Final de matemática – CBC – 1993

Final de matemática – Cátedra Gutiérrez – CBC – 1993. Pág. 1
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Final de Matemática
(1) Marzo: 1993 Tema 4
Elegir una sola respuesta de las cuatro opciones:
1. Si f(x) = 2 x 2
+ x – 3, entonces (h o f )(x) = 2 x 2
+ x para:
a) h(x) = 2x + 6 b) h(x) = x – 3 c) h(x) = x + 3 e) h(x) = 3 x
Rta.: c
2. Las asíntotas verticales de f(x) =
x
x x
−
− −
1
2 3( )( )
son las rectas:
a) x = 3; x = 2 b) x = 1; x = 0 c) x = 3; x = 2; x = 1 d) x = 1; x = 2.
Rta.: a
3. Si f ’(x) = 3 (x + 2) x 2
entonces f(x) tiene:
a) un mínimo en 0
b) un máximo en 0
c) un mínimo en − 2
d) un máximo en –2
Rta.: c
4. Si f(x) = Sen2
(3x 2
+1), entonces la derivada de f es:
a) 2 sen (3x2
+ 1)
b) 12 x. sen (3x2
+1) . cos(3x2
+ 1)
c) 2 sen (3x2
+ 1).cos(3x2
+ 1)
d) cos (3 x2
+1) . 6 x
Rta.: b
5. Los ceros de f(x) = sen (x + π) + 1 en [-2π; π] son:
a)
3
2 2
π
π
,− b)
π
π
2
3
2
, c) π
π
2
5
,
2
d)
π
π
2
3
2
,−
Rta.: d
6. Si A = { x x∈ =[ , ] / cos ,0
5
2
0 8π } entonces:
a) A tiene ∞ elementos. b) A tiene 4 elementos
c) A tiene 3 elementos. d) A tiene 2 elementos
Rta.: c
7. Sean P = (3,2) y Q (3,a). Si la distancia entre P y Q es igual a 4, entonces a es igual a:
a) 2 ó -2 b) 4 ó 0 c) 2 ó 6 d) 6 ó –2

Rta.: b
8. si f(x) = x 4
+ 5 x 3
– 2 x + 1 entonces:
a) f no tiene ceros en (-2,2) b) f no tiene ceros en (-1,0)
c) f no tiene ceros en (-1,1) d) f no tiene ningún cero.
Rta.: c
9. Sea f(x) = ln (5x 2
), entonces f ‘(2) + 2 f ”(2) es igual a: a) 1 b)
3
20
c)
2
x
d) 0
Rta.: d
10. Sea f(x) = – 3 (x – 1)(x2
– 5x + 6) los intervalos de positividad son:
a) (3, + ∝) b) (−∝, 1)∪(2,3) c) ∅ d) (−∝, −1)
Rta.: b
11. El dominio de f(x) = 4 ln (5 – x) – 2 ln (x – 1) es: a) (1,5) b) (−∝, 5) c) R – (1,5) d) R
Rta.: a
12. {x ∈ R/ − 1 < − x + 2 < 4 } es igual a: a) (– 2 ,3) b) (– 3,2) c) (–1,4) d) (–1,6)
Rta.: a
13. f f
e
x
x
x
: { } ( )R R definida por− → =
−
2
2
es estrictamente creciente en:
a) (− ∞,2) b) (2, 3) c) (− ∞, 2)∪ (3, + ∞) d) (3, + ∞)
Rta.: d
14. La ecuación de la recta tangente al gráfico de 8
2
)( −= xf x en el punto (3,1) es:
a) y = 2 x + 2 b) y = 3 x c) y = 3 x – 8 d) y = 2 x – 3
Rta.: c
15. Si una recta pasa por el punto (–2, –3) y tiene pendiente m = 2 entonces su ordenada al origen
vale: a) 2 b) 3 c) – 3 d) 1
Rta.: d
16. La ecuación de la parábola que tiene vértice (3, – 4) y pasa por (1, 0) es:
a) y = x2
+ 6 x – 7 b)
2
5
3= 2
2
1 −+− xxy c) y = x 2
– 6 x + 5 d) y = x 2
+ 6 x + 5
Rta.: c

17. El área A de la región encerrada por la función f xx( ) sen= y el eje de las x, entre las rectas x =
−π y x = π, es:
a) ∫∫
π
π
π
-0
sen=Ad)2=Ac)0=Ab)sen2=A dxxdxx
Rta.: a
18. Una ∫
++
+
dx
xx
x
92
12
es: a)
92
9292x92
ln
2
d)2c)lnb)
++
++++++
xx
xxxxx
x
Rta.: c
19.
2 1
52
2
3
x
x x
dx
+
+ −
∫ es igual a: a)
49
48
b) ln 3 – ln 2 c) ln 7 d) 2
Rta.: c
20. Si f dx f dxx x( ) ( ) )entonces (5
0
3
= −∫ ∫
0
3
4 2 es igual a: a) 18 b) 14 c) 2 d) 3
Rta.: b
(2) Julio 1993 Tema 2
1. Si A = (2, 2), entonces 2B)A,(d = para B igual a: a) (3,1) b) (1,0) c) (0,1) d) (2,-1)
Rta.: a
2. El vértice de la parábola de ecuación )
2
1
)(1(2 +−= xxy es:
a) (3, 1) b) ( ¼ , – 9
/8) c) (– ¼, – 3
/8) d) (– ½ , 0)
Rta.: b
3. El gráfico de
3
1
1)(
+
+=
x
f x
a) tiene dos asíntotas
b) tiene una asíntota vertical y una horizontal
c) tiene dos asíntotas
d) no tiene asíntotas
Rta.: b (asíntota vertical: – 3; asíntota horizontal: 1).
4. El dominio natural de )53ln( 2
)( xxf x −= es:
),0(,)0R),,0)()1,)
3
5
3
5
2
1
+∞∪



 −∞−>



 +∞∪−∞



 dcba
Rta.: b

5. Si f(x) = 2x + 1, g(x) = sen x y h = f o g(x) ⇒ la imagen de h es:
a) [–1, 1] b) [– 3, 1] c) [– 2, 2] d) [–1, 3]
Rta.: d
6. Sea f: [0,½ π] →R / f(x) = cos (2x), entonces:





 ππ
=




 π
=




 π
=+





 ππ
=+
2
,
4
-C)
2
,0-C)
2
,0C)
2
,
4
C) dcba Rta.: d.
7. Si la derivada de f es x
x exf −
−= ).2(' 2
)( entonces f tiene:
2enlocalmínimouny2enlocalmínimoun2enlocalmáximouny2enlocalmáximoun
2enlocalmáximouny2enlocalmínimoun2enlocalmínimouny2enlocalmáximoun
))
))
−−
−−
•d•b
•c•a
Rta.: c
8. La derivada de
1
)(ln 2
)(
+
=
x
x
f x es:
1).1.(2
lnln).1(4
)
1.ln4
)
)1(
lnln).1(4
)
)1(2
lnln)14(
)
2
2
3
22
++
−++
+
−+
+
−+
xxx
xxxx
d
x
xx
c
x
xxx
b
xx
xxxx
a
Rta.: d
9. Si
2
3
)6)
2
3
)9):es)-(entonces6
3
0
)(
3
0
)( −−= ∫∫ dcbadttfdtf tt Rta.: b
10. El área encerrada entre la gráfica de f(x) = cos x y el eje x entre 0 y
2
π
es:
a) 0 b) – sen. x c) 1 d) 2 Rta.: c
11. Los gráficos de f(x) = x2
+ 2x + 1 y g(x) = 2x + 10 se cortan en:
a) (2, 16) y (– 2, 4) b) (– 3, 4) y (3, 16) c) (3, 16) y (– 3, 4) d) (16, 3) y (4, – 3)
Rta.: c
12. Una primitiva de f(x) = 1 + ln x es: cxxxd
x
xcc
x
bxxa ++++++ ln)
2
ln
1)
1
)4ln)
2
Rta.: a
13. La derivada de
2
cos
2
sen)(
xx
f x = en el punto de abscisa π vale: a) ½ b) – ½ c) 1 d) – 1
Rta.: d

14. Si
12
2
/}
2
1
{R}
2
1
{R: )(
+
−
=−−→−−
x
x
ff x entonces f- -1
es igual a:
12
2
d)
2
12
c)
12
2
b)
1
)
2
1 +
−
−
+
−
−
+ x
x
x
x
x
x
x
a
Rta.: d
15. Si 13 2
)( −+= xxf x entonces la ecuación de la recta tangente al gráfico en el punto (1, f(1) ) es
igual a: a) y = 7 x – 4 b) y = 6 x – 4 c) y = 6 x – 3 d) y = 7 x + 4
Rta.: a
16. ∫
−
1
1
. dxex x
es igual a: a) x ex
- ex
b) 2
/e c) e – 1
/e d) x . ex
Rta.: b
17. Si 1
)(
23
+−+−
= xxx
x ef , entonces f ‘(a) + f(a) = 0 si y solo si:
a) a = 0 ó a = 2
/3 b) a = 0 c) a = e d) a = 1
Rta.: a.
18. La función 26279 23
)( +−+−= xxxf x :
a) tiene un máximo relativo en x = 3
b) tiene un mínimo relativo en x = 3
c) es decreciente
d) es creciente.
Rta.: c
19. Si f: R → R es creciente en (− ∞, 3] y decreciente en [3, + ∞), entonces h(x) = – f(x +1) es:
a) creciente en (− ∞, 2] y decreciente en [2, + ∞)
b) decreciente en (− ∞, 3] y creciente en [3, + ∞)
c) decreciente en (− ∞, 2] y creciente en [2, + ∞)
d) creciente en (− ∞, 3] y decreciente en [3, + ∞)
Rta.: c
20. La población (en millones de habitantes) de una cuidad t años después del año 1970 está dada
por la ecuación: P(t) = 5.e0,03 t
. Será el triple de lo que era en 1975 para t igual a:
03,0
)15,03ln(
)
03,0ln
15,03
)
03,0
3ln15,0
)
03,0
3ln15,0
)
+−+−
dcba
Rta.: b

Matemática – CBC – U. B. A – Cátedra Gutiérrez Pág. 1
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Examen Final: Diciembre 1995 Tema 4.
1.Si f(x) = sen2
(π − 2x), entonces f ’(−π/8) es igual a: a) 2 b) 2 2 c) 1 d) 2 Rta: a
2.Si f(x) = 4x2
+ 3x – 5 ; g(x) = x2 + x – 4; el conjunto A = {x ∈ R/ f(x) > g(x)} es igual a:
a) (– 1, 1/3 ) b) (− ∞, − 1/3) ∪ (1, + ∞) c) (0, 1/3) d) (− ∞, −1) ∪ (1/3, + ∞) Rta: a
3. ∫
π
π+
0
)3sen( dxx es igual a: a)
3
2
− b) π
3
2
c) 0 d) 2 Rta.: a
4. la función
12)(
+
=
x
x
f x tiene:
a) Un mínimo en x = 1 y un mínimo en x = – 1
b) Un mínimo en x = 1 y un máximo en x = – 1
c) Un máximo en x = 1 y un máximo en x = – 1
d) Un máximo en x = 1 y un mínimo en x = – 1
Rta: d
5.Si f(x) = e
ax
entonces f ’(0) + f ”(0) = 2 sólo para :
a) a = 0 b) a = – 1 c) a = – 2 ó a = 1 d)a > 0 Rta: c
6. La función derivada de 4
)(
2 +
= x
x ef es igual a:
a) 4
2
1
2
+x
e b) 2 4
2
+x
e c) x 4
2
+x
e d) 2x 4
2
+x
e Rta: d
7. El área de la región limitada por el eje y, por la recta f(x) = 3x – 4 , y g(x) = – x + 4 es igual a:
a) 16 b) 8,5 c) 8 d)– 8. Rta.: c
8. El gráfico de f(x) = ½ + sen 2x para x ∈ [0, 2π] corta al eje x:
a) 2 veces b) ninguna vez c) 3 veces d) 4 veces Rta.: d
9. La función f tiene por derivada af ’(x) = 2x2
– 16x + 30, entonces f es:
a) creciente en (− ∞, 3) b) creciente en (− ∞, 3) ∪ (5, +∞)
c) creciente en (5, + ∞) d) creciente en (3, 5) Rta.: b
10. El conjunto {t∈ R/ t2
e – t
> t e– t
}es: a) (− ∞, 0) ∪ (1, + ∞) b) (1, e) c) (0, 1) d) (1, + ∞)
Rta.: a
11. El conjunto A = {x ∈ R/ – 5x – 7 > 0} contiene al intervalo:
a) (–1, 1) b) (– 6, – 5) c) (– 6, – 1) d) (–2, –1) Rta.: b
12. Sea f(x) = – 6(x – 2) (x + 1). El área de la región encerrada entre el gráfico y el eje x es igual a:

Matemática – CBC – U. B. A – Cátedra Gutiérrez Pág. 2
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a) 16 b)– 16 c) 27 d) 0 Rta: c
13. Si
2
2
)(
+
−
=
x
f x y g(x) = – x, entonces f o g(– 5) es
7
2
d)
3
2
c)
3
2
b)
7
2
a) −− Rta.: a
14. La función f tal que f(0) = 2 y su derivada es 43' )( += xf x es:
2
3
2
1
2
1
2
3
)43(d))43(c)
4)(3b)4)(3a)
9
2
)(4
7
2
1
)(
2
1
)(9
2
9
2
)(
+=++=
+=++=
−
−
xfxf
xfxf
xx
xx
Rta.: a
15. Sea f dada por f(x) = ex
– e – x
; f es positiva en:a) [– 1, 1] b) (− ∞, – 2) c) R d) (0, + ∞)
Rta.: d
16. El conjunto {x ∈ R: >
+
−
2
3
x
0} es igual a:
a) ( – ∞,– 2) b) (2, + ∞) c) (1, + ∞) d) (− ∞, −1) Rta.: a
17. Para x ∈ [0, 2π], sea f(x) = cos2
x – 3 sen x. Entonces {x: f ’(x) = 0} es :
}{)}{)}){}){
2
3
,
24
,
4
3
4
,
2
3
4
,
2
ππππππππ
dcba Rta.: d
18. Sea f(x) = x3
– 2x2
+ x. la recta de ecuación y = 5x – 8 es tangente a la curva y = f(x) :
a) en ningún punto b) en (2,2) c) en (0,0) d) en (2, 0) Rta.: b
19. Si ∫∫
−−
=+
2
3
)(
2
3
2
)( 2)3( dxfdxxf xx , entonces ∫
−
2
3
)( dxf x es igual a:
a) –35 b) – 15 c) 0 d) 35 Rta.: d
20. Sea f la función polinómica de grado 3 tal que su gráfico corta al eje de las x en (–2, 0); (1, 0) y
(2, 0) tal que f(– 1) = – 3. Entonces:
a) f(0) > 0 b)f(0) < 0 c) f(0) = 0 d) f(0) ≠ 0, pero no puede decidirse el signo de f(0).
Rta.: b

Matemática – CBC – U.B.A – Cátedra Gutierrez Pág. 1
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Final: 1998 Tema 1.
1) La función inversa de f(x) = ln (2x + 1) es f – 1
(x) =
a) ln− 1
(2x + 1) b) e 2x + 1
c) (ex
– 1):2 d) e – 0,5 x + 1
Rta: c
2) El conjunto de positividad de
x
x
f x
−
−
=
1
5
)( es:
a) (5, + ∞) b) (1, 5) c)(– ∞, 1) d) (−3, + ∞)
Rta: b.
3) La función
4
3
)(
+
+
=
bx
ax
f x tiene a “y = 4” y a “x = 1” como asíntotas para:
a) a = – 16, b = – 4 b) a = – 4, b = – 16 c) a = 16, b = 4 d) a = 4, b = 1.
Rta: a
4) Sea A ={(x, y)/ |x| > ½ , |y – 1|< 2} y sean P =(0,0), Q = (1,3)
a) P ∉ A, Q ∉ A b) P ∈ A, Q ∈ A c) P ∈ A, Q ∉ A d) P ∉ A, Q ∈ A
Rta: a
5) El gráfico de la función lineal que pasa por el punto (1,2) y tiene pendiente – ½ también pasa por:
a) (2,1) b) (7, – 1) c) (– 4, – ½) d) (7, 5)
Rta: b
6) La función
ax
x
f x
−
=
1
2
)( tiene un punto crítico en x = ½ para “a” igual a: a) – ¼ b) ½ c) 2 d) 4
Rta: d
7) La función 24
)( 23 xxf x += es decreciente en: a) (0, + ∞) b) (−∞, 0) c) 





−
3
1
3
1
; d) R.
Rta: b
8) Sea f: R → R tal que su derivada es f ’(x) = (x – 1)3
(x + 3)4
a) f tiene mínimo local en x = 1 y no tiene extremo en x = – 3.
b) f tiene mínimo local en x = 1 y tiene máximo local en x = – 3.
c) f tiene máximo local en x = 1 y tiene mínimo local en x = – 3.
d) f tiene máximo local en x = 1 y no tiene extremo en x = – 3.
Rta: b
9) La cantidad de soluciones reales de sen x =
2
3
− en el [0, 4π] es: a) 0 b) 4 c) 2 d) infinitas.
Rta.; b
10) F(x) = 2 –
2
x
e tiene alguna raíz real en el intervalo: a) (1, 2) b) (3, 4) c) (0, 1) d) (– 4, – 3)
Rta.: c
11) Si f: [0, 2π] → R es f(x) = sen2
x, es creciente en:
a) (0, ½ π) y en (3
/2 π, 2 π) b) (0, π) c) todo su dominio d) (0, ½ π) y en (π, 3
/2 π )
Rta.: d
12) Si f(x) es una función exponencial tal que f(1) = 1 y f(3) = 4, entonces, f(5) = a) 16, b) 5, c) 4, d) 32
Rta.: a
13) Sea f(x) = e – x + a
– 3 con a ∈ R. Entonces f ‘ (2) = - e – 1
para:
a) a = 1, b) cualquier valor de a, c) a = – 1, d) ningún valor de a.

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Rta.: a
14) Si f es una función continua que tiene exactamente tres ceros (ver tabla de valores), entonces f tiene
exactamente dos ceros en : a) (– ∞, 0) b) (2, 3) c) (– 1, 1) d) ( – ∞, 1)
Rta.: a
15) El área limitada por las curvas y = x3
, y = x2
, x = – 1, x = 1, es igual a:
∫∫
∫∫ ∫
−−
−−+−
−
−
1
0
23
1
1
23
1
1-
32
0
1
1
0
2332
)(d)2)(b)
)(c))()()a
dxxxdxxx
dxxxdxxxdxxx
Rta.: a
16) El máximo que alcanza la función f(x) = - a sen x es igual a 1 cuando:
a) a = 1 ó a = – 1 b) a = - 1 ó a = 3 c) a = 0 ó a = ½ π d) a = 1 ó a = 0
Rta.: a
17) La recta y = 3x + a es tangente a la curva y = x3
– 9x para:
a) ningún valor de a b) a = 16 ó a = – 16 c) a = 10 ó a = – 10 d) a = 2 ó a = – 2
Rta.: b
18) Si f(x) = ax2
+ 4x – 1 y g(x) = x2
+ ax + 2, el máximo de f coincide con el mínimo de g cuando:
a) a = 2 b) a = – 2 c) a = – 1 d) a = 1
Rta.: b
19) Si ∫
−
=
3
1
)( 5dxf x entonces, ∫
−
+
3
1
)(2
)
2
( dx
f
x
x
es igual a: a) 25/3 b) 11 c) 71/6 d) 21/2
Rta.: c
20) En el intervalo [0, 3
/2π], la función f(x) = cos (x + ¾ π) . sen x tiene:
a) 2 ceros b) 3 ceros c) 4 ceros d) 5 ceros.
Rta.: d
x – 2 – 1 0 1 2 3 4
f(x) – 4 1 – 6 – 3 0 2 2

CBC – EXAMEN FINAL MATEMÁTICA CÁTEDRA – GUTIERREZ – DICIEMBRE 1999
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1.
2
La ecuación 6 7 4 es satisfecha porx
x
− = +
0 , 2x x= = ningún número real
2 , 1/ 6x x= = − únicamente por 2x =
__________________________________________________________________________
2.
17
Todos los valores de para los que la distancia entre (5 ; ) y (7 ;1) es igual a son
2
a a∈
0 , 3a a= = 1/ 2 , 3/ 2a a= = sólo 3/ 2a = no hay ningún .a
__________________________________________________________________________
3.
1
El dominio natural de es
ln(2 -3 )x
; 1/ 3 ; 2 / 3( ) (1/3−∞ ∪ ) (0 ; )+ ∞ ; 2 / 3( )−∞ (2 /3 ; )+ ∞
__________________________________________________________________________
4. 1 13 2 4
Si ( ) y ( ) es su función inversa, entonces es igual a
1 3
x
f x f x f
x
− −− ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
− ⎝ ⎠
10/13 2− 1/6− 7/13
__________________________________________________________________________
5. { }2
El conjunto x / x 7 13 3 8 es igual ax x∈ − + > −
∅ (3 ; 7) ( ; 3/ 2) (3 ; )−∞ ∪ + ∞ )( ; 3) (7 ;−∞ ∪ + ∞
__________________________________________________________________________
6.La parábola ( ) 3( )( 5) tiene eje de simetría de ecuación 17 / 6. Entoncesp x x a x x= − − =
2 /9a = 1/3a = 2 /3a = 3/ 2a = −
__________________________________________________________________________
7. 2
La función inversa de ( ) 2 viene dada porx
f x e −
= +
2
1
2 x
y
e −
=
+
ln( 2) 2y x= − + ln( )y x= 2
1 1
2
x
y
e −
= +
__________________________________________________________________________
8.Entre todos los rectángulos cuyos lados e están relacionados por 2 24, el de área
máxima viene dado por
x y x y+ =
6 ; 12x y= = 6 ; 6x y= = 7 ; 10x y= = 12 ; 6x y= =
__________________________________________________________________________
9. Si ( ) es una función polinomial de segundo grado tal que (3) ( 7) 0 y (0) 42,
entonces (4) es igual a:
P x P P P
P
= − = = −
22 11 21 11−
__________________________________________________________________________
10. 2
La recta que pasa por el origen (0 ; 0) se corta con la parábola de ecuación 3
en un punto de abscisa 1. Entonces la recta también se corta con la parábola en el punto
y x= −L
( 2 ; 1)− − ( 3 ; 6)− − ( 6 ; 3)− − (0 ;3)
__________________________________________________________________________
11.
2
La función homográfica ( ) tiene asíntota vertical 1/5 y asíntota
1
horizontal 3 cuando
f x a x
bx
y
= + =
−
=
3 , 5a b= = 1/5 , 3a b= = 0 , 5a b= = 3 , 0a b= =

Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 011-15-67625436
12. 3 2
La cantidad de raíces reales de la función polinomial 2 esx x x+ +
sólo dos ninguna sólo una exactamente tres
__________________________________________________________________________
13.
( )
( )0,01
Un nuevo rumor se propaga en una pequeña población, y el número ( ) de personas que
lo conocen al cabo de días viene dado por ( ) 5000 1 2 . Llega a ser conocido
por la mitad de la población
t
N t
t N t
−
= −
a los
36500 días 125 días nunca 100 días
__________________________________________________________________________
14. 3
La recta tangente a ( ) 1 en el punto (1; (1)) intercepta al eje de las
en el punto de abscisa
f x x x f= + + x
0 1/ 4 3/ 2 3/ 2−
__________________________________________________________________________
15. 3 2
2
Los móviles y se desplazan respectivamente según las ecuaciones ( ) 3 4
y ( ) . Sabiendo que en el instante 4 se encuentran en el mismo lugar y
llevan la misma velocidad,
A B A t t t
B t t mt n t
m
= − +
= − + =
y deben valer respectivamenten
10 ; 100m n= = 16 ; 60m n= − = −
16 ; 60m n= = − 20 ; 64m n= =
__________________________________________________________________________
16. ( ) ( )
2 3
Si : , y su derivada viene dada por ( ) 3 1 , entonces tiene'f f x x x x→ = − + f
mínimo relativo en 0 y máximo relativo en 1x x= = −
mínimo relativo en 0 y en 3, y máximo relativo en 1x x x= = = −
máximo relativo en 0 y mínimo relativo en 1x x= = −
mínimo relativo en 0, y máximos relativos en 1 y en 3x x x= = − =
__________________________________________________________________________
17.
1
La función : , ( ) es decrecientex
x
f f x e
+
−{0} → =
en ( ; 1) y en (1; )−∞ − + ∞ solamente en (1; )+ ∞
en ( 1;0) y en (0 ;1)− en ( 1;1)−
__________________________________________________________________________
18. Una función : (0 ; ) tal que (1) 3 y ( ) ln es'f f f x x+ ∞ → = =
21
ln ( ) 3
2
x + ln 4x x x− + 21
ln ( ) 2
2
x x+ + ln 3x x x− +
__________________________________________________________________________
19. 3
El área de la región encerrada por los gráficos de , el eje , y las rectas 2, 1 ,
viene dada por
y x x x= = − =x
0 1
3
2 0
3
x dx x dx
−
− +∫ ∫
1
3
2
x dx
−∫
0 1
3
2 0
3
x dx x dx
−
−∫ ∫
1
3
2
x dx
−∫
__________________________________________________________________________
20.
5 5
0 0
Si [3 ( ) 2] 7, entonces ( ) es igual af x dx f x dx+ =∫ ∫
0 1 5 1−
__________________________________________________________________________

CBC – MATEMÁTICA – EXAMEN FINAL – CÁTEDRA GUTIÉRREZ – JULIO 2000
Si necesitas clases para preparar tu parcial o final llamá al 011–15–67625436
1. El cuadrado de la distancia entre los puntos ( ; 1) y (3 ; 5) esx x +
2 2
9 ( 1) 25x x− + + − ( ) (
2 2
3 4x x− − − )
)
2
4 )( ) (
2
3x x− + − ( ) (
2 2
5 2x x− + −
________________________________________________________________________________
2.
10 1
Las asíntotas de ( ) +1 son
2 5
x
f x
x
+
=
−
2 / 5 ; 2x y= = − 5/ 2 ; 1x y= − =
1 ; 2/5x y= − = 2/ 5 ; 1x y= = −
________________________________________________________________________________
3. ( )2
El conjunto de raíces reales de 5 x 9 18 es igual ax x− − +
{3,5,6} {5,6} ∅ {−5,5,6}
________________________________________________________________________________
4. 1 13 2
Si ( ) y es su función inversa, entonces (3)
3
x
f x f f
x
− −−
=
+
0= no existe 2/3= − 3= −
________________________________________________________________________________
5. La inversa de cierta función es tal que (1) 2, (0) 0 y ( 3) 1/ 2.
Entonces (2)
g f g g g
f
= = − =
=
1/ ( 3)g − faltan datos 1 6−
________________________________________________________________________________
6. Los valores de para los cuales la distancia entre los puntos ( ;1) y (2 ; ) vale 10 / 2 sona a a
0 , 3 5/ 2 ,1/ 2 sólo 10a = sólo 0a =
________________________________________________________________________________
7. 2
Sea la región encerrada entre los gráficos de 4 e 2. Se considera
los puntos del plano ( 1; 2) y (2 ; 1). Entonces
A y x y
P Q
= − = − −
= − = −
x
;P A Q A∈ ∉ ;P A Q A∉ ∉
;P A Q A∈ ∈ ;P A Q A∉ ∈
________________________________________________________________________________
8. { }3
El conjunto x / x es igual ax∈ >
( 1; 0)− ( 1; 0) (1; )− ∪ + ∞ ( ; 1) (1; )−∞ − ∪ + ∞ ∅
________________________________________________________________________________
9. ( )( ) 1 y ( ) es una función lineal. Si ( ) 3 1, entonces ( ) es igual ax x
f x e g x g f x e g x= − = −
3x −1 23x + 3x 3
1x
e −
________________________________________________________________________________
10. Un polinomio ( ) tal que ( 1) (2) 0 y (6) 4 es:P x P P P− = = = −
( )1/10 ( 2)( 1)( 5)x x x+ − − ( )1/ 7 ( 2)( 1)( 5)x x x− − + −
4( 2)( 1)x x− − + ( 2)( 1)( 6x x x )− + −
________________________________________________________________________________
11. En el intervalo [0 ; 4 ], el total de raíces de la ecuación 1 sen 2 0 es:xπ + =
4 8 2 1
________________________________________________________________________________

12. ( 1)
0,2
Un proceso de desintegración se describe por ( ) . Se sabe que (1) 3
y (3) 3 Entonces los valores de y de vienen dados como
k t
D t C D
D C k
e
e
− −
−
= =
=
faltan datos 3 ; 0,1C k= =
3 ; 0,2C k= = − 1/ 3 ; 0,1C k= =
________________________________________________________________________________
13. 3/ 2 1
La recta que es tangente a en el punto (1; 2) tiene ecuaciónx
y x e −
= +
( )5/ 2 ( 1) 2y x= − + ( ) 1/ 2 1
3/ 2 x
y x e −
= + ( )5/ 2 2y x= + 2 / 5y =
________________________________________________________________________________
14. 2
La recta tangente a ( ) 4 en el punto de abscisa 1 se corta con los ejes
coordenados en los puntos
f x x x= − =
(0 ; 0) y (1;1) (5/ 2 ; 0) y (0 ; 5)−
(5/ 2 ; 0) y (0 ; 5) ( 2 ; 3) y (0 ;1)−
________________________________________________________________________________
15.
2
La función ( ) es creciente en
1 2
x
f x
x
=
−
(0 ;1) (0 ;1/ 2) y en (1/ 2 ;1)
(1; )+ ∞ ( ; 0) y en (1; + )−∞ ∞
________________________________________________________________________________
16. 3 2
La función ( ) 2 9 60 tienef x x x x= + −
mínimo relativo en 0x =
mínimo relativo en 5 y máximo relativo en 2x x= − =
máximo relativo en 5 y mínimo relativo en 2x x= − =
mínimo relativo en 9/ 4x = −
________________________________________________________________________________
17. El área de la región encerrada por el gráfico de cos , el eje de las abscisas
y las rectas 0, 3 es igual a
2
y x
x x
π
=
= =
1− ( )3/ 2 π 1 3
________________________________________________________________________________
18. ( )
1
2
20
2
ln 1 es igual a
1
x
x dx
x
+
+∫
1 ( ) 2
1/ 2 ln (2) ln 2 ( ) 2 2
1/ 2 ln (1 )x+
________________________________________________________________________________
19.
1 1
0 0
[3 ( ) ] 10 e ( ) . Entonces:f x x dx I f x dx− = =∫ ∫
11/3I = 7/ 2I = 0I = ( )10 /3I x= +
________________________________________________________________________________
20. 2 2
Si el área de la región encerrada entre el gráfico de ( ) ( 0) y el eje
de las abscisas vale 32/3, entonces es igual a
f x a x a
a
= − >
7/3 1 3/7 2
________________________________________________________________________________

CBC – EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA – FEBRERO 2000
CÁTEDRA GUTIERREZ-FAURING
Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 4585 - 1548
__________________________________________________________________________
1. 2
Si el vértice de la parábola es (1; ), entonces:vy x bx y= +
2 ; 2vb y= − = 2 ; 1vb y= − = −
1
;
2 2
vb y= − =
1
2 ; 0vb y= =
_________________________________________________________________________
2. Los ceros de ( ) 1 sen que pertenecen al intervalo [ ;2 ] son:f x x π π= + −
, 0, , 2π π π−
2
π
, 3
2 2
π π
− , , 3
2 2 2
π π π
−
__________________________________________________________________________
3. 12
Si ( ) entonces (1) es igual a:
2 1
x
f x f
x
−−
=
+
3 1− 3− 1
__________________________________________________________________________
4.
1
Las asíntotas de ( ) 1 son las rectas de ecuaciones:
1
f x
x
= −
−
1; 0x y= − = 1; 1x y= − = 1; 1x y= = − 1; 0x y= =
__________________________________________________________________________
5. El punto ( ; 48) pertenece a la recta que pasa por los puntos (0 ; 0) y (1; 3) sia −
16a = 51a = − 1/16a = − 16a = −
__________________________________________________________________________
6.
2
y son los puntos donde el gráfico de ( ) corta a los ejes coordenados.
2
La distancia entre y es igual a:
x
P Q f x
x
P Q
+
=
−
5 5 1 3
__________________________________________________________________________
7. La imagen de la función ( ) 3 2sen esf x x= +
[1; 5] [3 ; 5] [ 1;1]−
__________________________________________________________________________
8.
3
El conjunto x / 2 es igual a:
x
⎧ ⎫−
∈ <⎨ ⎬
⎩ ⎭
3
( ;
2
− + ∞)
3
( ;
2
−∞ − )
3
( ; 0 ) (0 ;
2
−∞ ∪ )
3
( ; ) (0 ;
2
)−∞ − ∪ + ∞
__________________________________________________________________________
9. El dominio natural de ( ) ln( ) es:f x x=
(0 ; )+∞ (0 ; ]e [1; )+ ∞
__________________________________________________________________________
10. Si ( ) es la función polinomial de grado 3 cuyo gráfico pasa por los puntos
(2 ; 0) , (-1; 0), (1; 0) y (0 ; 1), se puede afirmar que ( 2)
f x
f− −
es positiva es negativa es nula no existe
__________________________________________________________________________
Si necesitas clases de apoyo para aprobar tu parcial o final llamá al 011–15–67625436

11.
2
2
1
Si la derivada de es ( ) , se puede asegurar que es creciente en'
x
f f x f
x
−
=
( )0 ;1 ( )1/ 2 ; 3/ 2 ( ; 1−∞ − )
__________________________________________________________________________
12. El área de la región encerrada por las curvas , 0 , 3 está dada por:y x x y= = =
( )
9
0
3 x dx−∫
9
0
x dx∫ ( )
3
0
3 x dx−∫
3
0
x dx∫
__________________________________________________________________________
13. ( )
0 2
2
2 1 es igual a:x dx
−
+∫
14 /3 2− 28/ 3 13/3−
__________________________________________________________________________
14. ( )
3
Si ( ) ln 2 1 entonces su derivada ( ) es igual a'f x x f x⎡ ⎤= +
⎣ ⎦
( )
3
1
2 1x +
( )
23
ln 2 1x
x
⎡ ⎤+
⎣ ⎦
6
2 1x + ( )
2
6
2 1x +
__________________________________________________________________________
15. { }2
Si ( ) 6ln( ), entonces x / 3x 9 (2) es igual a'g x x g= ∈ − >
( ; 2) (2 ;−∞ − ∪ + ∞) (2 ; )+ ∞ ( 2 ; 2)− ( ; 2−∞ − )
__________________________________________________________________________
16.
2 2
La recta tangente al gráfico de ( ) en 0 es:x
f x e x−
= =
2
y e−
= 0y =
2 2
2 x
y xe −
= 2
y e−
= −
__________________________________________________________________________
17. [ ]
3 3
0 0
Si ( ) 6, entonces ( ) 3 es igual a:f x dx f x x dx= −∫ ∫
15
2
3−
15
2
− 3
2
__________________________________________________________________________
18. 3
La recta 3 1 es tangente al gráfico de ( ) 2 3 5 en:y x f x x x= − = − −
( 1; 4)P = − − (1; 6)P = − (1;2)P = ( 1;4)P = −
__________________________________________________________________________
19. sen( )
En el intervalo (0 ; 2 ), ( ) tienex
f x eπ =
mínimo relativo en y máximo relativo en 3
2 2
x x
π π
= =
máximo relativo en x π=
máximo relativo en y mínimo relativo en 3
2 2
x x
π π
= =
mínimo relativo en x π=
__________________________________________________________________________
20. Una primitiva de ( ) 3 5 es ( ) igual a:f x x F x= +
( )
1/ 21
3 5
2
x
−
+ ( )
3/ 23
3 5
2
x + ( )
3/ 22
3 5
9
x + ( )
1/ 23
3 5
2
x
−
+
__________________________________________________________________________

CBC – FINAL DE MATEMÁTICA – CÁTEDRA GUTIERREZ – DICIEMBRE 2000
Por cada ítem hay cuatro respuestas, siendo verdadera exactamente una de ellas. Marque con una cruz la respuesta que considere
correcta. Para aprobar este examen hay que tener al menos 8 respuestas correctas, y la cantidad de correctas debe ser mayor que la
cantidad de incorrectas. Los ítems no contestados no se tendrán en cuenta.
__________________________________________________________________________________________
1.
1
¿Qué cuadrante no es atravesado por el gráfico de ( ) 1 ?
2
f x x= − +
el primero el tercero el segundo el cuarto
__________________________________________________________________________________________
2. 2
La recta de pendiente 3 que pasa por el origen, se corta con la parábola de ecuación 4
en los puntos de abscisa:
y x= −
0 y 3 4 y 1− 2 y 2− 1 y 4−
__________________________________________________________________________________________
3. 2
Si ( ) , ( ) 9 y { / ( )( ) 1} entonces es igual a:x
f x e g x x B x R f g x B= = − = ∈ >
{ 3 ; 3}− ( ; 3) (3 ; )−∞ − ∪ + ∞ (3 ; )+ ∞
__________________________________________________________________________________________
4. 13
Si ( ) entonces , la función inversa de , es igual a:
1
x
f x f f
x
−−
=
+
1
3
x
x
+
−
3
1
x
x
−
+
3
1
1
x
x
−
−
+
3
1
x
x
−
+
__________________________________________________________________________________________
5. El mayor valor que puede alcanzar ( ) 2 sen es igual af x x= −
2 1 3 / 2π−
__________________________________________________________________________________________
6. 2
¿Cuál de los siguientes valores no pertenece a la imagen de ( ) 1 ( 2) ?f x x= − −
1 2 0 1/ 2−
__________________________________________________________________________________________
7.
2 1 6 1
Los gráficos de las funciones e se cortan en el punto de abscisa
x x
y ye e− +
x == =
1
2
1
2
− no se cortan
1
ln
2
−
__________________________________________________________________________________________
8. En el intervalo [ ; 2 ] la función ( ) 1 sen(2 ) tiene exactamentef x xπ π− = −
un cero seis ceros dos ceros tres ceros
__________________________________________________________________________________________
9.
ln( 2)
El dominio de ( ) es
4
x
f x
x
+
=
−
( 2, )− +∞ ( 2,4) (4, )− ∪ +∞ {4}− ( 1, )− +∞
__________________________________________________________________________________________
10.
1
Si ( ) , entonces
x
f x
x
−
=
0
lim ( ) y lim ( ) 1
xx
f x f x+ → − ∞→
= −∞ =
0
lim ( ) y lim ( ) 1
xx
f x f x+ → − ∞→
= +∞ =
0
lim ( ) 1 y lim ( ) 1
xx
f x f x+ → − ∞→
= =
0
lim ( ) y lim ( ) 0
xx
f x f x+ → − ∞→
= −∞ =
__________________________________________________________________________________________
11. es una función polinomial de segundo grado que se anula en 1 y en 1, y además
(3) 1. Entonces (0) es igual a:
f x
f f
x= − =
=
2/3 1/8− 1− 1/8
__________________________________________________________________________________________
Zona Oeste: Moreno, Lujan.

12. 2
= + + −La ecuación de la recta tangente a ( ) 3 1 tiene pendiente 1 paraf x x x
2x = ningún x 5/ 2x = − 2x = −
____ __________________________ ______________ __________ _ ______________ ___________ __________
( )
2
2
El valor positivo de que hace que ( ) tenga un punto crítico en 1/ 2 es:a f x x
x
= =
x a+
13.
4 3 21
__________________________ ___________________________ ______________________ ________ ___ ____
14. 3
−La función ( ) ( 1) 1) 1 es crecientef x x x= − − +3(
sólo en (2 ; )+ ∞ sólo en ( ; 0)−∞ en ( ; 0) y en (2 ; )−∞ + ∞ en
____ __________________________ ______ _____________________ _________________________________
15. ta tange te en el punto donde ( ) alcanza su máximo sLa ecuación de la rec n ex
f x x e−
= ⋅
1y =
1
y = 1x
e
=
1
x
e
=
__________________________ ______________________ __________________ ____________ ________ ____
16. ( 1)sen sx + 2
imitiva de ( ) ( 2 ) ef x x x= +Una pr
21
cos( 2 )
2
x x− + 21
cos( 2 )
2
x x+ 2
cos( 2 )x x− + 2
cos( 2 )x x+
__________________ ____ ____________ __ ____ __________ ___________ _______________ ______________
17 2 3
Dada : sabe que su derivada ( 1) ( 2) ( ).f f x x x→ = + − −. , se es ( ) 4x′
Entonces la cantidad de extremos relativos de esf
2 3 1 ninguno
__________________________ ___________________ ______________________ ________ ____ ___________
18.
1 t
20
La es igual a
1 t+∫
t d
ln 2 ln 4 2
ln(1 )
2
t
1
+
1
ln 2
2
______ ___________________ ___ ____________ _________________________ ____________________ _____
19. Da s las irmac nes :da af io
( ) ( 2)cos cos 2 cosI x x dx x x dx xdx− = −∫ ∫ ∫
( ) ( 2)( 3) ( 2) ( 3)II x x dx x dx x dx− + = − ⋅ +∫ ∫ ∫
(I) y (II) son verdaderas (I) y (II) son falsas
(I) es verdadera y (II) es falsa erdadera(I) es falsa y (II) es v
__________________________________________________________________________________________
20. es:3
ntre las curvas ey x y x= =El área de la región encerrada e
1
3
( )
1
x x dx−∫
1
3
( )
1
x x dx−∫− −
0 1
1
( )3 3
0
( )x x dx
−
−∫
0 1
x x dx+ −∫
3 3
1 0
( ) ( )x x dx x x dx
−
− + −∫ ∫
____________________________ ______________________________________________________________

Si necesitas clases para preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436
Final de Matemática 2000
Cátedra de Gutiérrez
Examen Final: Julio del 2000
1) La función lineal de f satisface f(3) – f(0) = 8. Entonces la pendiente de f es a)
8
3
b) 8 c)
3
8
d) 3
Rta.: c
2) El valor máximo y el valor mínimo que toma la función f (x) = –3 cos(2x + π) + 1 es:
a) 4 y –2 b) 1 y –3 c) 1 y –1 d) 301 y – 301
Rta.: a
3) Una de las raíces del polinomio P(x) = ½ (x – 2)3
– (x – 2)2
es igual a 2, otra es:
a) 0 b) 4 c) – ½ d) – 2
Rta.: b
4) Los valores pertenecientes a los reales por los cuáles la distancia entre (2a –1, – 4) y (1,2) es
igual a10 son: a) – 5 y 3 b) – 3 y 5 c) 0 y 100 d) 1 y ½
Rta.: b
5) El dominio natural de la función f(x) = ln(x –1) + ln(2 + x) es:
a) (– 2; + ∞) b) (– ∞; – 2) ∪ (1, + ∞) c) (0; + ∞) d) (1; + ∞)
Rta.: d
6) Si 4
13
2
)( −
+
=
x
f x , entonces la asíntota horizontal de f –1
(x) tiene ecuación:
a)
4
3
−=y b) y = 2 c) y =
3
1− d) y = 3
Rta.:
7) Si f(x) = e – 3x
+ 2 entonces la imagen de f es igual a: a) (– ∞; 2) b) (0; + ∞) c) (2; + ∞) d) (– ∞; 0)
Rta.: c
8) Si una parábola tiene vértice en (4,7) y corta al eje de los x en (5,0) entonces también corta el eje
de los x en el punto: a) (3,0) b) (0,0) c) (6,0) d) (– 5,0)
Rta.: a
9) El conjunto de positividad de f(x) = (x2
– 3) ex – 5
es igual a:
a) (– 3 ; 3 ) b) (– ∞, – 3) ∪ (3 + ∞)
Zona oeste: Moreno, Lujan.

c) (– ∞,– 3 ) ∪ ( 3 , 5) ∪ (5, + ∞) d) (– ∞, – 3 ) ∪ ( 3 , + ∞)
Rta.: d
10) El gráfico de f(x) =
x
2
corta a la recta de ecuación y = x +1 en los puntos de abscisa:
a) –1 y 0 b) – 2 y 0 c) 1 y – 2 d) 1 y 0
Rta.: c
11)Dada 2
)( 1cos xf x += su derivada es igual a:
a)
2
2
12
1sen
x
xx
+
+−
b)
2
2
12
1sen
x
x
+
+
c)
2
2
1
1sen
x
x
+
+−
d)
2
2
1
1sen
x
xx
+
+−
Rta.: d
12) ∫
1
0
. dxex x
es igual a: a) 1 b) x. ex
– e + 1 c) ½ e d) x. ex
– ex
.
Rta.: a
13) La función f(x) = 2x2
– 1n x:
a) es creciente (0 + ∞) b) es decreciente en (0 + ∞)
c) tiene un máximo relativo en x = ½ d) tiene un mínimo relativo en x = ½
Rta.:d
14) Si x ∈ [0,2 π] es tal que sen x < 0 y cos x > 0, entonces x pertenece a:
( ) ( ) ( ) ( )πππππ ππ
2
3
222
3
,),0),)2,) dcba
Rta.: a
15) La función f(x) = (x – 3)2
+ 10 es creciente solamente en: a) R b) (3, + ∞) c) (4, + ∞) d) (– ∞,3)
Rta.: b
16) La recta tangente al gráfico de f(x) = x2
+ 4x –1 en xo = –1 es:
a) y = – 2x – 6 b) y = 2x + 4 c) y = 2x –2 d) no existe
Rta.: c
17) El área de la región encerrada entre la curva y = – x2
y la recta y = x es:
a) ∫
−
−−
0
1
2
)( dxxx b) ∫
−
+−
0
1
2
)( dxxx c) ∫
−
+
0
1
2
)( dxxx d) ∫
−
+−
0
1
2
)( dxxx

Rta.: b (para que3 el valor sea positivo)
18) Dadas las afirmaciones:
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
+−=+−
−=
dxxdxxdxxx
dxxdxxxdxxx
).3().2().3)(2()II(
.cos2.cos.cos)2–()I(
Decir : a) (I)verdadera b) (II)falso c) (I) es falso y (II) verdadera
d) (I) y (II) son verdaderas e) (I) y (II) son falsos.
Rta.: a
20) Si en dx
x
xx
sen2
cos.sen
2∫
+
se realiza la sustitución de y = sen x, se obtiene:
a) dy
yy
y
∫
−+ 12 22
b) dy
y
y
2 2∫
+
c) dy
y
yy
2
1
2
2
∫
+
−
d) dy
y
y
∫
+
−
2 2
Rta.: b

Si necesitas clases para preparar tu parcial o final llamá al 011-15-67625436
∉
CICLO BÁSICO COMÚN MATEMÁTICA EXAMEN FINAL SEPTIEMBRE 2001
CÁTEDRA GUTIÉRREZ-FAURING
_____________________________________________________________________
1. 2
Dados {( , ) : 3 0} y los puntos (2,7) y (2,6)A x y R x y P Q= ∈ − < = =
yP A Q A∈ yP A Q A∈ ∈
yP A Q A∉ ∉ yP A Q A∉ ∈
_____________________________________________________________________
2.
3 2
El conjunto de puntos que satisfacen la inecuación 0 es igual a
x
x
−
<
(0,1) (3/ 2 , )+ ∞ ( ,0) (3/ 2, )−∞ ∪ +∞ ( ,1−∞ )
_____________________________________________________________________
3. Todos valores de que hacen que ( 1; ) diste de (2,4) en 1 sona a a∈ −
3, 1 y4 y 2− 3 1, 0 y 1− 3 y 4
_____________________________________________________________________
4. 2
Si ( ) 7 6 y ( ) 1, el conjunto de raíces de ( ) ( )( ) es:f x x x g x x h x f g x= + + = + =
{ 5,0}− { 7, 2}− − { 1,6}− { 2,6,7}−
_____________________________________________________________________
5. Una función lineal tal que (2) ( 2) 6 y (1) 1 es ( ) igual af f f f x+ − = =
2
3 7x x+ − 9 32x− + 9 8x − 4 2x −
_____________________________________________________________________
6. 2
La distancia entre el vértice de la parábola de ecuación ( 2) 1 y el origen es:y x= − − +
0 2,236067 2 1+ 5
______________________________________________________________________
7. :[0, ] definida como ( ) cos(2 ) toma su valor mínimo cuando vale
2
f R f x x x
π
π → = +
4
π
4 2
π π
+ π
2
π
______________________________________________________________________
8. La imagen de ( ) 3sen(2 / 7) es igual af x x π= − +
[ 3,3]− [ 1,1]− [ 3 / 7 , 3 / 7]π π− [0 , / 2]π
_____________________________________________________________________
9. Si 13
Si ( ) y es la función inversa de , entonces
1
x
f x f f
x
−−
=
+
1
(1) 1f −
= − 1
(1) no existef − 1
(1) 1/ 2f −
= 1
(1) 0f −
=
_____________________________________________________________________
10.Si ( ) es una función polinomial de grado 3 con raíces -5, 2 y 4 y (0) 120,
entonces
P x P = −
(1) 18P = (1) 54P = − (1) 0P = (1) 120P = −
_____________________________________________________________________
11.
1
5 3 5 2
Se sabe que lim y lim , entonces
2 2 2 5x x
ax ax
x b x b→+∞ →
− −
= =
− −
2 /3 , 1/ 5a b= = 3 , 2a b= = 3, 7a b= = 0 , 1a b= =
_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________
12.
2sen
La derivada de es igual ax
e
(2 2sen ) 1
(sen ) x
x e − (2sen ) 1
2sen cos x
x x e −
⋅
2sen
(2sen ) x
x e
2sen
2sen cos x
x xe
_____________________________________________________________________
13. 3 2
La recta tangente al gráfico de ( ) 1 en el punto (1, (1))
tiene ecuación
f x x x x f= + + +
6 2y x= − 6 2y x= − 3 1y x= − 2 1y x= +
_____________________________________________________________________
14.
2
1
( ) tiene un punto crítico en 1 para
3
ax
f x x
x
+
= =
+
cualquier 0a > 1/7a = − 1/7a = 3/5a =
_____________________________________________________________________
15. : es una función derivable cuya derivada verifica ( ) 0 en
( ,2) (3, ) y ( ) 0 en (2 , 3). Entonces
'
'
f f
f x
→ <
−∞ ∪ +∞ >
x
xalcanza un máximo relativo para 2 y un mínimo relativo para 3f x = =
alcanza un mínimo relativo para 2 y un máximo relativo para 3f x x= =
alcanza mínimos relativos para 2 y para 3f x x= =
Con los datos suministrados no se puede asegurar extremos.
___________________________________________________________________
16. 2
( ) .(1 ) es creciente únicamente enf x x x= −
( 3 / 3 ; 3 /3− ) ( ) ( ), 3 /3 y en 3 /3,−∞ − + ∞
(0, 3 /3) (0, )+∞
_____________________________________________________________________
17.
2
16 3
La función ( ) decrece en
3
x x
f x
x
+ −
=
−
( , 1) y en (7, )−∞ − +∞ ( 1,3) y en (3,7)−
( 1,7)− (7, )+∞
_____________________________________________________________________
18.
2
Una función cuya derivada es ( ) y (0) 1 es' xf f x x xe f= =sen
sen cos
2sen
1
2 2
x
e
+
2sen
2
x
e
2sen
sen . x
x e 2 cos
sen x
xe
______________________________________________________________________
19.
2 2 2
3
1 1 1
1
Si [ ( ) ] ( ) entonces ( ) es igual a
4
f x x dx f x dx f x
− − −
+ = −∫ ∫ ∫
2 1/ 4 0 3
_____________________________________________________________________
20. El área de la región encerrada entre los gráficos de sen , el eje de las , y las rectas
de ecuaciones , / 2, es igual a
x
x xπ π= − =
x
1− 3 1 2−
_____________________________________________________________________

CICLO BÁSICO COMÚN MATEMÁTICA EXAMEN FINAL
CÁTEDRA GUTIÉRREZ-FAURING
DICIEMBRE 2003
1. 2
La imagen de la función ( ) 2 4 1 esf x x x= − +
[1, )+ ∞ ( , 1]−∞ [ 1 , )− + ∞ ( , 1−∞ − ]
________________________________________________________________________________
2. Si [ , ], ( ) cos es positiva enx f x xπ π∈ − =
( ; / 2) ( / 2 ; )π π π− − ∪ π )( / 2 ; / 2π π− (0 ; )π ( ; 0)π−
________________________________________________________________________________
3. Sea ( ) 3 2cos . El valor máximo que alcanza esf x x f= −
3 5 1 2
_______________________________________________________________________________
4.
2 1
: 4 1 , entonc
3
x
A x R
− + 
= ∈ − < ≤ 
 
Si es
A A1 6A∉ ∈ 1 6A A∈ ∈ 1 6A∈ ∉ 1 6A A∉ ∉
________________________________________________________________________________
5. Si 2
( ) ( 1) y ( ) 2 , entonces el conjunto de ceros de esf x x g x x f g= − = +
∅ {1} { 1}− { 1,1}−
________________________________________________________________________________
6.
4
Las ecuaciones de las asíntotas de la función ( ) 2 son
1
f x
x
= +
+
1 ; 2x y= − = 1 ; 2x y= = 1 ; 0x y= − = 2 ; 1x y= = −
)
________________________________________________________________________________
7. 2
El dominio de ( ) ln( 1) es igual af x x= −
( 1 , 1)− (0 ; )+∞ ( , 1) (1,− ∞ − ∪ +∞ R
________________________________________________________________________________
8. S 1
ea ( ) 5 3. Entonces (2) es igual ax
f x e f −
= −
2
e− 2
5e −3 1 0
________________________________________________________________________________
9
1
El gráfico de ( ) 1 corta a los ejes coordenados en los puntos y .
1
La distancia entre y es igual a
f x P
x
P Q
= +
+
Q
8 8 0 2
________________________________________________________________________________
10.
2
3
El conjunto de positividad de la función ( ) es
2 1
x
f x
x
+
=
−
( , 1/ 2− ∞ ) ( , 3 ) ( 3 , )−∞ − ∪ + ∞
( 3, 3− ) (1/ 2, )+ ∞
________________________________________________________________________________
1

11. Si la función lineal cumple (6) (3) 4, su gráfico tiene pendiente igual af f f− =
4/3 3 4 3/ 4
________________________________________________________________________________
1 .2 2
La función ( ) ln( 4) es creciente enf x x= +
(0, )+ ∞ ( 2, )− + ∞ R ( , 0−∞ )
________________________________________________________________________________
13. Si 2
la derivada de es ´( ) ( 1)( 2) , entoncesf f x x x= − −
tiene un máximo relativo en 1 y no tiene mínimo relativof x =
no tiene extremos relativosf
tiene un mínimo relativo en 1 y no tiene máximo relativof x =
tiene un mínimo relativo en 1 y no tiene máximo relativo.f x =
________________________________________________________________________________
14.
1
( ) . Entonces ´(2) es igual a
1
x
f x f
x
−
=
+
Sea
2/9 3/5 28 2/6
________________________________________________________________________________
15. Sea 2
( ) 3 1. La ecuación de la tangente al gráfico de en el punto (1, (1) ) esf x x x f f= − + −
1y x= + 1y = 2y x 3= − + y x=
________________________________________________________________________________
16. Sea 2
( ) 1. Si es el valor del área de la región comprendida entre los gráficos
de , el - , y las rectas 0 y 3, entonces se obtiene calculando
f x x A
f eje x x x A
= −
= =
1 3
2 2
0 1
(1 ) ( 1)x dx x dx− + −∫ ∫
3
2
0
( 1)x dx−∫
3
2
0
(1 )x dx−∫
1 3
2 2
0 1
( 1) (1 )x dx x dx− + −∫ ∫
________________________________________________________________________________
17. ( )
1
2
1
2 parax a dx
−
+ =∫
Ningún valor de .a
4
3
a =
2
3
a = 1a =
________________________________________________________________________________
18.
2
Una primitiva de la función ( ) . es la función ( )x
f x x e F x−
= =
21
2
x
e −
− 22
2
2x x
e x e− −
−
2x
e − 2x
e −
−
________________________________________________________________________________
19. Si 2/3
( ) (2 1) , su derivada es ´( )f x x f x= + =
5 / 33
(2 1)
10
x + 1 / 3
(2 1)x −
+
1 / 34
(2 1)
3
x −
+ 1 / 32
(2 1 )
3
x −
+
________________________________________________________________________________
20.
cos( )
es igual a
x
dx
x
∫
1
sen( )
2
x C+
1
sen( )
2
x C− +
2sen( )x C− + 2sen( )x C+
2

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CICLO BÁSICO COMÚN EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA JULIO 2004
_____________________________________________________________________
1. 2
Si ( ) 4 y ( ) 5, el gráfico de tiene vértice en el puntof x x g x x f g= − = −
(0 ; 4)V = − (5 ; 4)V = − (0 ; 9)V = − (5 ; 4)V =
_____________________________________________________________________
2. En el intervalo [0 ; 2 ] , el gráfico de ( ) cos(2 ) corta al ejef x xπ = x
4 veces 1 vez nunca 2 veces
_____________________________________________________________________
3. 2
El dominio de la función ( ) ln( 5 6) esf x x x= − +
(2 ; 3) (0 ; )+ ∞ ( ; 2) (3 ;−∞ ∪ + ∞)
_____________________________________________________________________
4. 1
La función inversa de ( ) 1 2 es ( ) igual af x x f x−
= + −
( )
2
2x + −1 ( )
2
1 2x − + 2 1x + −
1
1 2x + −
_____________________________________________________________________
5. ( )El conjunto de negatividad de la función ( ) ln 100 esf x x= −
(101; )+ ∞ ( ;101)−∞ (100 ;101) (100 ; )+ ∞
_____________________________________________________________________
6. 3x
La imagen de la función ( ) 1 es igual af x e +
= −
( ; 1−∞ − ) ( 1; )− + ∞ ( 3 ; )− + ∞
_____________________________________________________________________
7. Si ( ;1) y Q (2 ; 4) entonces ( , ) 5 sólo paraP a d P Q= = =
6 ; 2a a= − = ningún valor de a 6 ; 2a a= = 6 ; 2a a= = −
_____________________________________________________________________
8. { }22
Si ( , ) / 3 ;| 2 | 4 , ( 2 , 7) y Q (3 , 0), entoncesA x y x y P= ∈ > − < = − =
,P A Q A∉ ∈ ,P A Q A∉ ∉
,P A Q A∈ ∉ ,P A Q A∈ ∈
_____________________________________________________________________
9.
1 1
La recta que pasa por ( , ) y por (1,1) tiene pendiente
2 3
A B= =
3
4
m =
3
2
m =
4
3
m =
1
3
m =
_____________________________________________________________________
10.
2
2
2 8
Las ecuaciones de todas las asíntotas de ( ) son
1
x
f x
x
−
=
−
1; 1; 2y y x= = − = ; 01 yx ==
2 ; 2x x= = − 1; 1; 2x x y= = − =
_____________________________________________________________________
11. 0
ln
La recta tangente al gráfico de ( ) en el punto de abscisa tiene
pendiente
x
f x x e
x
= =
0m =
1
m
e
= 1m = 2
2
m
e
=

_____________________________________________________________________
12. 2
sen( )x x dx⋅ =∫
2
2
cos( )
2
x
x C− + 21
cos( )
2
x C− +
21
cos( )
2
x C+ 2
cos( )x C− +
_____________________________________________________________________
13.
9
4
dx
x
=∫
1 ln3 ln 2− 2 2 x
_____________________________________________________________________
14. 3
Si ( ) y (0) 2, entonces ( )' x
f x e f f x= = =
31 5
3 3
x
e + 3
1x
e + 3
3 1x
e − 31
3
x
e
_____________________________________________________________________
15.
2
1
Si ( ) 4, entoncesx a dx+ =∫
3
2
a =
5
2
a = 1a =
5
6
a =
_____________________________________________________________________
16. 2
;El área de la región encerrada por las curvas +1 1 esy x y x= − = − +
2
1
0
( 2)x x d− + +∫ x 2
1
0
( )x x dx− +∫
2
0 1
1 0
( 1) ( 1)x dx x dx
−
− + + − +∫ ∫
2
1
0
( )x x dx− +∫
_____________________________________________________________________
17. ( ) ( )
2
Si la derivada de es ( ) 1 2 , entonces tiene'f f x x x f= + −
un mínimo relativo en 2x =
un máximo relativo en 2x =
un mínimo relativo en 1 y un máximo relativo en 2x x= − =
un máximo relativo en 1 y un mínimo relativo en 2x x= − =
_____________________________________________________________________
18. 1
0
La ecuación de la recta tangente al gráfico de ( ) ( 1) en el punto de abscisa
1 es
x
f x x e
x
−
= +
=
1y x= + 3y x= 3y x 1= − y x=
_____________________________________________________________________
19. 2
La función ( ) sen ( ) es decreciente enf x x=
(0 ; )π ( ; 2 )π π
3
( ; )
2
π π ( ; )
2
π
π
_____________________________________________________________________
20.
1
La función ( ) es creciente enf x x
x
= +
( ; 0)−∞ ( 1; 0) y en (0 ;1)− ( ; 1) y en (1; )−∞ − + ∞ (0 ; )+ ∞
_____________________________________________________________________

CBC – Metemática – Examen Final – Febrero 2004
1. La parábola de vértice (1,2) que pasa por (0,5) tiene ecuación
2
3 6y x x= + + 5
5
2
2 3y x x= + +
2
3 6y x x= − + 2
2 3y x x= − +
______________________________________________________________________________
2. { }2
ea ( , ) / 1 5 ; | 2 | 1 Si (2, 1) y (3,2), entoncesA x y R x y P Q= ∈ − ≤ < − > = − =S
yP A Q A∉ ∉ ∈
∈
yP A Q A∈
yP A Q A∉ yP A Q A∈ ∉
______________________________________________________________________________
3. La recta que pasa por los puntos (0, 3) y (2,1) tiene ecuación−
1
3
2
y x= − 2y = x 32y x= − 3y x= − −
______________________________________________________________________________
4. Si 2
{ / 4}, entoncesA x R x A= ∈ < =
) )( , 16− ∞ ( 2 , 2 )− ( , 2− ∞ ( , 2) (2, )− ∞ − ∪ + ∞
______________________________________________________________________________
5. La distancia entre los puntos (2,1) y ( 1,5) es−
7 25 17 5
______________________________________________________________________________
6. La imagen de la función ( ) 2 2sen esf x x= −
R [ 0 ; 4] [ 1;1 ]− [ 2;2]−
______________________________________________________________________________
7.
3
El gráfico de la función ( ) 2 corta al en el punto
1
f x
x
= −
−
eje - x
(5/ 2 ; 0) ( 2 ; 1) (0 ; 5)− (0 ;5/ 2)
______________________________________________________________________________
8. 3 2
Los intervalos de crecimiento de ( ) 3 5 sonf x x x= + +
( ;0) y (5;− ∞ + ∞) )( ; 2) y (0;− ∞ − + ∞ ( 2;0)− (5; )+ ∞
______________________________________________________________________________
9.
5 1
Las ecuaciones de las asíntotas de ( ) son
2 1
x
f x
x
−
=
+
1/5 ; 0x y= = −5/ 2 ; 1/2x y= =
1/2 ; 5/ 2x y= − = 1/ 2 ; 1/5x y= − =
______________________________________________________________________________
10. 1
La función inversa de ( ) 3 ln2 es ( )f x x f x−
= + =
31
2
x
e − 1
( 3
2
x
e − )
1
ln( 3)
2
x − 31
2
x
e +
______________________________________________________________________________
11. La función ( ) cos2 , en el intervalo [0 ;2 ], tiene exactamentef x x π=
cuatro ceros un cero seis ceros dos ceros

12. 0
2 4
La recta tangente al gráfico de ( ) en el punto de abscisa 2,
tiene ecuación
xf x e x−
= =
4y x= − 7 14y x= + 1y x= + 1y x= −
______________________________________________________________________________
13. 2
La derivada de ( ) sen (3 ) es ( )f x x f x= =´
2cos(3 )x 2sen(3 )cos(3 )x x 6sen(3 )cos(3 )x x 2sen(3 )x
______________________________________________________________________________
14. 0
2
La recta tangente al gráfico de ( ) ln(4 1) en el punto de abscisa 1
tiene pendiente
f x x x= + =
0 1/5 ln5 8/5
______________________________________________________________________________
15 . Si 2
la derivada de ( ) es ( ) ( 1), entonces tienef x f x x x f= −´
No tiene extremos relativos
Máximo relativo en 1 y mínimo relativo en 0x x= =
Mínimo relativo en 1 y no tiene máximo relativo.x =
Mínimo relativo en 1 y máximo relativo en 0x x= =
______________________________________________________________________________
16. 2
El área de la región encerrada por el gráfico de ( ) 4 y el eje-
para 0 3 es igual a
f x x
x
= −
≤ ≤
x
22 32
0 2
( 4) ( 4)x dx x dx− + − −∫ ∫
3 2
0
[ ( 4)]x x d− −∫ x
2 32 2
0 2
( 4) ( 4)x dx x dx− − + −∫ ∫
3 2
0
( 4)x dx−∫
______________________________________________________________________________
17.
1
Una primitiva de ( ) es ( )f x F
x
= =x
3/21
2
x−
− 2 x x ln( )x
______________________________________________________________________________
18.
3ln
ln2
es igual ax
dxe∫
1 0 ln3 ln 2− xe
______________________________________________________________________________
19.
0
4/
cos (2 ) es igual ax dx
π
∫
1− 1/ 2− 1
=
1/ 2
______________________________________________________________________________
20. Si
1 1
1 1
[2 3 ( )] 4, entonces ( )x f x dx f x dx
− −
+ =∫ ∫
2
4
3
x− 2
3
1
4
3
______________________________________________________________________________

CICLO BÁSICO COMÚN EXAMEN FINAL DE MATEMÁTICA DICIEMBRE 2004 (A)
1.
5
El conjunto / 1 es igual a
2
A x
x
⎧ ⎫
= ∈ <⎨ ⎬
−⎩ ⎭
( ,2) (7,−∞ ∪ +∞) )(7, )+∞ ( ,2) (3,−∞ ∪ +∞ ( , 3−∞ − )
________________________________________________________________________________
2. La recta que pasa por los puntos (1, 3) y (0,5) tiene ecuaciónA B= − =
1
5
8
y x
−
= + 8y = − x 58y x= − + 5 8y x= −
________________________________________________________________________________
3. 2
La función ( ) 2 4 tiene por imagen el intervalo [7,+ ) sif x x x c= − + ∞
7c = 9c = 1c = 1c = −
________________________________________________________________________________
4. La distancia entre los puntos (1, 2) y (3, 1) es igual aP Q= − = −
5 2 3 5
________________________________________________________________________________
5. 2
El conjunto de positividad de ( ) (2 7 3)( 1) es igual af x x x x= + + −
1
( 3, ) (1, )
2
− − ∪ +∞
1
( , 3 ) ( ,1
2
−∞ − ∪ − ) )( ,1−∞
1
( ,
2
− + ∞)
________________________________________________________________________________
6.
3
2
Si ( ) , lim ( ) y lim ( ), entonces
3 9 xx
x
f x l f x L f x
x + →+∞→
− +
= = =
−
1
;
3
l L= +∞ = −
1
;
3
l L= −∞ = −
1
;
3
l L= − = −∞
2
2 ;
9
l L= = −
________________________________________________________________________________
7. ( )En el intervalo [0,2 ] la función ( ) cos 3 1 tiene exactamentef x xπ = +
1 cero 6 ceros 2 ceros 3 ceros
________________________________________________________________________________
8.
1 1
Si ( ) + 4 y ( ) y , entonces ( )
2
f x g x h f g h x
x x
= = =
−
=
9 4
2 1
x
x
−
−
2
9 4
x
x
−
−
9 1
2 1
x
x
−
−
9
2
x−
________________________________________________________________________________
9. 1
Si ( ) ln( 1) 2 , entonces ( )f x x f x−
= − + =
1
2 x
e −
+ 2
1 x
e −
+ 2
1 x
e −
− +
1
ln( 1) 2x − +
________________________________________________________________________________
10. Si ( ) 3sen(2 ) 1, entonces el conjunto imagen de esf x x f= +
[ 3 ; 3]− [ 1;1]− [ 2 ; 4]− [0 ; 2]
________________________________________________________________________________
11. 2 1
Si ( ) ln , entonces ( )
x
'f x f
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
x
1
2ln
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2 lnx
x
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
2 lnx
x
⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 1
ln
x x
⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
________________________________________________________________________________
Si necesitas clases de apoyo para el parcial, final o libre podes llamar al 011-15-67625436

12. 3 2
0
La pendiente de la recta tangente al gráfico de ( ) 3x 2 3 en el punto de abscisa
=1 es
f x x
x m
= + +
=
2
1
12
2
3
4
8
________________________________________________________________________________
13.
2
2
4
Si la derivada de es ( ) , entonces es decreciente en
2
'
x
f f x f
x
−
=
( , 2) y en (2, )−∞ − +∞ ( ,0)−∞ ( 2,2)− ( 2,0) y en (0,2)−
________________________________________________________________________________
14.
3 23
La función ( ) tienex x
f x e +
=
0 0Un máximo relativo en 2 y un mínimo relativo en 0x x= − =
0 0Un mínimo relativo en 2 y un máximo relativo en 0x x= − =
No tiene extremos relativos
0 0Un máximo relativo en 2 y un máximo relativo en 0x x= − =
________________________________________________________________________________
15. Si ( ) sen( ) con , entonces 4 para
2
''f x a x a f
π⎛ ⎞
= ∈ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 ó 2a a= = − 4a = − 4a = Ningún .a
________________________________________________________________________________
16. Si ( ) y (9) 10, entonces ( )'f x x f f x= = =
3/ 22
8
3
x − 3/ 22
3
x 1/ 21
2
x− 1/ 21 5
2 6
x−
+
9
________________________________________________________________________________
17. sen(2 )x dx =∫
1
cos(2 )
2
x C− +
1
cos(2 )
2
x C+ cos(2 )x C+ cos(2 )x C− +
________________________________________________________________________________
18. 2
0
Si x 9, entonces
a
dx =∫
9 / 2a = 9/ 2a = − 3a = 3a = −
________________________________________________________________________________
19.
2 3
x
x
e
dx
e
=
+∫
( )ln 2 3 x
e+ + C ( )1
ln 2 3
3
x
e C+ +
( )2
2
2 3
x
x
e
C
e
+
+ 2 3
x
x
e
C
x e
+
+
________________________________________________________________________________
20.
4
El área de la región encerrada por las curvas , 5 es igual ay y x
x
= = − +
4
1
4
5x dx
x
⎛
+ −⎜
⎝ ⎠∫
⎞
⎟
1
4
4
5x dx
x
−
−
⎛ ⎞
+ −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
4
1
4
5x dx
x
⎛
− + −⎜
⎝ ⎠∫
⎞
⎟
4
1
4
5x dx
x
−
−
⎛ ⎞
− + −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫
________________________________________________________________________________

CBC – Final de Matemátic
Cátedra Gutiérrez – Diciembre 2004
___________________________________________________________________________
1. es una función cuadrática cuyos ceros son -1 y 2, y tal que (1) 3. Entonces el
conjunto de negatividad de es
f f
f
=
( 1; 2)− ( ; 1) (2 ;−∞ − ∪ + ∞) )( ; 3−∞ ( ; 0)−∞
___________________________________________________________________________
2. Si ( ) verifica ( 3) 8, (3) 4, entoncesf x mx b f f= + − = = −
2 ; 2m b= = − 4 ; 8m b= = − 2 ; 2m b= − = 4 ; 20m b= − =
___________________________________________________________________________
3. Si ( ) ( 6)( 2) entonces es creciente enf x x x f= + −
( ; 6) y (2 ;−∞ − + ∞) ( 2 ; )− + ∞ ( 16 ; )− + ∞ ( ; 2−∞ − )
___________________________________________________________________________
4. 2
1
El dominio de ( ) es
4
x
f x
x
−
=
−
−{−2,2} [0 ; )+ ∞ [1; 2) (2 ; )∪ + ∞ [1; )+ ∞
___________________________________________________________________________
5.
20
Si ( ) 1 y ( ) 2 4 entonces ( )(5)
1
f x g x x f g
x
= + = −
−
=
12 4 12− 4−
___________________________________________________________________________
6. 1
Si ( ) 1 ln(6 3 ) entonces ( )f x x f −
= − + =x
11
2
3
x
e −
− 11
2
3
x
e −
− 1
6x
e −
− − ( 1 )/3 6
1 x
e +
−
___________________________________________________________________________
7. { } :Si / 1 (2 ) entoncesA x x a a+ ∞= ∈ + > − = =
3 3− 1 1−
___________________________________________________________________________
8. Un punto del eje que dista 5 de ( 2 ;3) esP = −x
( 6 ; 0)− (0 ; 6)− (6 ; 0) (0 ; 6)
___________________________________________________________________________
9. El conjunto de ceros de ( ) sen(2 ) 1 que pertenecen al intervalo [0 ; 2 ] esf x x π= +
π{3 / 4} 7π π{3 / 4 ; / 4} 2π{3 / } 5π π{ / 4 ; / 4}
___________________________________________________________________________
10.
3
1
Si ( ) verifica que ( ) 2 y ( ) , entonces
4
lim lim
x x
ax
f x f x f x
x b +→+∞ →
+
= =
− +
= +∞
8 y 12a b= − = 8 y 4a b= − =
8 y 12a b= = 8 y 12a b= = −
___________________________________________________________________________
11. ( ) es creciente enx
f x x e= −
; 0(−∞ ) ;(1 )+ ∞ ; 1( )−∞ ;(0 )+ ∞
___________________________________________________________________________
12. La pendiente de la recta tangente a ( ) sen(3 ) en es 18 paraf x a x x aπ= = =
18 18− 6 6−
___________________________________________________________________________

2
13. 2
Sea ( ) Entonces
1
x
f x
x
= ⋅
+
tiene un mínimo relativo en 1 y un mínimo relativo en 1.f x x= − =
tiene un máximo relativo en 1 y un máximo relativo en 1.f x x= − =
tiene un mínimo relativo en 1 y un máximo relativo en 1.f x x= − =
tiene un máximo relativo en 1 y un mínimo relativo en 1.f x x= − =
___________________________________________________________________________
14. 2 2
La derivada de es ( ) ( 4) , entonces crece en'f f x x x f= −
; 2 ; 2( ) y en (0 )−−∞ ;(0 )+ ∞
; 2 ;( ) y en (2 )−−∞ + ∞ ; 0( )−∞
___________________________________________________________________________
15.
3
Si ( ) ln entonces ( )
2
'
x
f x f
x
+⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
+⎝ ⎠
x
1
( 3)( 2x x
−
+ + )
1
( 3)( 2x x )+ +
2
3
x
x
+
+
1 1
( 3)( 2x x x )
−
⋅
+ +
___________________________________________________________________________
16. 21
21
entonces
3
a
dx a
x
−
= =∫
3 3/5− 3/ 5 1 / 3
3−
__________________________________________________________________________
17.
( )cos ln(x)
Una primitiva de es
x
(sen ln( ))x sen( ) ln( )x x⋅
sen(1/ )x
( ) ( )
2
sen ln( ) cos ln( )x x
x
− −
___________________________________________________________________________
18. [ ]0 0
Si ( ) 3 entonces 5 ( ) sen( )f x dx f x x dx
π π
= +∫ ∫ =
)
17 15 13 10
___________________________________________________________________________
19. 2
Si ( ) y ( ) 2, entonces el área de la región comprendida entre el
gráfico de y el gráfico de está dada por
f x x g x x
f g
= = +
(
2
2
1
2x x d
−
− −∫ x ( )
2
2
1
2x x dx
−
+ −∫
( )
1
2
2
2x x d
−
− −∫ x ( )
1
2
2
2x x dx
−
+ −∫
___________________________________________________________________________
20. x
xe dx =∫
x
xe + C ( )1x
e x C+ +
2
2
xx
e C+ ( )1x
e x C− +
___________________________________________________________________________
Si necesitas clases de apoyo para tu parcial, final o libre, llama al 011-15-67625436

CBC: Final Libre: Cátedra Gutiérrez. – 2005 – Pág. 1
Final Libre de Matemática Febrero 2005
Cátedra de Gutiérrez
1) Los puntos donde la gráfica de
2
1
)(
−
=
x
f x – 3 corta al eje x en:
a) (–5/3, 0) b) (0, – 7/2) c) (2, 0) d) (7/3, 0)
2) Si
x
f x
5
)( = y g(x) = 2x – 3 entonces la función h = f o g tiene por asíntotas a las rectas de
ecuaciones: a) x = 3/2 y = 5 b) x = 0 y = 0 c) x = 2/3 y = 5 d) x = 3/2 y = 0
3) El dominio natural de f(x) = ln (2x – x2
) es: a) (– ∞, 2) b) (– ∞, 0) ∪ (2, + ∞) c) (0, + ∞) d) (0, 2)
4) la cantidad de ceros de la función f(x) = 2 cos2
(x) – 1 en el intervalo [0, 3π] es igual a:
a) 3 b) 2 c) 6 d) 4
5) La distancia entre el punto de la parábola y = 2x2
– 4x + 5 de abscisa – 1 y el vértice es:
a) 68 b) 2 c) 20 d) 8
6) Si 4
3
5
)( −
+
=
x
f x entonces la función inversa de f es f – 1
igual a:
a) 3
4
5
+
−x
, b) 3
1
−
x
, c) 3
4
5
−
+x
, d) 1
5
−
x
7) La función f(x) = 3 cos (2x) + 5 tiene un período P e imagen I para:
a) P = π ; I = [– 3, 3] b) P = 2π ; I = [– 3, 3] c) P = 2π ; I = [2, 8] d) P = π ; I = [2, 8]
8) La función lineal f que verifica f(1) = 5 y f(–1) = 3 esta definido por:
a) y = – x + 2 b) y = x + 4 c) y = – x + 6 d) y = 3/5 x
9) El conjunto de f(x) = ln (x2
– 5x + 7) es: a) ln 7 b) {1} c) {2, 3} d) vacío
10) La función cuadrática f cuyo conjunto de ceros es {1; 5} y que verifica f(0) = – 10 es igual a:
a) – 2(x + 1).(x + 5) b) 2(x – 1) (x – 5) c) – 2(x – 1).(x – 5) d) 2(x + 1).(x + 5)
11) Si , entonces ∫ es iguala: a) – 3/2 b) 0 c) 3/2 d) ½ (3 – x( )∫ =+
4
2
)( 32 dxxf x
4
2
)( dxf x
2
/2) + c
Si necesitas clases particulares para rendir puedes llamar a 011-15-67625436parciales, finales, libre

CBC: Final Libre: Cátedra Gutiérrez. – 2005 – Pág. 2
12) La derivada de la función f(x) = ln (x2
+ 10) – 1/x es igual a:
a) x
x
x
ln
10
2
2
−
+
b) 22
1
10
1
xx
+
+
c) 22
1
10
2
xx
x
+
+
d)
10
1
2
+x
– lnx
13) Una primitiva de 4x e2x
es f (x) igual a: a) e2x
(8x + 4) b) e2x
(2x – 1) c) e2x
(2x + 1) d) x2
e2x
14) La función 292
)( +−= xf x es decreciente en:
a) (– ∞, 3) ∪ (3, + ∞) b) (– ∞, 3) c) (3, + ∞) d) (– ∞, 0)
15) Se sabe que la derivada de f es f ’(x) = (x – 3) (x + 2)2
, entonces f tiene:
a) Un mínimo en x = 5 y un máximo en x – 2 b) Un máximo en x = 5 y un máximo en x – 2
c) Un máximo en x = 5 y no tiene mínimo d) Un mínimo en x = 5 y no tiene máximo.
16) Si entonces: a) no existe a b) a = 3 c) a = – 3 d) a = 9/29
0
2
=∫ dxx
a
17) La función f’(x) = 4x3
– 3x es creciente
a) en (0, + ∞) b) en (− ∞, – ½) y en (½, + ∞) c) solo en (½, + ∞) d) (– ½ , ½)
18) El área de la región limitada por las curvas y = x2
, y = 1 para x [–1, 4] es:
a) ∫ b) c) d)
−
−
4
1
2
)1( dxx ∫−
−
4
1
2
)1( dxx =−+− ∫∫−
4
1
2
1
1
2
)1()1( dxxdxx =−+− ∫∫−
4
1
2
1
1
2
)1()1( dxxdxx
19) Las ecuaciones de la recta tangente al gráfico
4
)(
+
=
x
x
f x en x0 = – 1 es:
a) y = – 1/3 x + 1 b) y = 4/9 x – 1/3 c) y = 4/9 x + 1/9 d) y = – x + 1/3
20) Una primitiva de f(x) = 6 cos2
x . sen x es f igual a:
a) cos3
x . sen2
x + 8 b) 2 cos3
x + 6 c) – 2 cos3
x + 5 d) – 12 cos x sen2
x + 6 cos3
x + 10
Si necesitas clases particulares para rendir puedes llamar a 011-15-67625436parciales, finales, libre

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