Este documento introduce conceptos básicos sobre curvas en el plano y en el espacio. Explica que una curva diferenciable está dada por una función continua y derivable que mapea un intervalo de números reales a puntos en R2 o R3. Define conceptos como parametrización, vector tangente, recta tangente y longitud de una curva. Incluye ejemplos como rectas, circunferencias, hélices y curvas con autointersecciones o picos.

1. Cap´
ıtulo 1
Curvas en el plano y en el espacio.
1.1. Curvas diferenciables. Parametrizaciones.
Una idea intuitiva de curva es la trayectoria en el espacio de una part´ ıcula en mo-
vimiento. En cada instante la part´ ıcula estar´ en un lugar concreto, lugar que depende
a
de un par´metro (que podemos ver como la variable tiempo), y la trayectoria es suave.
a
Con m´s rigor, una curva diferenciable (parametrizada) es una aplicaci´n diferenciable1
a o
α : I ⊂ R → R3 , donde I es un intervalo abierto de la recta real (I podr´ ser no acotado).
ıa
Diremos que la curva α es plana cuando exista un plano af´ Π de R3 que contenga a
ın
la imagen de α (tambi´n llamada traza de α), a la que denotaremos por Im(α). En este
e
ultimo caso, salvo un movimiento r´
´ ıgido podemos suponer que Π = {z = 0} y entonces α
puede verse como aplicaci´n α : I → R2 , omitiendo la tercera componente.
o
Volvamos al caso general. Escribiendo α en componentes, tenemos
α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I,
donde x, y, z son funciones reales de variable real, infinitamente derivables en I. La variable
t se llama el par´metro de la curva. El vector tangente o velocidad de α en t ∈ I es
a
1
α (t) = (x (t), y (t), y (t)) = l´
ım (α(t + h) − α(t)) ∈ R3 .
h→0 h
La recta tangente a α t es la recta af´ de R3 que pasa por α(t) en la direcci´n de α (t),
ın o
es decir {α(t) + λα (t) | λ ∈ R} (para que esto sea una recta debemos imponer α (t) = 0).
Esta recta af´ es la mejor aproximaci´n lineal de α en el punto α(t).
ın o
Ejemplos.
1
Por diferenciable entendemos de clase C ∞ .
1

2. 2 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
Figura 1.1: H´lice circular.
e
1. Recta af´ Dados p, v ∈ R3 , v = 0, consideremos la curva diferenciable α : R → R3
ın.
dada por α(t) = p + tv, t ∈ R. La traza de α es la recta af´ de R3 que pasa por
ın
p en la direcci´n de v, y α recorre esta recta a velocidad constante v. N´tese que
o o
cambiamos v por 2v, entonces β(t) = p + 2tv tiene la misma traza que α, pero se
recorre al doble de velocidad: β (t) = 2v = 2α (t), para todo t ∈ R.
2. Circunferencia. Dados c ∈ R2 y r > 0, sea α : R → R2 la aplicaci´n dada por
o
α(t) = c + r(cos t, sin t). α es una curva diferenciable plana, cuya traza es la circun-
ferencia de centro c y radio r.
3. Helice circular. Sean a, b ∈ R − {0}. Consideremos la curva diferenciable α : R →
´
R3 dada por α(t) = (a cos t, a sin t, bt). Notemos que la proyecci´n de α sobre el plano
o
(x, y) es una circunferencia de radio |a|, mientras que su tercera componente crece
linealmente, proporcionalmente a b. Otra propiedad geom´trica de α es que las rectas
e
tangentes a α forman un ´ngulo constante con una direcci´n fija del espacio, en este
a o
caso con la direcci´n vertical. V´ase la Figura 1.1.
o e
4. Consideremos la curva α(t) = (t2 , 0, 0) definida en I = R. Es claro que la traza de α
es el semieje {(x, 0, 0) | x ≥ 0}, y que el punto α(t) recorre dicho semieje viniendo
desde (+∞, 0, 0) (para t = −∞) para acercarse a (0, 0, 0) = α(0) perdiendo velocidad
(porque α (t) = (2t, 0, 0)). En el instante t = 0 la curva cambia de sentido y vuelve
a marcharse en direcci´n a (+∞, 0, 0) cuando t → +∞, adquiriendo cada vez m´s
o a
velocidad.
5. Consideremos ahora α(t) = (t3 , t2 , 0), t ∈ R, que es una curva diferenciable plana
contenida en Π = {z = 0}. La traza de α es el conjunto {(x, y, 0) | y = x2/3 }, v´ase
e

3. 1.1. CURVAS DIFERENCIABLES. PARAMETRIZACIONES. 3
Figura 1.2: Traza de la curva α(t) = (t3 , t2 , 0), t ∈ R.
la Figura 1.2. Este ejemplo muestra que aunque α sea diferenciable, su traza puede
presentar picos. Esto ocurre exactamente para α(0) = (0, 0, 0), donde α (0) = 0.
6. Una curva puede tener autointersecciones, como le pasa a la curva plana α(t) =
(t3 − 4t, t2 − 4), t ∈ R de la Figura 1.3.
7. Aunque una curva carezca de intersecciones, no tiene porqu´ ser un homeomorfismo
e
sobre su imagen. Esto es lo que le ocurre al folium de Descartes α : (−1, ∞) → R2 ,
3t 3t2
α(t) = 1+t3 , 1+t3 (Figura 1.4).
Una curva diferenciable α : I ⊂ R → R3 se dice regular si α (t) = 0 para todo t ∈ I.
Si α : I ⊂ R → R3 es una curva diferenciable y h : J → I un difeomorfismo (en
particular, J ha de ser otro intervalo), entonces la aplicaci´n β = α ◦ h : J → R3 vuelve a
o
ser una curva diferenciable, a la que llamaremos reparametrizaci´n de α (a h se le llama
o
cambio de par´metro). Observemos que las trazas de α y de β coinciden y que
a
(1.1) β (t) = h (t)α (h(t)),
para todo t ∈ J. De (1.1) se deduce que α es regular si y s´lo si β es regular, y que la
o
recta tangente a α en h(t) coincide con la recta tangente a β en t. La reparametrizaci´no
se llama directa si h (t) > 0 para todo t ∈ J (equivalentemente, si existe t ∈ J tal que
h (t) > 0) e inversa si h (t) < 0 para todo t (o para alg´n t). Al ser h un difeomorfismo y
u
J conexo, s´lo puede darse una de estas dos posibilidades.
o

4. 4 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
Figura 1.3: Curva con autointersecciones.
Figura 1.4: Folium de Descartes.

5. ´
1.2. LONGITUD DE UNA CURVA. PARAMETRO ARCO. 5
Figura 1.5: Poligonal inscrita en α|[a,b] .
1.2. Longitud de una curva. Par´metro arco.
a
Sea α : I ⊂ R → R3 una curva diferenciable y [a, b] ⊂ I. Queremos definir la longitud de
α en el intervalo [a, b] y para ello vamos a medir la longitud de poligonales que aproximen
a α|[a,b] de una forma natural. Consideremos todas las poligonales inscritas en α|[a,b] , es
decir, obtenidas uniendo puntos α(ti ) en la traza de α mediante segmentos, donde los
valores ti del par´metro se mueven en una partici´n de [a, b] (ver Figura 1.5). La longitud
a o
de cada una de estas poligonales es f´cil de calcular: simplemente sumaremos pi − pi−1 ,
a
donde pi−1 , pi son cualesquiera v´rtices consecutivos de la poligonal. Cuanto mayor sea el
e
n´mero de puntos de la partici´n, mejor ser´ la aproximaci´n de α por poligonales. Cuando
u o a o
el n´mero de segmentos tienda a infinito, las longitudes de las poligonales converger´n a
u a
un n´mero real, que ser´ la longitud de α. Veamos todo esto rigurosamente.
u a
Sea P = {t0 = a < t1 < . . . < tn = b} una partici´n del intervalo [a, b]. Denotemos por
o
n
L(α, P ) = α(ti ) − α(ti−1 ) , P = m´x{ti − ti−1 | 1 ≤ i ≤ n}.
a
i=1
Sea P el conjunto de la tales particiones de [a, b]. Notemos que si P1 , P2 ∈ P y P1 ⊂ P2 ,
entonces L(α, P1 ) ≤ L(α, P2 ).
Definici´n 1.2.1 En la situaci´n anterior, se define la longitud de la curva α desde a
o o
hasta b como
L(α)b = sup{L(α, P ) : P ∈ P}.
a
Para que la definici´n de longitud tenga sentido, debe existir el supremo anterior (es decir,
o
debe ser finito).
Proposici´n 1.2.1 Si α : I ⊂ R → R3 es una curva diferenciable y [a, b] ⊂ I, entonces
o
b existe y vale
L(α)a
b
(1.2) L(α)b =
a α (t) , dt.
a

6. 6 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
Demostraci´n. Primero veamos que L(α)b es finito. Dada una partici´n P ∈ P, la regla
o a o
de Barrow nos permite escribir
n ti n ti
(1.3) L(α, P ) = α (t) dt ≤ α (t) dt.
i=1 ti−1 i=1 ti−1
Como α (t) es continua en el compacto [a, b], existe M ≥ 0 tal que α (t) ≤ M para
todo t ∈ [a, b]. Usando esto en (1.3) tenemos
n ti
L(α, P ) ≤ M dt = M (b − a).
i=1 ti−1
Como la desigualdad anterior es cierta para cualquier P ∈ P, deducimos que L(α)b existe
a
y es menor o igual que M (b − a).
Ahora veamos que (1.2) se cumple. Primero notemos que la integral de la derecha de
(1.2) tiene sentido ya que α es continua en el compacto [a, b]. Basta probar la siguiente
Afirmaci´n 1.2.1 Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si P ∈ P cumple P < δ, entonces
o
b
L(α, P ) − α (t) dt < ε.
a
Demostraci´n de la afirmaci´n. Consideremos la funci´n f : I 3 → R dada por
o o o
f (t1 , t2 , t3 ) = x (t1 )2 + y (t2 )2 + z (t3 )2 .
Como f es continua en el compacto [a, b]3 ⊂ I 3 , f es uniformemente continua. Por tanto,
dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si (t1 , t2 , t3 ), (t1 , t2 , t3 ) ∈ [a, b]3 , entonces
ε
(1.4) |tj − tj | < δ ∀j = 1, 2, 3 ⇒ |f (t1 , f2 , t3 ) − f (t1 , t2 , t3 )| < .
b−a
Por otro lado, el teorema del valor medio aplicado a x(t), y(t), z(t) nos da
α(ti ) − α(ti−1 ) 2 = (x(ti ) − x(ti−1 ))2 + (y(ti ) − y(ti−1 ))2 + (z(ti ) − z(ti−1 ))2
= x (βi )2 (ti − ti−1 )2 + y (γi )2 (ti − ti−1 )2 + z (δi )2 (ti − ti−1 )2
= f (βi , γi , δi )2 (ti − ti−1 )2
para ciertos βi , γi , δi ∈ [ti−1 , ti ]. Por tanto,
n
(1.5) L(α, P ) = f (βi , γi , δi )(ti − ti−1 ).
i=1

7. ´
1.2. LONGITUD DE UNA CURVA. PARAMETRO ARCO. 7
Por otro lado, el teorema del valor medio para integrales podemos escribir
(1.6)
b n ti n n
α (t) dt = α (t) dt = α (ξi ) (ti − ti−1 ) = f (ξi , ξi , ξi )(ti − ti−1 )
a i=1 ti−1 i=1 i=1
para cierto ξi ∈ [ti−1 , ti ], 1 ≤ i ≤ n. Tomemos ahora P ∈ P tal que P < δ. En particular,
ti − ti−1 < δ para todo i, de donde |βi − ξi | < δ, |γi − ξi | < δ, |δi − ξi | < δ para todo i.
Tras sustituir (1.5),(1.6) tenemos:
b n
L(α, P ) − α (t) dt = (f (βi , γi , δi ) − f (ξi , ξi , ξi )) (ti − ti−1 ) .
a i=1
Aplicando la desigualdad triangular y (1.4), lo anterior es menor o igual que
n n
ε
|f (βi , γi , δi ) − f (ξi , ξi , ξi )| (ti − ti−1 ) < (ti − ti−1 ) = ε.
b−a
i=1 i=1
2
Veamos algunas propiedades de la longitud de curvas.
Proposici´n 1.2.2 Sea α : I ⊂ R → R3 una curva diferenciable y [a, b] ⊂ I.
o
ıgidos: si φ : R3 → R3 es un movimiento
1. La longitud es invariante por movimientos r´
b = L(α)b .
ıgido, entonces L(φ ◦ α)a
r´ a
2. La longitud es invariante por reparametrizaciones: si h : J → I es un difeomorfismo
con h([c, d]) = [a, b], entonces L(α ◦ h)d = L(α)b .
c a
3. α(b) − α(a) ≤ L(α)b (la curva m´s corta uniendo dos puntos de R3 es la l´
a a ınea
recta).
Demostraci´n. 1 es consecuencia de que si φ(x) = Ax + b con A ∈ O(3) y b ∈ R3 , entonces
o
b b
(φ◦α) (t) = Aα (t) luego L(φ◦α)b = a Aα (t) dt = a α (t) dt = L(α)b . El apartado 2
a a
es consecuencia directa de la f´rmula de cambio de variable en integraci´n. Por ultimo,
o o ´
b b
α(b) − α(a) = α (t) dt ≤ α (t) dt = L(α)b .
a
a a
2
Si α es una curva que cumple α (t) = 1 para todo t, entonces la longitud de α entre
a y b cumple Lb (α) = b − a. Es razonable decir en este caso que α est´ parametrizada por
a a
el arco (p.p.a.). Es natural plantear las siguientes dos cuestiones:

8. 8 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
¿Puede toda curva ser reparametrizada por el arco? ¿Cuantas reparametri-
zaciones por el arco admite una curva?
Es claro que si una curva valores del par´metro en los que el vector tangente se anula,
a
entonces no podr´ ser reparametrizada por el arco. As´ necesiretamos imponer a nuestra
a ı
curva que su vector tangente no se anule en ning´n punto, es decir, que la curva sea
u
regular.
Proposici´n 1.2.3 Sea α : I ⊂ R → R3 una curva regular. Entonces, existe una reparame-
o
trizaci´n por el arco directa de α. En concreto, si h : J → I es el difeomorfismo dado por
o
t
h−1 (t) = α (r) dr, t∈I
a
donde a ∈ I, entonces β = α ◦ h est´ p.p.a.
a
Demostraci´n. Notemos que al ser r ∈ I → α (r) continua, entonces su primitiva φ(t) =
o
t
a α (r) dr existe y es de clase C 1 . Como α es regular, r ∈ I → α (r) es diferenciable
luego tambi´n lo es φ en I. Como φ > 0 en I, φ es estrictamente creciente luego es un
e
difeomorfismo. Ahora h = φ−1 tiene sentido. Notemos tambi´n que φ(t) = L(α)t , aunque
e a
estamos abusando de la notaci´n porque t podr´ ser menor que a. Que β est´ p.p.a. se
o ıa a
deduce de la ecuaci´n (1.1).
o 2
En cuanto al n´mero de parametrizaciones por el arco de una curva regular dada, si β1 (s),
u
β2 (τ ) son reparametrizaciones por el arco de α = α(t), entonces β1 es una reparametri-
zaci´n de β2 , es decir existe un difeomorfismo h tal que β1 (s) = β2 (h(s)). Derivando y
o
tomando normas tendremos |h (τ )| ≡ 1 luego h(τ ) es, salvo un signo, una traslaci´n. Es-
o
to nos dice que salvo traslaciones o cambios de sentido, el par´metro arco de una curva
a
regular es unico.
´
Las parametrizaciones por el arco de la recta af´ la curcunferencia y la h´lice circular
ın, e
(con la misma notaci´n usada anteriormente) vienen dadas por:
o
v
1. α(t) = p + t v , t ∈ R.
2. α(t) = c + r (cos(t/r), sin(t/r)), t ∈ R.
t t bt
3. α(t) = a cos √ , a sin √ ,√ , t ∈ R.
a2 +b2 a 2 + b2 a2 + b2
1.3. Curvatura de curvas en el plano.
Sea α : I ⊂ R → R2 una curva plana. Queremos medir lo que la traza de α se curva
en el plano, asignando a cada uno de sus puntos un n´mero (por tanto, queremos definir
u

9. 1.3. CURVATURA DE CURVAS EN EL PLANO. 9
una funci´n κ = κ(t) del par´metro de α que mida la curvatura en α(t)). Es l´gico pedir
o a o
que κ sea constante cero en el caso de una recta, y constante no cero en el caso de una
circunferencia. Una buena aproximaci´n para definir κ es comparar la variaci´n de longitud
o o
de α alrededor de α(t) con la de su imagen esf´rica, es decir la longitud de la imagen en
e
la circunferencia unidad de α / α (necesitamos para ello que α sea regular).
Denotaremos por J : R2 → R2 al endomorfismo dado por J(x, y) = (−y, x) (giro de
90o en el sentido contrario a las agujas del reloj).
Proposici´n 1.3.1 Sea α : I ⊂ R → R2 una curva plana y regular. Entonces, para cada
o
t0 ∈ I se tiene
t0 +δ
α
L α t0 −δ | α (t0 ), Jα (t0 ) |
(1.7) l´
ım t0 +δ
= .
δ→0 L (α)t0 −δ α (t0 ) 3
Demostraci´n. Veamos primero que podemos reducirnos al caso en que α sea parametri-
o
zada por el arco. Supongamos que β es una reparametrizaci´n por el arco directa de α.
o
˙
As´ existe un difeomorfismo h tal que α = β ◦ h y h > 0. Entonces α = h β(h) de donde
ı,
˙ ˙
α
α = β(h) = β(h) , es decir, α y β(h) coinciden salvo una reparametrizaci´n. Como la
˙
˙
β(h) α ˙
β(h)
o
longitud es invariante por reparametrizaciones, deducimos que el miembro de la izquierda
de (1.7) no cambia si sustitu´
ımos α por β. En cuanto al miembro de la derecha, notemos
¨ ˙ ¨ ˙
que α = (h )2 β(h) + h β(h). Por tanto, α , Jα = (h )2 β(h) + h β(h), h J β(h) = ˙
(h ) ¨
3 β, Jβ (h) luego el miembro de la derecha de (1.7) tampoco cambia al sustituir α por
β. Por tanto, en lo que sigue supondremos que α est´ p.p.a. En tal caso,
a
t0 +δ
α
L L (α )t0 +δ t0 +δ
α t0 −δ t0 −δ 1
l´
ım t0 +δ
= l´
ım = l´
ım α (t) dt = α (t0 ) .
δ→0 L (α)t0 −δ δ→0 2δ δ→0 2δ t0 −δ
Por otro lado, derivando en α 2 = 1 obtenemos α , α = 0 luego α = λJα donde
λ = α , Jα es derivable en I. Por tanto,
| α (t0 ), Jα (t0 ) |
= |λ(t0 )| = α (t0 ) .
α (t0 ) 3
2
Por tanto, es razonable definir la curvatura de una curva regular α en t0 ∈ I (con la
notaci´n de arriba) como | α (t0 ),Jα (t0 ) | . Como este n´mero es el valor absoluto de otro,
o α (t0 ) 3
u
parece razonable dotar a la curvatura de un signo:

10. 10 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
Definici´n 1.3.1 Sea α : I ⊂ R → R2 una curva plana y regular. La curvatura de α en
o
t ∈ I se define como
α (t), Jα (t)
κ(t) = .
α (t) 3
De la demostraci´n de la Proposici´n 1.3.1 se deduce que si α = β ◦h con β p.p.a., entonces
o o
las curvaturas κα de α y κβ de β est´n relacionadas mediante
a
κα = ±κβ ◦ h,
seg´n que el cambio de par´metro h sea directo o inverso. Es f´cil probar que una recta
u a a
(con cualquier parametrizaci´n) tiene curvatura nula, y que una circunferencia de radio r
o
tiene curvatura constante 1/r dependiendo de que la parametrizaci´n la recorra en sentido
o
contrario o favorable a las agujas del reloj.
Estudiemos ahora algunas propiedades de la curvatura.
Proposici´n 1.3.2 Sea α : I ⊂ R → R2 una curva plana y regular.
o
1. Si φ : R2 → R2 es un movimiento r´
ıgido y β = φ◦α entonces κβ = ±κα , dependiendo
de que φ sea directo o inverso.
2. Si la curvatura κ de α es constante, entonces la traza de α es un segmento de recta
o un arco de circunferencia, dependiendo de κ sea cero o distinta de cero.
ıgido, es decir A ∈ O(2)
Demostraci´n. Supongamos que φ(p) = Ap + b es un movimiento r´
o
y b ∈ R2 . Entonces β = Aα y β = Aα luego
Aα , JAα ( ) Aα , AJα α , Jα
κβ = =± =± = ±κα ,
Jα 3 Jα 3 α 3
donde en ( ) hemos usado que J ◦ A = (det A).(A ◦ J) (ejercicio 2).
En cuanto al apartado 2, supongamos que κ es constante. Por el apartado 1, podemos
tambi´n suponer que α est´ p.p.a. As´ α ≡ 1 luego α , α = 0 y α = κJα . Si κ = 0,
e a ı,
entonces α = 0 luego α es una recta af´ Si κ = 0, entonces definimos la funci´n derivable
ın. o
1
c(t) = α(t) + Jα (t), t ∈ I.
κ
1 1 1
Entonces, c = α + κ (Jα ) = α + κ Jα = α + κ J(κJα ) = 0, luego c(t) = c0 es constante
en I. Ahora consideremos la funci´n derivable
o
f (t) = α(t) − c0 2 , t ∈ I.
1
Entonces, f = 2 α , α−c = −2 α , κ Jα = 0, luego f es constante. Si f es id´nticamente
e
cero entonces α ser´ constante c0 , contradicci´n. Por tanto, f ≡ r
a o 2 para cierto r ∈ R+
luego la traza de α est´ contenida en una circunferencia centrada en c0 de radio r.
a 2

11. 1.3. CURVATURA DE CURVAS EN EL PLANO. 11
En la interpretaci´n del signo de la curvatura juega un papel importante la funci´n
o o
distancia (con signo) a la recta tangente. Si R es la recta af´ en R
ın 2 que pasa por un punto
p con direcci´n v ( v = 1), dicha funci´n viene dada por
o o
f : R2 → R, f (q) = q − p, Jv .
As´ f −1 (0) = R, f > 0 en el semiplano abierto con borde R hacia el que apunta Jv y
ı,
f < 0 en el otro semiplano abierto.
Sea α : I ⊂ R → R2 una curva plana y p.p.a. Consideramos la restricci´n a los puntos
o
de la curva de la funci´n distancia a la recta tangente en t0 ∈ I:
o
h : I → R, h(t) = α(t) − α(t0 ), Jα (t0 ) .
Es claro que h(t0 ) = h (t0 ) = 0 y que h (t0 ) = κ(t0 ), siendo κ la curvatura de α. Por
tanto:
1. Si κ(t0 ) > 0, entonces existe δ > 0 tal que α(t0 − δ, t0 + δ) est´ contenida en el
a
semiplano cerrado determinado por la recta tangente a α en t0 hacia el que apunta
Jα (t0 ).
2. Si κ(t0 ) < 0, entonces existe δ > 0 tal que α(t0 − δ, t0 + δ) est´ contenida en el
a
semiplano cerrado determinado por la recta tangente a α en t0 hacia el que apunta
−Jα (t0 ).
Claramente, las conclusiones anteriores son v´lidas para una curva regular, sin que tenga
a
que estar p.p.a.
Volvamos al caso α = 1 y estudiemos con mayor detalle el caso κ(t0 ) > 0 (el caso
κ(t0 ) < 0 es an´logo). Definimos para cada λ ∈ R la funci´n gλ : R → R dada por
a o
gλ (t) = α(t) − c(λ) 2 ,
donde c(λ) = α(t0 ) + λJα (t0 ). Es claro que gλ es derivable, gλ (t0 ) = λ2 , gλ (t0 ) = 0,
gλ (t0 ) = 2(1 − λκ(t0 )). Por tanto:
1. Si λ < 1/κ(t0 ), entonces existe δ > 0 tal que α(t0 − δ, t0 + δ) est´ fuera del disco
a
abierto de centro c(λ) y radio |λ|.
2. Si λ > 1/κ(t0 ), entonces existe δ > 0 tal que α(t0 − δ, t0 + δ) est´ contenida en el
a
disco cerrado de centro c(λ) y radio λ.
El valor λ = 1/κ(t0 ) es especial en el sentido de la discusi´n anterior, en el sentido que
o
determina la mejor aproximaci´n de α por una circunferencia que pasa por α(t0 ) tangente
o
a la recta tangente a α en ese punto: se llama a λ = 1/κ(t0 ) el radio de curvatura de α

12. 12 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
en t0 . Al punto α(t0 ) + (1(κ(t0 ))Jα (t0 ) se le conoce como el centro de curvatura de α
en t0 y a la correspondiente circunferencia la llamaremos circunferencia osculatriz de α en
α(t0 ). Si κ(t) > 0 para todo t ∈ I, a la curva formada por todos los centros de curvatura
e(t) = α(t) + (1/κ(t))Jα (t)
1 1 1
se le llama la evoluta de α. Notemos que e = α + κ Jα + κ Jα = κ Jα , luego
e = |(1/κ) | = |κ |/κ2 . Esto nos dice que
1. Si κ es no decreciente en [a, b] ⊂ I, entonces
t t
κ 1 1 1
L(e)t =
a dt = − dt = − , ∀t ∈ [a, b].
a κ2 a κ κ(a) κ(t)
1 1
2. Si κ es no creciente en [a, b] ⊂ I, entonces L(e)t =
a − .
κ(t) κ(a)
Proposici´n 1.3.3 Sea α : I ⊂ R → R2 una curva plana y p.p.a., con curvatura κ
o
positiva y no decreciente. Dado a ∈ I, se tiene
1
α(t) − e(a) ≤ para cada t ∈ I ∩ [a, ∞),
κ(a)
donde e es la evoluta de α. Por tanto, α(I ∩ [a, ∞)) est´ contenida en el disco osculatriz
a
de α en a.
Demostraci´n. Dado t ∈ I ∩ [a, ∞),
o
1 1
α(t) − e(a) = e(t) − Jα (t) − e(a) ≤ e(t) − e(a) + Jα (t)
κ(t) |κ(t)|
1 1 1
= e(t) − e(a) + ≤ L(e)t +
a = .
κ(t) κ(t) κ(a)
2
1.4. Diedro de Frenet. Teorema fundamental de curvas en
el plano.
Vamos a introducir una nomenclatura que tambi´n ser´ util para curvas espaciales.
e a ´
Sea α : I ⊂ R → R2 una curva plana y p.p.a. Representaremos por
T (t) = α (t), N (t) = Jα (t)

13. 1.4. DIEDRO DE FRENET. TEOREMA FUNDAMENTAL DE CURVAS EN EL PLANO.13
Figura 1.6: Diedro de Frenet.
al vector tangente a α y una elecci´n (de las dos posibles) de normal unitario, ver Figu-
o
ra 1.6.
Es f´cil comprobar que {T (t), N (t)} es una base ortonormal positivamente orientada
a
de R 2 para cada t ∈ I (llamaremos a esta base el diedro de Frenet), y que cumple las
ecuaciones de Frenet:
T = κN, N = −κT,
donde κ es la curvatura de α. Una forma de medir c´mo α se curva es observar c´mo
o o
el diedro de Frenet cambia conforme variamos el par´metro. Esto puede comprobarse
a
escribiendo N = Jα = eiθ donde θ = θ(t) es cierta funci´n derivable; derivando, Jα =
o
(Jα ) = θ Jeiθ luego α = θ eiθ y κ = α , Jα = θ eiθ 2 = θ , es decir, θ es una
primitiva de κ y ´sta nos informa de la velocidad a la que el diedro de Frenet cambia.
e
Tambi´n notemos que
e
κ = α , Jα = det(α , α ),
luego el signo de κ tiene el siguiente significado:
1. Si κ(t0 ) = 0, entonces α (t0 ) (velocidad) y α (t0 ) (aceleraci´n) llevan la misma
o
direcci´n.
o
2. Si κ(t0 ) > 0 (resp. < 0), entonces la velocidad de α y su aceleraci´n forman una base
o
positiva (resp. negativa) en t0 .
Teorema 1.4.1 (Teorema fundamental de las curvas planas) Sea κ : I ⊂ R → R
una func´on derivable definida en un intervalo abierto I. Entonces, existe una curva plana
ı´
y p.p.a. α : I → R2 cuya funci´n curvatura es κ. Ademas α es unica salvo movimientos
o ´
r´
ıgidos directos.
Demostraci´n. Empecemos con la unicidad. Supongamos que α, β : I → R2 son curvas
o
planas p.p.a., con κα = κβ = κ. Sean {Tα , Nα }, {Tβ , Nβ } los diedros de Frenet respectivos.

14. 14 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
Consideremos la funci´n derivable χ : I → R dada por
o
2
χ(t) = Tα (t) − Tβ (t) + Nα (t) − Nβ (t) 2 .
Usando las ecuaciones de Frenet para α y β se tiene χ = 0 en I, luego χ es constante.
Salvo un movimiento r´ ıgido directo, podemos suponer que α(t0 ) = β(T0 ), Tα (t0 ) = Tβ (t0 )
y Nα (t0 ) = Nβ (t0 ). As´ χ(t0 ) = 0 luego χ se anula id´nticamente. En particular, α = β
ı, e
en I. Como α(t0 ) = β(t0 ), tenemos α = β en I.
Veamos ahora la existencia. Por la discusi´n previa a este teorema tiene sentido em-
o
pezar definiendo, dada κ : I → R una funci´n derivable, la funci´n (derivable) θ : I → R
o o
dada por
t
θ(t) = κ(s) ds,
t0
donde t0 ∈ I es cualquier punto. Elijamos una base ortonormal positiva {T0 , N0 }, un punto
p0 ∈ R2 y un valor t0 ∈ I. Definimos
t t
α(t) = p0 + cos θ(s) ds · T0 + sin θ(s) ds · N0 ,
t0 t0
que es una curva plana y diferenciable. Claramente, α (t) = cos θ(t) · T0 + sin θ(t) · N0 .
De aqu´ deducimos que α est´ p.p.a., que N (t) := − sin θ(t) · T0 + cos θ(t) · N0 es un
ı a
campo normal unitario a α, y que {α (t), N (t)} es una base ortonormal positiva de R2
(luego ´ste es el diedro de Frenet de α). Por lo tanto, la curvatura de α viene dada por
e
α , N = θ = κ. N´tese que α(t0 ) = p0 , α (t0 ) = T0 y N (t0 ) = N0 , luego en realidad
o
hemos probado un enunciado (s´lo aparentemente) m´s fuerte: Dada κ como funci´n
o a o
curvatura prescrita, podemos encontrar una curva plana p.p.a. que la tiene por funci´n o
curvatura, prescribiendo adem´s un punto de R
a 2 por el que pase en un instante dado con
una direcci´n tangente unitaria.
o 2
Nota 1.4.1 El apartado 2 de la Proposici´n 1.3.2 es ahora consecuencia inmediata del
o
Teorema 1.4.1.
1.5. Curvatura y torsi´n de curvas en el espacio. Ecuaciones
o
de Frenet.
Sea α : I ⊂ R → R3 una curva p.p.a. Denotaremos por T (t) = α (t) al vector tangente
(unitario) a α. En el plano ten´
ıamos s´lo dos opciones para elegir el vector normal a α en
o
cada t ∈ I, lo que produc´ una noci´n de curvatura con signo. En este caso de curvas en
ıa o
R3 tenemos toda una circunferencia unidad de posibles elecciones para el vector normal

15. ´
1.5. CURVATURA Y TORSION DE CURVAS EN EL ESPACIO. ECUACIONES DE FRENET.15
N (t), por lo que no es l´gico definir la curvatura usando N (t). Se define la curvatura de α
o
en t como
κ(t) = T (t) , t ∈ I.
Luego a diferencia con la situaci´n para curvas planas, la curvatura de curvas espaciales
o
siempre es no negativa.
Por ejemplo, si α(t) = p + tv es una recta af´ (p, v ∈ R3 , v = 1) entonces T (t) = v
ın
y κ(t) = 0 para todo t ∈ R. Rec´ ıprocamente, si α : I ⊂ R → R3 es una curva p.p.a. con
curvatura id´nticamente nula, entonces el vector tangente T = α es contante, luego la
e
traza de α es un segmento de recta af´ ın.
Supongamos ahora que κ(t) > 0 para cada t ∈ I; en tal caso la funci´n κ es derivable
o
y tiene sentido definir
T (t) T (t)
N (t) = = , t ∈ I,
T (t) κ(t)
que es un vector unitario y ortogonal a T , llamado el vector normal a α en t. De esta
forma, la ecuaci´n
o
T (t) = κ(t)N (t)
se cumple trivialmente (comparar con la situaci´n para curvas planas). Al plano generado
o
por {T (t), N (t)} se le llama plano osculador.
¿Qu´ relaci´n hay entre la curvatura de curvas planas y espaciales? Si α : I → R3 es
e o
una curva p.p.a. y plana, es decir, con traza contenida en un plano Π de R3 , entonces
tiene sentido la curvatura κ de α como curva plana. Usando las ecuaciones de Frenet para
curvas planas se tiene
( )
κ(t) = T (t) = κ(t)N (t) = |κ(t)|,
(n´tese que en ( ) no precisamos que la curvatura κ(t) sea positiva para hablar de vector
o
normal).
Para continuar estudiando curvas espaciales necesitamos tener curvatura estrictamente
positiva (y con ello, existir´n el vector normal N y el plano osculador en cada instante).
a
En este caso, definiendo B(t) = T (t) × N (t) tenemos que
{T (t), N (t), B(t)}
es una base ortonormal positivamente orientada de R3 . A B(t) se le llama el vector binormal
a α en t y a la anterior base, el triedro de Frenet de α en t, ver Figura 1.7.
Queremos medir ahora lo que la curva α “dista” de ser plana, asignando una funci´n o
real τ = τ (t) que se anule id´nticamente en el caso de que α sea plana. Dar B(t) equivale
e
a dar el plano osculador a α en t, luego B (t) nos informa de c´mo este plano osculador
o

16. 16 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
Figura 1.7: Triedro de Frenet.
cambia. Pero B = (T × N ) = T × N + T × N = κN × N + T × N = T × N , luego B
es ortogonal a T . Tambi´n B es ortogonal a B, por ser B unitario. Esto nos dice que
e
B (t) = τ (t)N (t), t ∈ I,
para cierta funci´n diferenciable τ = B , N en I. A τ se le llama la torsi´n de α.
o o
Claramente, una curva con curvatura estrictamente positiva tiene torsi´n id´nticamente
o e
nula si y s´lo si su plano osculador es constante B0 ∈ R3 ( B0 = 1), y es f´cil probar que
o a
esto ocurre si y s´lo si la curva est´ contenida en un plano ortogonal a B0 , es decir, si y
o a
s´lo si la curva es plana.
o
Ahora calculamos N (t), t ∈ I. Como el triedro de Frenet es una base ortonormal,
tenemos
N = N , T T + N , N N + N , B B = − N, T T − N, B B = −κT − τ B.
En resumen:
Proposici´n 1.5.1 (Ecuaciones de Frenet) Sea α : I ⊂ R → R3 una curva p.p.a. con
o
curvatura κ(t) > 0 para todo t ∈ I y torsi´n τ : I → R. Entonces:
o

 T = κN
N = −κT − τ B
B = τ N.

t t bt
La curvatura de una h´lice circular α(t) =
e a cos √ , a sin √ ,√ ,
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
a b
t ∈ R, es κ(t) = a2 +b2 (a > 0) y su torsi´n es τ (t) = − a2 +b2 (Ejercicio 14). Rec´
o ıprocamente,
si una curva tiene curvatura y torsi´n constantes, entonces ha de ser una h´lice circular
o e
(esto se deducir´ del teorema fundamental de curvas espaciales de la pr´xima secci´n).
a o o

17. 1.6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE CURVAS EN EL ESPACIO. 17
Notemos que hemos definido curvatura y torsi´n para curvas p.p.a. (con curvatura
o
estrictamente positiva). Podemos relajar la condici´n α = 1 pidiendo que α : I → R3
o
sea una curva regular. Entonces, la curvatura y la torsi´n de α en t ∈ I se definen como
o
la curvatura y la torsi´n de una reparametrizaci´n por el arco directa2 β(s) = α(h(s)) en
o o
el punto s = h−1 (t), . Al final de este cap´
ıtulo veremos expresiones para la curvatura y la
torsi´n de curvas regulares, sin pasar por una reparametrizaci´n por el arco.
o o
1.6. Teorema fundamental de curvas en el espacio.
Teorema 1.6.1 Sean κ, τ : I ⊂ R → R dos funciones derivables definidas en un intervalo
abierto I, tales que κ(t) > 0 para todo t ∈ I. Entonces, existe una curva p.p.a. α : I → R3
cuya funciones curvatura y torsi´n son respectivamente κ y τ . Adem´s α es unica salvo
o a ´
movimientos r´ ıgidos directos.
Demostraci´n. Si ya tuvi´semos nuestra soluci´n α, entonces su triedro de Frenet {T, N, B}
o e o
cumplir´ las ecuaciones de Frenet. Escribiendo T = (T1 , T2 , T3 ), N = (N1 , N2 , N3 ) y
ıa
B = (B1 , B2 , B3 ), se tendr´ıa

 Ti = κNi
(1.8) N = −κTi − τ Bi
 i
Bi = τ N i .
para i = 1, 2, 3. Esto puede verse como un sistema de 9 ecuaciones diferenciales ordinarias
(EDO) con 9 inc´gnitas. Como dicho sistema es lineal (con coeficientes no necesariamente
o
constantes), la teor´ general de EDO nos asegura la existencia de una unica soluci´n para
ıa ´ o
cada elecci´n de condiciones iniciales.
o
Ahora empezamos la demostraci´n de existencia. Elijamos una base ortonormal positi-
o
va {T0 , N0 , B0 } de R 3 y un instante t ∈ I. Entonces, existen unicas funciones vectoriales
´
0
diferenciables T, B, N : I → R3 que cumplen el sistema (1.8) (no debemos llamarlo a´n las
u
ecuaciones de Frenet porque no tenemos curva) con condiciones iniciales
(1.9) T (t0 ) = T0 , N (t0 ) = N0 , B(t0 ) = B0 .
Veamos que para cada t ∈ I, {T (t), N (t), B(t)} forma una base ortonormal positiva de
R3 :
2

 ( T ) = 2 T , T = 2κ N, T
= T , N + T, N = κ N 2 − κ T 2 − τ T, B

 T, N



T, B = T , B + T, B = κ N, B + κ T, N

(1.10) 2)
 ( N
 = 2 N , N = −2κ T, N − 2τ B, N
 N, B = N , B + N, B = −κ T, B − τ B 2 + τ N 2




( B 2) = 2 B , B = 2τ N, B
2
Es decir, con h > 0.

18. 18 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
(1.10) puede verse como un sistema de 6 EDO en las inc´gnitas T 2 , T, N , T, B ,
o
N 2 , N, B y B 2 , definido en el intervalo I. Ese sistema tendr´ soluci´n unica para
a o ´
cada elecci´n de condiciones iniciales. Si elegimos la condici´n inicial
o o
( T 2 )(t0 ) = 1, T, N (t0 ) = 0, T, B (t0 ) = 0,
(1.11)
( N 2 )(t0 ) = 1, N, B (t0 ) = 0, ( B 2 )(t0 ) = 1,
entonces sabemos que la unica soluci´n del problema de valores iniciales (1.10)+(1.11) es
´ o
la 6-upla de funciones escalares correspondiente a las funciones vectoriales T, N, B que
aparecieron antes. Pero las funciones
( T 2 ) ≡ 1, T, N ≡ 0, T, B ≡ 0,
( N 2 ) ≡ 1, N, B ≡ 0, ( B 2 ) ≡ 1,
forman una soluci´n de (1.10)+(1.11), y por tanto coincide con la anterior, es decir,
o
{T (t), N (t), B(t)} es una base ortonormal de R3 para cada t ∈ I. En particular, t ∈
d
I → det(T (t), N (t), B(t)) es continua y valuada en {±1}. Como {T0 , N0 , B0 } es una base
positiva, es d(t0 ) = 1 luego conclu´ımos que {T (t), N (t), B(t)} es una base positiva para
cada t ∈ I. En particular, B = T × N en I.
Ya podemos definir la curva α : I → R3 : elegimos p0 ∈ R3 y definimos
t
(1.12) α(t) = p0 + T (s) ds.
t0
As´ α = T luego α est´ p.p.a. Calculamos la curvatura κα de α usando la primera ecuaci´n
ı, a o
de (1.8):
κα = T = κN = |κ| = κ.
Por tanto, el normal unitario Nα a α viene dado por
T T
Nα = = = N,
κα κ
donde hemos usado de nuevo la primera ecuaci´n de (1.8). Como B = T × N , conclu´
o ımos
que B es el binormal a α. Usando la tercera ecuaci´n de (1.8) tendremos que la torsi´n de
o o
α es
τα = B , N = τ,
lo que termina de probar la existencia. En cuanto a la unicidad, supongamos que β : I → R3
es otra curva p.p.a. con curvatura κβ = κ y torsi´n τβ = τ . Consideremos el triedro de
o
Frenet {Tβ , Nβ , Bβ } asociado a β. Como {T0 , N0 , B0 } y {Tβ (t0 ), Nβ (t0 ), Bβ (t0 )} son dos
bases ortonormales positivas de R3 , existe una unica matriz A ∈ SO(3) tal que ATβ (t0 ) =
´
T0 , ANβ (t0 ) = N0 ,ABβ (t0 ) = B0 . Consideremos el movimiento r´ ıgido directo φ : R3 → R3

19. 1.6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE CURVAS EN EL ESPACIO. 19
dado por φ(p) = Ap + b, donde b ∈ R3 se calcula imponiendo que φ(β(t0 )) = p0 = α(t0 ).
Entonces, φ ◦ β es una curva p.p.a. con la misma curvatura κ y la misma torsi´n τ que β
o
(Ejercicio 18). De las ecuaciones de Frenet para φ ◦ β deducimos que el triedro de Frenet
{Tφ◦β , Nφ◦β , Bφ◦β } de φ ◦ β cumple el mismo problema de valores iniciales (1.8)+(1.9) que
cumple el triedro de Frenet {T, N, B} de α. En particular, (φ ◦ β) = α en I luego φ ◦ β y
α se diferencian en una constante. Esta constante es cero por c´mo hemos elegido la parte
o
en traslaci´n de φ, lo que termina de probar la unicidad.
o 2
Corolario 1.6.1 Sea α : I → R3 curva p.p.a. con curvatura κ ≡ κ0 > 0 y torsi´n τ ≡
o
τ0 ∈ R. Entonces:
1. Si τ0 = 0, entonces α es un arco de circunferencia.
2. Si τ0 = 0, entonces α est´ contenida en una h´lice circular.
a e
Una h´lice circular definida en el Ejemplo 3 de la Secci´n 1.1 tiene la propiedad de
e o
que sus rectas normales son perpendiculares al vector (0, 0, 1). En general, se define una
h´lice como una curva p.p.a. espacial con curvatura estrictamente positiva, cuyas rectas
e
normales son perpendiculares a una direcci´n dada de R3 .
o
Teorema 1.6.2 (Lancret) Sea α : I → R3 una curva p.p.a. con curvatura κ estricta-
mente positiva y torsi´n τ . Entonces, α es una h´lice si y s´lo si τ /κ es constante.
o e o
Demostraci´n. Sea {T, N, B} el triedro de Frenet de α. Supongamos primero que α es
o
una h´lice. As´ existe v ∈ R3 − {0} tal que N, v = 0 en I. Por las ecuaciones de
e ı,
Frenet, T, v = T , v = κ N, v = 0 luego T, v es constante. An´logamente, B, v =
a
B , v = τ N, v = 0 luego B, v es constante. Por ultimo, 0 = N, v = N , v =
´
−κ T, v − τ B, v luego τ /κ es tambi´n constante.
e
τ τ
Rec´ıprocamente, supongamos que τ /κ es constante. As´ B = τ N = κ T luego B − κ T
ı,
es un vector constante de R 3 , al que llamamos v. Claramente, v = 0 y N, v = 0 en I
luego α es una h´lice.
e 2
Como la curvatura y la torsi´n determinan a las curvas p.p.a. salvo movimientos r´
o ıgidos
directos, es razonable pensar que si una curva est´ sometida a una ligadura (como por
a
ejemplo tener su traza contenida en una esfera) entonces su curvatura y torsi´n deber´n
o a
estar relacionadas. En esta l´
ınea tenemos los Ejercicios 20 y 21. Veamos otro resultado
para cuando la ligadura es una esfera:
Proposici´n 1.6.1 Sea α : I → R3 una curva p.p.a. con curvatura κ estrictamente posi-
o
tiva y torsi´n τ , cumpliendo κ = 0 y τ = 0 en I. Entonces, la traza de α est´ contenida
o a
en una esfera de radio r > 0 si y s´lo si
o
1 (κ )2
(1.13) 2
+ 2 4 = r2 .
κ τ κ

20. 20 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
Demostraci´n. Supongamos que α est´ contenida en una esfera de radio r. Como (1.13) es
o a
invariante frente a traslaciones de la curva, podemos suponer que la esfera est´ centrada
a
en el origen, es decir α 2 = r2 en I. Derivando tres veces y usando las ecuaciones de
Frenet:
α, T = 0,
1 + κ α, N = 0,
κ α, N + κ α, −κT − τ B = κ α, N − κτ α, B = 0,
donde, como siempre, {T, N, B} es el triedro de Frenet de α. As´
ı,
2 2
2 2 2 2 2 1 κ α, N 1 −κ
r = α = α, T + α, N + α, B =0+ 2 + = 2+ ,
κ κτ κ κ2 τ
que es (1.13). Rec´
ıprocamente, supongamos que (1.13) se cumple. Derivando y simplifi-
κ
cando 2 κ2 (aqu´ usamos que κ no tiene ceros):
ı
1 1 κ
− + = 0,
κ τ τ κ2
que puede reescribirse
τ 1 1
(1.14) + = 0.
κ τ κ
1 1 1
Ahora definimos una curva diferenciable β : I → R3 mediante β = α + κ N − τ κ B.
Derivando,
1 1 1 1 1 1
β =T+ N+ (−κT − τ B) − B− τ N = 0,
κ κ τ κ τ κ
donde hemos usado (1.14) en la ultima igualdad. As´ β es cierta constante p0 ∈ R3 y
´ ı,
2 2
2 1 1 1 1 1 1
α − p0 = N− B = 2
+ = r2 ,
κ τ κ κ τ κ
y la traza de α est´ contenida en una esfera centrada en p0 de radio r.
a 2
Como adelantamos, es posible dar expresiones para curvatura y torsi´n de una curva
o
α: I → R 3 regular, no necesariamente p.p.a. Si β = α◦h : J → R3 es una reparametrizaci´n
o
por el arco directa de α (es decir, h > 0 en J), entonces se define la curvatura de α como
κα (t) = κβ (h−1 (t)), ∀t ∈ I.

21. 1.6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE CURVAS EN EL ESPACIO. 21
Y si κα > 0 en I, entonces se define la torsi´n de α como
o
τα (t) = τβ (h−1 (t)), ∀t ∈ I.
Damos ahora expresiones de la curvatura y la torsi´n de α sin tener que pasar por su
o
reparametrizaci´n por el arco β.
o
Proposici´n 1.6.2 Sea α : I → R3 una curva regular. Entonces, su curvatura viene dada
o
por
α ×α
(1.15) κα = .
α 3
Y si κα > 0 en I, entonces la torsi´n de α es
o
det(α , α , α )
(1.16) τα = − .
α ×α 2
Demostraci´n. Sea β = α ◦ h : J → R3 una reparametrizaci´n por el arco directa de α.
o o
1 = β ˙ = h α (hemos usado que la parametrizaci´n es directa), luego h = 1/ α .
˙ o ˙
Llamando φ = h −1 , entonces φ = α y α = β ◦ φ. Derivando esta ultima ecuaci´n:
´ o
˙

 α = φ (β ◦ φ)
(1.17) ˙ ¨
α = φ (β ◦ φ) + (φ )2 (β ◦ φ) ...

α = φ (β ˙ ◦ φ) + 3φ φ (β ◦ φ) + (φ )3 ( β ◦ φ).
¨
Por tanto,
˙ ¨
α × α = (φ )3 (β ◦ φ) × (β ◦ φ) = α 3 ˙
(Tβ × Tβ ) ◦ φ = α 3
(Tβ × κβ Nβ ) ◦ φ
3 3
= α (κβ ◦ φ)(Bβ ◦ φ) = α κα (Bβ ◦ φ),
donde {Tβ , Nβ , Bβ } es el triedro de Frenet de β. Tomando normas se tiene directamente
(1.15). En cuanto a (1.16), de (1.17) tenemos
...
˙ ¨
det(α , α , α ) = det φ (β ◦ φ), (φ )2 (β ◦ φ), (φ )3 ( β ◦ φ
˙
= α 6
det Tβ , κβ Nβ , κβ Nβ ◦φ = α 6 2
κα ˙
det Tβ , Nβ , Nβ ◦ φ
6 2 6 2
= α κα [det (Tβ , Nβ , τβ Bβ ) ◦ φ] = α κα τα .
Sustituyendo (1.15) en la ultima expresi´n tendremos probada (1.16).
´ o 2

22. 22 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
1.7. Ejercicios.
ıtmica es la curva plana α(t) = et (cos(t), sin(t)), t ∈ R. Representar
1. La espiral logar´
gr´ficamente la traza de α. ¿Es α parametrizada regular? Calcular la longitud L(α)b ,
a a
donde [a, b] ⊂ R. Deducir que aunque la traza de α se enrolla infinitas veces alrededor
del origen cuando a → −∞, la longitud L(α)0 = l´ a→−∞ L(α)0 es finita. Calcular
−∞ ım a
el par´metro arco y la curvatura de la espiral logar´
a ıtmica.
2. Sea J(x, y) = (−y, x) y A ∈ O(2). Probar que J ◦ A = (det A).(A ◦ J).
3. Comparacion de curvas.
´
Sean α : I → R2 , β : J → R2 dos curvas p.p.a. con diedros de Frenet respectivos
{Tα , Nα }, {Tβ , Nβ }. Supongamos que existen t0 ∈ I, s0 ∈ J tales que α(t0 ) = β(s0 ) =
(0, 0), Tα (t0 ) = Tβ (s0 ) = (1, 0), Nα ≡ Nβ (s0 ) = (0, 1). Probar que
a) Si κα (t0 ) > κβ (s0 ), entonces α est´ estrictamente por encima de β en un entorno
a
de (0, 0), es decir, α, β pueden reparametrizarse como grafos α1 (x) = (x, f (x)),
β1 (x) = (x, h(x)) de funciones derivables alrededor de x = 0 con f (0) = h(0) = 0,
y f (x) > h(x) para cada x = 0 en un entorno de cero.
b) Si α est´ por encima de β en un entorno de (0, 0), entonces κα (t0 ) ≥ κβ (s0 ).
a
(Indicaci´n: una vez reparametrizadas α, β como grafos α1 , β1 , considerar la funci´n
o o
g(x) = f (x) − h(x), que cumple g(0) = g (0) = 0, g (0) = κα (t0 ) − κβ (s0 )). N´tese
o
que este principio de comparaci´n generaliza las comparaciones con la recta tangente y
o
con la circunferencia osculatriz contenidas en la teor´
ıa.
4. Probar que si todas las rectas afines tangentes a una curva plana p.p.a. pasan por un
punto de R2 , entonces la curva es segmento de recta.
5. Probar que si todas las rectas afines normales a una curva plana p.p.a. pasan por un
punto p0 ∈ R2 , entonces la curva es un arco de circunferencia centrada en p0 .
6. Usar el principio de comparaci´n de curvas para probar que si α : I → R2 es una curva
o
p.p.a. que alcanza su distancia m´xima al origen en t0 ∈ I, entonces su curvatura κ
a
cumple
1
|κ(t0 )| ≥ .
α(t0 )
7. La cicloide. La cicloide es la trayectoria que describe un punto sobre una circunferencia
que rueda a lo largo de una recta. Encontrar una parametrizaci´n de la cicloide; para ello,
o
suponer que la recta es el eje OX, que la circunferencia que gira siempre tangente al eje
OX tiene radio 1, que en instante t = 0 la circunferencia est´ centrada en (1, 0) y que el
a
punto que describe la cicloide es (en t = 0) el origen (soluci´n: c(t) = (t−sin t, 1−cos t)).
o

23. 1.7. EJERCICIOS. 23
8. Sean α, β : I → R2 dos curvas p.p.a. de forma que sus respectivas curvaturas cumplen
κα = −κβ en I. Probar que existe un movimiento r´ ıgido inverso φ : R2 → R2 tal que
β = φ ◦ α.
9. Sea α : I → R2 una curva p.p.a. con 0 ∈ I, sim´trica respecto a α(0). Relacionar la
e
curvatura de α con la de la curva β : I → R 2 dada por β(t) = α(−t).
10. Supongamos que α : (−ε, ε) → R2 es una curva p.p.a. cuya funci´n curvatura es par.
o
Demostrar que la traza de α es sim´trica respecto a la recta af´ normal a α en t = 0.
e ın
11. Supongamos que α : (−ε, ε) → R2 es una curva p.p.a. cuya funci´n curvatura es impar.
o
Demostrar que la traza de α es sim´trica respecto al punto α(0).
e
12. Sea α : I → R2 una curva p.p.a. y t0 ∈ I tal que κ(t0 ) = 0. Demostrar que existe un
ε > 0 tal que para todo t ∈ (t0 − ε, t0 + ε), la recta af´ normal a α en el instante t
ın
corta a la recta af´ normal a α en t0 , y que dicho punto de intersecci´n converge a
ın o
1
e(t0 ) = α(t0 ) + κ(t0 ) Jα (t0 ), el correspondiente punto en la evoluta de α.
13. Sean α : I → R2 , β : J → R2 dos curvas planas p.p.a. con trazas disjuntas. Supongamos
que la distancia entre las trazas de α y β se alcanza en α(t0 ) y β(s0 ), donde t0 ∈ I y
s0 ∈ J. Probar que las rectas tangentes a α en t0 y a β en s0 son paralelas.
t t bt
14. Sea α(t) = a cos √ , a sin √ ,√ , t ∈ R, una h´lice circular.
e
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
a b
Demostrar que la curvatura de α es κ(t) = a2 +b2 y la torsi´n es τ (t) = − a2 +b2 .
o
15. Probar que si todas las rectas afines normales a una curva (espacial) p.p.a. con curvatura
estrictamente positiva pasan por un punto p0 ∈ R3 , entonces la curva es un arco de
circunferencia centrada en p0 (indicaci´n: usar el Ejercicio 5).
o
16. Probar que no existe ninguna curva p.p.a. con curvatura estrictamente positiva tal que
todas las rectas afines binormales (es decir, con la direcci´n del vector binormal en cada
o
punto) pasan por un punto p0 ∈ R 3.
17. Sea α : I → R3 una curva p.p.a. y p0 ∈ R3 −α(I). Probar que la traza de α est´ contenida
a
en una esfera centrada en p0 si y s´lo si para cada t ∈ T , el vector tangente α (t) es
o
ortogonal al vector de posici´n α(t) − p0 respecto del origen p0 .
o
18. Sea α : I → R3 una curva p.p.a. φ : R3 → R3 un movimiento r´ ıgido y β = φ ◦ α.
Demostrar que las curvaturas κα , κβ coinciden y que si ´stas son estrictamente positivas,
e
entonces la torsiones se relacionan por τβ = ±τα , donde − se da si y s´lo si φ es inverso.
o
Rec´ıprocamente, si α, β : I → R3 son curvas p.p.a. con curvaturas κα = κβ > 0 y
torsiones τα = −τβ , probar que existe un movimiento r´ ıgido inverso φ : R3 → R3 tal que
β = φ ◦ α (el caso τα = τβ est´ cubierto por el Corolario 1.6.1).
a

24. 24 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
19. Relacionar la longitud, curvatura y torsi´n de una curva cuando le aplicamos una homote-
o
cia de raz´n λ > 0 (dado p0 ∈ R
o 3 , la homotecia de raz´n λ y centro p es H : R3 → R3 ,
o 0
H(p) = p0 + λ(p − p0 )).
20. Sea α : I → R3 una curva p.p.a. con curvatura positiva. Demostrar que α es un arco
de circunferencia si y s´lo si tiene curvatura constante y su traza est´ contenida en una
o a
esfera.
21. Sea α : I → R3 una curva p.p.a. con curvatura κ positiva. Probar que si la torsi´n de
o
α es constante τ0 ∈ R y la traza de α est´ contenida en una esfera, entonces existen
a
a, b ∈ R tales que
1
κ(t) = , ∀t ∈ I.
a cos(τ0 t) + b sin(τ0 t)
22. Sea α : I → R3 una curva p.p.a. con curvatura estrictamente positiva. Probar que existe
una curva diferenciable ω : I → R3 tal que las ecuaciones de Frenet de α se escriben
T = ω × T, N = ω × N, B = ω × B,
donde {T, N, B} es el triedro de Frenet de α. A la curva ω se le llama la velocidad
angular de α. Demostrar que α tiene velocidad angular constante si y s´lo si es un arco
o
de circunferencia o de h´lice circular.
e
23. Otra interpretacion de la circunferencia osculatriz.
´
a) Sea v : I → R2 una aplicaci´n diferenciable, definida en un intervalo abierto I que
o
contiene al origen, con v(0) = (0, 0). Demostrar que en un entorno de (0, 0) se
tiene
st(t − s)
det(v(s), v(t)) = det(v (0), v (0)) + R(s, t)
2
donde R(s, t) ∈ R tiende a cero cuando (s, t) → (0, 0).
b) Sea α : I → R2 una curva plana y p.p.a. Supongamos que en la curvatura k de
α no se anula en un instante t0 ∈ I. Usar el apartado a) para probar que existe
ε > 0 tal que para cualesquiera s, t ∈ (t0 − ε, t0 + ε) − {t0 } con s = t, los puntos
α(s), α(t), α(t0 ) no est´n alineados.
a
c) Por el apartado b), para cada s, t ∈ (t0 − ε, t0 + ε) − {t0 } con s = t existe
una unica circunferencia C(s, t) que pasa por α(s), α(t), α(t0 ). A partir de ahora,
´
normalizaremos la situaci´n fijando α(0) = (0, 0) y α (0) = (1, 0) (siempre puede
o
conseguirse esto tras un movimiento r´ ıgido directo). Probar que el centro p(s, t) =
(a(s, t), b(s, t)) de C(s, t) est´ dado por
a
det(V (t), V (s)) det(W (t), W (s))
a(s, t) = , b(s, t) = ,
2 det(α(t), α(s)) 2 det(α(t), α(s))

25. 1.7. EJERCICIOS. 25
donde V (t) = ( α(t) 2 , y(t)), W (t) = (x(t), α(t) 2 ) y α(t) = (x(t), y(t)).
d) Usar el apartado a) para probar que cuando s, t ∈ −(ε, ε) − {0} tienden a cero
entonces C(s, t) converge a la circunferencia osculatriz de α en α(0).

26. 26 CAP´
ITULO 1. CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.