ejercicios de derivadas

1. Ejercicios de Calculo I UNINORTE
Jorge Rodriguez Dpto Matem´tica
a
En los problemas del 1 al 6, obtenga una ecuaci´n de la recta tangente
o
a la gr´fica de la ecuaci´n en el punto dado
a o
1.– y = 9 − x2 ; (2, 5) 4.– y = x2 − 6x + 9; (3, 0)
2.– y = x2 + 4; (−1, 5) 5.– y = x3 + 3 ; (1, 4)
3.– y = 2x2 + 4x; (−2, 0) 6.– y = 1 − x3 ; (2, −7)
En los problemas del 7 al 10, (a) Determine la pendiente de la recta
tangente a la gr´fica de la funci´n f en el punto (x1 , f (x1 )). (b) Determine
a o
los puntos de la gr´fica donde la recta tangente es horizontal y utilice esto
a
para dibujar la gr´fica.
a
7.– f (x) = 3x2 − 12x + 8 9.– f (x) = x3 − 6x2 − 9x − 2
8.– f (x) = 7 − 6x − x2 10.– f (x) = 2x3 − 3x2
11.– Obtenga una ecuaci´n de la recta tangente a la curva y = 2x2 + 3
o
que sea paralela a la recta 8x − y + 3 = 0
12.– Determine una ecuaci´n de la recta tangente a la curva y = 3x2 − 4
o
que sea paralela a la recta 3x + y = 4
1 2
13.– Encuentre una ecuaci´n de la recta normal a la curva y = 2 −
o x
3
que sea paralela a la recta x − y = 0
14.– Obtenga una ecuaci´n de cada recta normal a la curva y = x3 − 3x
o
que sea paralela a la recta 2x + 18y − 9 = 0
En los ejercicios del 15 al 32 encuentre la derivada de la funci´n dada.
o
15.– Dx (x2 − 3x + 2)(2x3 + 1)
2x
16.– Dx
x+3

2. En los problemas del 1 al 32 encuentre la derivada de la funci´n dada.
o
1.– y = (−5x)30 17.– f (x) = sen3 (4x2 − 1)
2.– y = (2x2 + x)200 18.– y = ln(x4 + 3x2 + 1)
1 5 19.– y = ln(x2 + 1)2
3.– y = x−
x2
1 20.– y = x − ln |5x + 1|
4.– y =
(x3 − 2x2 + 7)4 ln x
21.– y =
1 x
5.– y =
x4 + x2 + 1 22.– y = x(ln x)2
6.– y = (3x − 1)4 (−2x + 9)5 ln 4x
23.– y =
7.– y = x4 (x2 + 1)6 ln 2x
√
3 24.– y = ln(x + x2 − 1)
8.– y = sen x
25.– y = ln(x ln x)
9.– y = sec2 x
√
x2 − 1 2 26.– y = ln x
10.– f (x) =
x2 + 1 27.– y = x sen(ln 5x)
3 2 √
11.– F (x) = (2x + 1) tan x
28.– y = 1 + e−5x
(1 + cos t)2
12.– R(t) = 29.– y = ln(x4 + ex
2
(1 + sen t)2
√ √ ex + e−x
13.– y = x cos x 30.– y = x
e − e−x
14.– y = sen 2x cos 3x
31.– y = e3x ln(x2 + 1)
15.– f (x) = (sec 4x + tan 2x)5
1 + e2x
16.– f (x) = tan cos x 32.– y = ln
1 − e2x
2

3. En los problemas del 33 al 45 encuentre la segunda derivada de la
funci´n dada
o
33.– y = −x2 + 3x − 7 40.– f (x) = x2 (3x − 4)3
34.– y = 15x2 − π 2
41.– f (x) = (x2 + 5x − 1)4
35.– y = (−4x + 9)2
2t − 3
−2 42.– g(t) =
36.– y = 10x t+2
2 3
37.– y = 43.– f (x) = cos(10x)
x2
2 1
38.– y = x3 + 8x2 − 44.– f (x) =
x4 3 + 2 cos x
x6 − 7x3 + 1 cos x
39.– y = 45.– f (x) =
x2 x
46.– Obtenga una ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de y = x3 +
o a
3x2 − 4x + 1 en el punto en el que el valor de la segunda derivada
sea cero.
47.– Obtenga una ecuaci´n de la recta tangente al gr´fica de y = x4 en el
o a
punto en el que el valor de la tercera derivada sea 12.
dy
En los ejercicios del 48 al 74, halle por derivaci´n impl´
o ıcita.
dx
48.– x2 + y 2 = 16 57.– (2x + 3)4 = 3y 4
49.– x3 + y 3 = 8xy x + 2y
58.– x2 =
x − 2y
50.– 4x2 − 9y 2 = 1
x
2 2
51.– x + y = 7xy 59.– √ − 4y = x
y
1 1 √ √
52.– + =1 60.– 3
x + 3 y = 4y 2
x y
√ √ √
3 3 61.– y+ 3y+ 4y=x
53.– − = 2x
x y √ √
√ √ 62.– xy + 2x = y
54.– x + y = 4 √
63.– y + xy = 3x3
55.– 2x3 y + 3xy 3 = 5
y
2 2 2 2 64.– √ = 2 + x2
56.– x y = x + y x−y
3

4. 65.– x2 y 3 = x4 − y 4 70.– x sen y + y cos x = 1
66.– y = cos(x − y) 71.– sec2 y cot(x − y) = tan2 x
67.– x = sec(x + y) 72.– csc(x − y) + sec(x + y) = x
68.– sec2 x + csc2 y = 4 73.– (x + y)2 − (x − y)2 = x3 + y 3
√ √
69.– cot(xy) + xy = 0 74.– y 2 + 3x + x 1 + y = x
75.– Obtenga una ecuaci´n de la recta tangente a la curva 16x4 + y 4 = 32
o
en el punto (1, 2).
76.– Halle una ecuaci´n de la recta normal a la curva x2 +xy+y 2 −3y = 10
o
en el punto (2, 3).
77.– Halle una ecuaci´n de la recta normal a la curva 9x3 − y 3 = 1 en el
o
punto (1, 2).
√
78.– Obtenga una ecuaci´n de la recta tangente a la curva
o 3 xy = 14x + y
en el punto (2, −32).
√
79.– ¿En que punto de la curva x + xy + y = 1 es la recta tangente
paralela al eje x?
80.– Hay dos rectas que pasan por el punto (−1, 3) que son tangentes a
la curva x2 + 4y 2 − 4x − 8y + 3 = 0. Obtenga una ecuaci´n para cada
o
una de estas rectas.
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