que es la frontera de R. Explica que una curva es cerrada y simple si el punto inicial y final coinciden y no se corta consigo misma, y es suave a trozos si puede dividirse en subintervalos donde es suave. Finalmente, enuncia el Teorema de Green y presenta una demostración del mismo.

1. Teoremas Integrales
1-Teorema de Green:
Dentro de los Teoremas integrales se desarrolló el Teorema de Green, el cual permitió modelar
diversas situaciones en el marco de las teorías de electricidad magnetismo y el análisis de
fluidos.
¿Bajo que condiciones una curva plana C definida por una fu
cerrada?
Una curva plana C definida por una función vectorial

2. es CERRADA si el punto
y el punto coinciden
Explique el significado de curva cerrada y simple.
función vectorial r(t)=(x(t),y(t))
es
Una curva CERRADA y SIMPLE es aquella que no se corta consigo misma y el punto inicial coincide
con el punto final
Explique el significado de curva suave a trozo.
Una curva plana C dada por
continuas en [a ,b], Similarmente, una curva C en el

3. simultáneamente nulas en (a, b).
Una curva C es SUAVE A TROZOS (o por partes) si el intervalo [a, b] puede dividirse en un numero
finito de sub-intervalos, en cada uno de los cuales C es suave
C es suave a trozos
Complete los siguientes enunciados:
Una curva en el plano, cerrada y simple C, suave a trozo, tiene
orientación positiva si está orientada en sentido anti
Una curva en el plano cerrada y simple tiene orientación negativa
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS –
Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
GREEN’S THEOREM – BY GERARDO

4. , es SUAVE si
espacio dada por la siguiente función en R
es SUAVE si
son continuas en [a,b] y no
anti-horario
Page 1
son
R3

5. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
si está orientada en sentido anti-horario
Una región plana R es SIMPLEMENTE CONEXA si su frontera consiste en una curva cerrada
simple
Indique que tipo de integrales vincula el Teorema de Green
El Teorema de Green vincula una INTEGRAL DOBLE sobre una región plana R con una INTEGRAL
DE LÍNEA con respecto a una curva C que es una frontera de R.
Tipos de integrales, conceptos básicos
Integral Simple Integral Doble Integral de Línea
Integra en el intervalo [a, b] Integra una región en el
plano R
Integra sobre una curva
suave a trozos C
!
#
$
%
# !
#'
Enuncie el Teorema de Green (we’ll do that three times, just for the sake of practice)
Sea R una región del plano simplemente conexa cuyo contorno es una curva C suave a trozos y
orientado en sentido positivo. Si M(x, y) y N(x, y) son continuas y tienen derivadas parciales
continuas en R y su frontera C, entonces
!(
+)
+
# )# $*
,
+(
+
-
%
#
En sus apuntes o en el texto encontrará la demostración del Teorema de Green. Léala
atentamente y trate de reproducirla justificando cada paso.
Demostración: Se hará la demostración para una región que es vertical y horizontalmente simple
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 2

6. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
La demostración consiste en probar que
!(
# ,$
+(
+
%
# !)
# $
+)
+
%
#
Como R es y simple en el grafico derecho donde es verticalmente simple
R= {(x, y) / f1(x) ≤ y ≤ f2(x), a ≤ x ≤ b}
Su frontera consta de 2 curvas C1 y C2 y al estar C1 parametrizada por x

7. . / y
sobre la curva y C2 parametrizada como

8. . 0 tenemos lo siguiente
!(
# !(
1
# !(
2
# !(
/# !(
0#
!(
/# , !(
0#
Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral
iterada
$
+(
+
%
# ! !
+(
+
32
31
## !4(
531
32
# !6(
0 ,(
/7
#
Por consiguiente
!(
# ,$
+(
+
%
#
De manera análoga, considerando a R como x simple, a C1 y C2 la consideramos parametrizada por y
8
# . 9/ y sobre la curva y C2 parametrizada como 8
# . 90
!)
# !)
1
# !)
2
# !)
:
:
9/
# !)
90
#
!)
:
9/
# , !)
:
90
#
Por otra parte, por el teorema de Fubini, podemos evaluar la integral doble como una integral
iterada
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 3

9. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
$
+)
+
%
# ! !
+)
+
;2
;1
:
## !4)
5;1
;2
:
# !)9/
, )90
=
:
#
,!)90
, )9/
=
:
# ,! !
+)
+
;2
;1
:
#
Por consiguiente
!)
# ,$
+)
+
%
#
Demostración II
!
# ,$
+
+
?
# !@
# $
+@
+
?
#
Demostraremos la primera ecuación tomando a D como una región tipo 1
D= {(x, y) / g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b}
Donde g1 y g2 son funciones continuas. Esto nos permite calcular la integral doble en la parte
derecha de la segunda ecuación como sigue:
$
+
+
?
# ! !
+
+
A2
A1
## !6
B0 ,
B/7
#
Donde el último paso proviene del teorema fundamental del cálculo
Ahora calculamos el lado izquierdo de la ecuación 2 al dividir C como la
unión de cuatro curvas C1 C2 C3 y C 4 como la figura. En C1 tomamos a x
como el parámetro y escribimos la ecuación paramétrica como x=x, e
y=g2(x), a ≤ x ≤ b, entonces
!
C
# , !
DC
# !
B0
#
En C2 y C 4 (podríamos usar un solo punto también), x es constante, entonces dx = 0 y
!
2
# E !
F
#
Entonces
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 4

10. !
# !
# !
1
!
2
Comparando esta expresión con la ecuación
# !
C
Para completar la demostración del teorema de Green para las int
Expresando a D como región tipo II
D= {(x, y) /
Donde f1 y f2 son funciones continuas
Entonces
$
+@
+
?
32
# ! !
+@
+
32
:
##
Por el Teorema fundamental del cálculo, con referencia a la figura
G@
#
1
Entonces
Como
!@
2
#
Entonces
G@
# !@
:
Demostración III
Se quiere demostrar que
!(
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS –
Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
# !
:
+)
+
GREEN’S THEOREM – BY GERARDO
F
B/ # , !
B0
#
H 6
B0 ,
B/7
# vemos que
!
# ,$
+
+
?
#
integrales de tipo II
= f1(y) ≤ x ≤ f2(y), c ≤ y ≤ d}
!@0
, @/
=
:
#
G @
1I2ICIF
#
!@
1
# !@
/
#
!@
F
# E !@
:
0
#
@0
, @/
= # $*
+@
+
-
?
#
(# )# $*
,
+)
+
-
%
#
Page 5
#
egrales

11. !(
# !(
1
#
!(
2
6(
0 , (
/7
!6(
Por otro lado
$
+(
+
%
32
# ! !
+(
+
31
##
Por consiguiente
Para una región tipo II
!)
# !)
J1
#
!)
J2
)B0
, )B/
=
!)
:
Por otro lado
$
+)
+
%
A2
# ! !
+)
+
A1
:
##
Por consiguiente
# !(
/
# !(
0
!4( 531
32
# !6(
0 , (
!(
# ,$
+(
+
%
#
# !)B/
:
:
# !)B0
!4) 5A1
A2
:
# !)B0
, )B
:
!)
# $
+)
+
%
#
Los siguientes ejercicios muestran dos casos en los cuales el
cálculo de una integral doble resulta más sencillo que el cálculo
de una integral de línea. Calcule las siguientes
integrales
aplicando el Teorema de Green
Evalúe H KL
M NK KONO, donde C es la curva triangular
formada por los segmentos de recta de (0,0) a (1,0), de (1,0) a
(0,1) y de (0,1) a (0,0)
La región D limitada por C es simple y tiene orientación positiva
Dados P(x, y)=x4 y Q(x, y)=xy, entonces tenemos
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS –
Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
GREEN’S THEOREM – BY GERARDO
Page 6
#
/7 #
#
B/
= #

12. !P
# # $
+@
+
$*
?
/
!Q
R
S
0e
T
Evalúe H UO , VWVXK M NK YZK
La región D limitada por C es el disco
luego de aplicar el teorema de Green
G[ , ]^_
# Y` a
b
0c
! !` , [
T
T
,
+
+
/D
/
- # ! ! , E
T
f/D
fT
#
R
S
/
!R , 0
T
0c
¿Qué entiende por una región simplemente conexa?
Una región plana R es Simplemente Conexa
T
##
# 4,
R
g
b
/
Aplique el Teorema de Green para encontrar una expresión que me permita encontrar el área
de una región plana D limitada por una curva cerrada, suave C.
Una aplicación de la aplicación inversa del teorema de green es el calculo de áreas. Como el área
de D es d R# ? , podríamos elegir los valores de P y Q de tal forma que
Entonces el Teorema de Green se reduce a
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS –
Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
GREEN’S THEOREM – BY GERARDO
R , bh
aOL ij NO donde C es el círculo x2 y2 +
0 0
k, entonces cambiemos a coordenadas polares
aP Rj # $Q
+
+
Y` aP Rj ,
+
+
[
?
##l m! #l
T
!
T
# [gn
si su frontera consiste en una curva cerrada simple.
+@
+
,
+
+
R
Page 7
h
T
R
g
= 9 .
, ]^_e #

13. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
!
# @# $*
+@
+
,
+
+
- #
%
!
# @# $R#
%
!
# @# !(
# )#

14. #o

15. Bpqrs
Si elegimos a ( ,
0 ) @
0
, se produce la siguiente integral de línea para el
área de la región R del plano acotada por la curva simple C, cerrada y suave a trozos, orientada
positivamente:
G
# ,G
#
R
S
G
# , #
Ejemplo: encontrar el área dentro de la elipse 2
2 2
2 R
Solución: ecuaciones parametricas de la elipse x=a cos t e y=b sen t, donde E
Sn
R
S
!
# , #
R
S
0c
!

16. tuv tuv
T
# , vwx ,

17. vwx #

18. S
0c
! #
T
n

19. Aplique el Teorema de Green para demostrar el siguiente Teorema:
Teorema: “ Sea F= Mi + Nj un campo vectorial sobre una región D abierta y simplemente
conexa. Supongamos que M y N tienen derivadas continuas de primer orden y
yz
y{
en toda la región D. Entonces F es conservativo.
yO yK
Un campo vectorial es conservativo si yz
yO y{
yK
por lo que podemos observar en el Teorema de
Green que:
!(
+)
+
# )# $*
,
+(
+
-
%
# !|
# !(
# )#
!|
# $*
+)
+
,
+(
+
-
%
#
+)
+
,
+(
+
E
!|
# E .|
}8qr}~

20. p~q
Exprese la forma vectorial del Teorema de Green e indique que expresan dichas formas.
Formas vectoriales del Teorema de Green
-I-
!|
+)
+
# $*
,
+(
+
-
%
# $q|
%
#
La primera forma vectorial del teorema de Green relaciona a la integral de línea a lo largo de C
(donde C es la frontera de la región R) con la integral doble, sobre la región R mediante el rotacional
del campo de vectores |
La generalización de esta forma del teorema de Green a tres dimensiones
constituye el teorema de Stokes.
-II-
!|
+)
+
)
#' $*
,
+(
+
-
%
# $#p~|
%
#
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS – GREEN’S THEOREM – BY GERARDO Page 8

21. La segunda forma vectorial del Teorema de Green relaciona a la integral de línea a lo larg
con la integral doble sobre la región R mediante la divergencia del campo de vectores
generalización de esta forma vectorial del teorema de Green, constituye el Teorema de la
Divergencia o Teorema de Gauss
-Superficies Paramétricas:
¿Qué es una superficie paramétrica S?
Sean X, Y, Z funciones de u y v continuas en un dominio D del plano
Paramétrica al conjunto de los puntos (x, y, z) dados por:
~ €
~ €
~ €
~
€
~
largo de C
FV. Se llama Superficie
¿Cómo está determinada la ecuación ción paramétrica
de la superficie S?
Si S es una superficie paramétrica determinada por la función vectorial r, conforme el punto (u, v) se
mueve por el dominio D, el vector posición r(u, v) traza la superficie S (un vector que con la punta
barre una determinada superficie punto por punto, como una boleadora mas o menos)
¿A qué ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas de la superficie S?
Se llama Ecuaciones Parametricas de la Superficie S a las ecuaciones:
Identifique y trace la superficie la superficie paramétrica
dada por
r(u,v)= 2 cos ui + vj + 2 sen k. 
S tuv €
4
‚
S vƒx €
„ 0
Encuentre las representaciones paramétrica de las siguientes superficies:
Un plano que pasa por el punto Po
T
€
~ R
Una esfera de radio a y centro en el origen
al pasar a coordenadas esféricas

22. vwx …
…
l

23. La mitad superior del cono z 2 = 4
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS –
Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
GREEN’S THEOREM – BY GERARDO
minada €
~ €
~ €
~
†
‡ˆ
‰
Š
0 S0
y contiene a los vectores no paralelos a y b.
R
R
R

24. ‹S
,R
mŒ ‹E
[
Œ
S€ R , € [~ R m€ ~
K‡ O‡ Ž‡ ‡
tuv l

25. vwx … vƒx l

26. tuv …
vƒx… tuv l p

27. vwx … vƒx l 

28. tuv…
4x2 + 4 y 2
Page 9
|
La

29. Si consideramos a x e y como parámetros tenemos
Sa0 0
p  Sa0 0
Como coordenadas polares
l vƒx l Sa0 0 S
l tuv l p vƒx l  S
tuv
Obtenga el vector normal a una superficie paramétrica suave S.
Sea S una superficie paramétrica suave definida por
€
~
~ €
~p €
~ €
~
Sobre una región D en el plano uv. Sea
Un vector normal a S en el punto
T
T
Viene dado por
T €T
~T
€T
~T
€T
~T
€T
~T “ ” €T
~T ’ ’
) ‘
€T
~T un punto en D
p 
+
+€
+
+€
+
+€
+
+~
+
+~
+
+~
’ ’
Obtenga la ecuación del plano tangente a una superficie paramétrica S.
Sea S una superficie paramétrica suave definida por
€
~
~ €
~p €
~ €
~
Sea )€T
~T el vector normal a la superficie
T
T
Y )€
~ está definido por
)€
~ ’ ’
p 
+
+€
+
+€
+
+€
+
+~
+
+~
+
+~
’ ’
T €T
~T
€T
~T
€T
~T
*
S en el punto T
T
T con:
*
+
+€
+
+~
,
+
+€
+
+~
+
+€
- , *
+
+~
,
+
+€
+
+~
-
*
Al evaluar )€T
~T podemos establecer la Ecuación del Plano Tangente de la superficie S como:
CHAPTER 8 VECTOR CALCULUS –
Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
GREEN’S THEOREM – BY GERARDO
+
+€
Page 10
+
+~
,
+
+€
+
+~
-

30. Maaaatttthhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss
+
+€
*
+
+~
,
+
+€
+
+~
- , T , *
+
+€
+
+~
,
+
+€
+
+~
+
+€
- , T *
+
+~
,
+
+€
+
+~
- , T
Otra forma de definir al plano es con la definición de plano tangente que esta dado por
‹ , T
, T
, TŒ X 
€T
~T para (x, y, z), si ) ‹r/
r0
rbŒ r/p r0 rb; quedando la formula:
Al evaluar )
r/ , Tp r0 , T rb , T
Calcule el área de una superficie paramétrica suave S.
Sea S una superficie paramétrica suave
€
~ €
~ €
~ €
~
Definida sobre una región abierta D del plano uv. Si cada punto de la superficie S corresponde
exactamente a un punto del dominio D, se define al área de la superficie como:
'

31. #o