LLLÑ

1. TRABAJO COLABORATIVO FASE 1
GRUPO 100411A_220
CARLOS ANDRES QUIROGA SANCHEZ
CÓDIGO 1099547122
VIVIANA RINCÓN PARDO
CÓDIGO 1017144498
TUTOR
JAVIER FERNANDO MELO CUBIDES
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD
CENTRO DE ESTUDIOS A DISTANCIA CEAD VELEZ
CALCULO INTEGRAL

2. PROBLEMAS PROPUESTOS
La antiderivada de una función f (x) es otra función g(x) cuya derivada es f(x). En algunos
textos la antiderivada de f recibe el nombre de integral indefinida de f. La anti diferenciación
es el proceso inverso a la diferenciación.
Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las propiedades
de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las aplicadas en la diferenciación.
1. ∫
𝑥5+ 3𝑥−2
𝑥3 𝑑𝑥 =
∫
𝑥5
𝑥3 𝑑𝑥 + ∫
3𝑥
𝑥3 𝑑𝑥 − ∫
2
𝑥3 dx
= ∫ 𝑥2
𝑑𝑥 + ∫
3
𝑥2 𝑑𝑥 − ∫
2
𝑥3 𝑑𝑥 =
𝑥3
3
− 3𝑥−1
+ 𝑥−2
+ 𝐶
2. ∫ (sen (x) + 3 se𝑐2 ( 𝑥))𝑑𝑥 =
∫ sen (x) dx + ∫ 3 se𝑐2 ( 𝑥) 𝑑𝑥 =
- cos (x) + 3 tan (x) =
3 tan (x) – cos (x) + c

3. 3. ∫
√ 𝑡−𝑡+𝑡3
√ 𝑡
3 𝑑𝑡 =
∫
𝒕
𝟏
𝟐⁄
𝒕
𝟏
𝟑⁄
𝑑𝑡 − ∫
𝒕
𝒕
𝟏
𝟑⁄
+
𝒕 𝟑
𝒕
𝟏
𝟑⁄
=
∫ 𝑡6
1
𝑑𝑡 − ∫ 𝑡3
2
𝑑𝑡 + ∫ 𝑡3
8
𝑑𝑡 =
4. ∫ 𝑇𝑎𝑛3 ( 𝑥) 𝑑𝑥
Esta integral es de la forma:
Resolviendo:
Por identidad:

4. 5. ∫
𝑥2
1 + 𝑥6
𝑑𝑥
Hago la sustitución,
U=𝑥3
.du= 3𝑥2
dx
Entonces,
∫
3
(1+𝑢2)
du =3 arctan(u) + C
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
∫
𝑥2
1 + 𝑥6
𝑑𝑥
=3 arctan(𝑥3
) + C
=
1
3
𝑡𝑎𝑛−1
(𝑥3
) + 𝐶

5. 6. ∫[ 𝑒 𝑥
− (5 / √1 − 𝑥2) + 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)]𝑑𝑥 =
∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 − ∫
5
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑒 𝑥
− 5 𝑠𝑒𝑛−1( 𝑥) − 2𝑐𝑜𝑠( 𝑥) 𝑑𝑥
7. ∫ 𝑐𝑜𝑠4 ( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) 𝑑𝑥
Solución
-Sea: u=cos x, donde: du= -sen x.
Luego: ∫ 𝑐𝑜𝑠4 ( 𝑥) 𝑠𝑒𝑛( 𝑥) 𝑑𝑥 =
∫(cos 𝑥)4
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(cos 𝑥)4
(-senx) dx
=− ∫ 𝑢4
𝑑𝑢
=−
𝑢5
5
+ 𝑐 =
𝑐𝑜𝑠𝑥5
5
+ 𝑐 = −
𝑐𝑜𝑠5 𝑥
5
+ 𝑐
Respuesta: ∫ 𝑐𝑜𝑠4
𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑜𝑠5
5
+ 𝑐

6. 8. ∫
𝑐𝑜𝑠3( 𝑡) + 1
𝑐𝑜𝑠2(𝑡)
𝑑𝑡 =
∫
𝑐𝑜𝑠3( 𝑡)
𝑐𝑜𝑠2 ( 𝑡)
+
1
𝑐𝑜𝑠2 ( 𝑡)
=
∫ cos( 𝑡) + ∫
1
1 − 𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)
=
𝑠𝑒𝑛 ( 𝑡) + 𝑡𝑎𝑛 (𝑡)
Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o
aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la
cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la
relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.
9. Encuentre el valor promedio de g(x)= 𝑥2
√1 + 𝑥3 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [0,2].
10. Halle el valor medio de la función g(x)=2x -2𝑥2
en el intervalo [0,1].
. sea 𝐻( 𝑥) = ∫ (2𝑡 − 4) 𝑑𝑡. ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝐻´( 𝑥)
𝑥2
𝑙
.
𝐻( 𝑥) = 𝑡2
− 4𝑡 ∫ 𝐻 𝑥4
− 4𝑥2
− 1 + 4
𝐻′( 𝑥) = 4𝑥3
− 8𝑥

7. 11. aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver
:∫ 𝑠𝑒𝑛3(2𝑥)
𝜋
4⁄
0
𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥
1
8
𝑠𝑒𝑛4
2𝑥 ∫ =
1
8
𝜋
4⁄
0
[1,0] =
1
8