Este documento presenta los resultados de un estudio sobre el número de bacterias encontradas en 100 cultivos. Proporciona la distribución de frecuencias, los diagramas de barras y curva de distribución. Calcula las medidas de tendencia central como la moda, mediana, media y desviación típica. También calcula el coeficiente de asimetría.

1.  1.- En un estudio sobre el número de bacterias que
aparecen en determinados cultivos se tomaron 100 de estos
cultivos y se contó el número de bacterias que aparecieron
en cada uno de ellos.
a) Representar el diagrama de barras y la curva de
distribución.
b) Obtener la moda y la mediana.
c) Obtener la media y la desviación típica
d) Obtener el coeficiente de asimetría.
xi ni
0 4
1 6
2 20
3 40
4 20
5 10
n = 100
RELACIÓN 1. DESCRIPTIVA

2. xi ni
0 4
1 6
2 20
3 40
4 20
5 10
n = 100
a) Diagrama de barras
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 1 2 3 4 5

3. a) Curva de distribución.
1
0.30
0 3 4 51
•
•
•
•
•
0.10
0.90
0.70
xi ni fi Ni Fi
0 4 0.04 4 0.04
1 6 0.06 10 0.1
2 20 0.2 30 0.3
3 40 0.4 70 0.7
4 20 0.2 90 0.9
5 10 0.01 100 1
n = 100 1
2
•0.04

4. b) Moda y mediana
xi ni fi Ni Fi
0 4 0.04 4 0.04
1 6 0.06 10 0.1
2 20 0.2 30 0.3
3 40 0.4 70 0.7
4 20 0.2 90 0.9
5 10 0.01 100 1
n = 100 1
Moda = 3
n / 2 = 50
Fi = 0.5
Mediana = 3

5. c.- Media y desviación típica
xi ni nixi nixi
2
0 4 0 0
1 6 6 6
2 20 40 80
3 40 120 360
4 20 80 320
5 10 50 250
n = 100 296 1016
1 296
: 2.96
100
k
i i
i
n x
Media x
n
== = =
∑
2
22 21 1016
2.96 1.3984
100
k
i i
i
n x
x
n
σ == − = − =
∑
1.3984 1.1825σ = =

6. d.- Coeficiente de asimetría
xi ni ni (xi – )3
0 4 - 103.376
1 6 - 45.174
2 20 - 17.68
3 40 0.0026
4 20 22.48
5 10 84.89
n = 100 - 59.22
( )
3
1
3
59.22
0.5922
100
k
i i
i
n x x
n
µ
−
= −
= = = −
∑
x
3
1 3 3
0.5922
0.3585
1.1825
µ
γ
σ
−
= = = −

7.  2.- En un experimento de germinación fueron sembradas
80 filas con 10 semillas de col cada una. La distribución del
número de semillas de col que germinaron en cada fila se da
en la tabla adjunta.
a) Representar el diagrama de barras.
b) Obtener la moda y los cuartiles.
c) Obtener la media, la desviación típica y el
coeficiente de variación
xi ni
0 6
1 20
2 28
3 12
4 8
5 6
n = 80

8. xi ni
0 6
1 20
2 28
3 12
4 8
5 6
n = 80
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5
a) Diagrama de barras

9. b).- Moda y cuartiles
xi ni fi Ni Fi
0 6 0.075 6 0.075
1 20 0.25 26 0.325
2 28 0.35 54 0.675
3 12 0.15 66 0.825
4 8 0.1 74 0.925
5 6 0.075 80 1
n = 80 1
Moda = 2
Fi = 0.25
Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 2
Fi = 0.5
Fi = 0.75
Q1 = 1º Cuartil = 1
Q3 = 3º Cuartil = 3

10. c) Media, desviación típica y coeficiente de variación
xi ni nixi nixi
2
0 6 0 0
1 20 20 20
2 28 56 112
3 12 36 108
4 8 32 128
5 6 30 150
n = 80 174 512
1 174
: 2.175
80
k
i i
i
n x
Media x
n
== = =
∑
2
22 21 512
2.175 1.74375
80
k
i i
i
n x
x
n
σ == − = − =
∑
1.74375 1.3205σ = =
1.3205
. . 0.6071
2.175x
C V
σ
= = =

11.  3.- En una especie de mamíferos se esta estudiando el
numero de crías de una camada. Obtener:
a) La moda.
b) Los cuartiles.
c) El rango intercuartilico.
d) El coeficiente de variación.
Nº Crías Nº Camadas
ni
0 2
1 3
2 10
3 10
4 5
5 0
6 5

12. 0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5 6 7
a) Moda
Moda = 2 y 3 Distribución Bimodal
Nº Crías Nº Camadas = ni
0 2
1 3
2 10
3 10
4 5
5 0
6 5

13. b) Cuartiles
Q2 = 2º Cuartil = Mediana = 3
n / 4 = 8.75
n / 2 = 17.5
3n / 4 = 26.25
Q1 = 1º Cuartil = 2 Q3 = 3º Cuartil = 4
xi ni Ni
0 2 2
1 3 5
2 10 15
3 10 25
4 5 30
5 0 30
6 5 35
n = 35
c) El rango intercuartilico
RI = Q3 – Q1 = 4 – 2 = 2

14. d) Coeficiente de variación
xi ni nixi nixi
2
0 2 0 0
1 3 3 3
2 10 20 40
3 10 30 90
4 5 20 80
5 0 0 0
6 5 30 180
n = 35 103 393
1 103
: 2.9428
35
k
i i
i
n x
Media x
n
== = =
∑
2
22 21 393
2.9428 2.5685
35
k
i i
i
n x
x
n
σ == − = − =
∑
2.5685 1.6026σ = =
1.6026
. . 0.5445
2.9428x
C V
σ
= = =

15.  4.- La clasificación de los alumnos por edades de un
grupo escolar se da en la siguiente tabla.
a) Representar el histograma
b) Calcular la media y la desviación típica
c) Calcular la moda, la mediana y Q3
d) Calcular la edad que es superada por el 30%
de los alumnos
e) Obtener el porcentaje de alumnos con menos
de 6 años y medio
f) Calcular los coeficientes de sesgo y curtosis
Edad ni
Menos de 5 34
5 – 7 56
7 – 9 47
9 – 11 32
11 – 13 26
Mas de 13 5
n = 200

16. Edad ni
Menos de 5 34
5 – 7 56
7 – 9 47
9 – 11 32
11 – 13 26
Mas de 13 5
n = 200
a) Representar el histograma
3 5 7 9 11 13 15
26
34
47
ni
5
56

17. b) Media y desviación típica
Edad xi ni nixi nixi
2
3 – 5 4 34 136 544
5 – 7 6 56 336 2016
7 – 9 8 47 376 3008
9 – 11 10 32 320 3200
11 – 13 12 26 312 3744
13 - 15 14 5 70 980
n = 200 1550 13492
1 1550
: 7.75
200
k
i i
i
n x
Media x
n
== = =
∑
2
22 21 13492
7.75 7.3975
200
k
i i
i
n x
x
n
σ == − = − =
∑
7.3975 2.7198 2.72σ = = ≈

18. c) Moda, mediana y Q3
Moda
Fi = 0.5
Fi = 0.75
Edad ni fi Fi
3 – 5 34 0.17 0.17
5 – 7 56 0.28 0.45
7 – 9 47 0.235 0.685
9 – 11 32 0.16 0.845
11 – 13 26 0.13 0.975
13 – 15 5 0.025 1
n = 200 1
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
1 1
56 34
5 2 6.419
56 34 56 47
i i
i i
ii i i
h h
Mo
h h h h
e a
×
−
−
− +
−
= + =
− + −
−
= + =
− + −
1
1
1
0.5 0.452 7 2 7.425
0.235
i
i i
i
F
Me
f
e a ×
−
−
−
−
= + = + =
1
75 1
75
0.75 0.685100 9 2 9.8125
0.16
i
i i
i
F
f
P e a
−
×− =
−
−
= + + =

19. d) Edad que es superada por el 30% de los alumnos
1
70 1
70
0.7 0.685100 9 2 9.1875
0.16
i
ii
i
F
e a
f
P ×
−
=−
−
−
= + + =
e) Porcentaje de alumnos con menos de 6 años y
medio
Edad ni fi Fi
3 – 5 34 0.17 0.17
5 – 7 56 0.28 0.45
7 – 9 47 0.235 0.685
9 – 11 32 0.16 0.845
11 – 13 26 0.13 0.975
13 – 15 5 0.025 1
n = 200 1
1
1
0.17
100 1005 2 6.5
0.28
i
k ii
i
k k
F
e a
f
P ×
−
=−
− −
= + + = ⇒
6.5
Fi = 0.7
( )6.5 5 0.28
0.17 0.38 38 %
100 2
k
k
×−
= + = =⇒

20. f) Coeficientes de sesgo y curtosis
xi ni ni (xi – )3
ni (xi – )4
4 34 - 1792.9687 6723.6328
6 56 - 300.125 525.2187
8 47 0.7344 0.1836
10 32 364.5 820.125
12 26 1995.9062 8482.6015
14 5 1220.7031 7629.3945
n = 200 1488.75 24181.1561
( )
3
1
3
1488.75
7.4437
200
k
i i
i
n x x
n
µ
−
== = =
∑
x
3
1 3
7.4437
0.3698
20.1236
µ
γ
σ
= = =
( )
4
1
4
24181.1561
120.9057
200
k
i i
i
n x x
n
µ
−
== = =
∑
4
2 4
120.9057
3 3 0.7911
54.7363
µ
γ
σ
= − = − = −
x

21.  5.- Los datos siguientes representan presiones sistólicas
de la sangre de 200 mujeres escogidas al azar, de 30 años de
edad. Determinar:
a) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica es
inferior a 150.
b) ¿Qué presión es superada por el 30% de las
mujeres observadas?
c) Moda y mediana
d) Media y varianza
e) Porcentaje de mujeres cuya presión sistólica está
comprendida entre: 2yx xσ σ± ±
Presión ni
Menos de 115 25
115 – 130 30
130 – 145 35
145 – 170 75
170 – 180 20
Mas de 180 15
n = 200

22. a) Porcentaje de mujeres cuya presión
sistólica es inferior 150
Presión ni fi Fi
100 – 115 25 0.125 0.125
115 – 130 30 0.15 0.275
130 – 145 35 0.175 0.45
145 – 170 75 0.375 0.825
170 – 180 20 0.1 0.925
180 – 190 15 0.075 1
n = 200
150
Fi = 0.7
1
1
0.45
100 100145 25 150
0.375
i
k ii
i
k k
F
e a
f
P ×
−
−
− −
= + = + = ⇒
( )150 145 0.375
0.45 0.525 52.5 %
100 25
k
k
×−
= + = =⇒
b) Presión superada por el 30% de las mujeres
1
70 1
70
0.7 0.45100 145 25 161.66
0.375
i
ii
i
F
e a
f
P ×
−
=−
−
−
= + + =

23. c) Moda y mediana
( ) ( )
1
1 1
1
i i
i i
ii i i
h h
Mo e a
h h h h
−
−
− +
−
= + =
− + −
Presión ni hi= ni /ai fi Fi
100 – 115 25 1.666 0.125 0.125
115 – 130 30 2 0.15 0.275
130 – 145 35 2.333 0.175 0.45
145 – 170 75 3 0.375 0.825
170 – 180 20 2 0.1 0.925
180 – 190 15 1.5 0.075 1
200 1
Mo
Me
( )
( ) ( )
3 2.333
145 25 155
3 2.333 3 2
×
−
= + =
− + −
1
50 1
50
0.5 0.45100 145 25 148.33
0.375
i
ii
i
F
e a
f
P ×
−
=−
−
−
= + + =

24. d) Media y varianza
Presión xi ni ni xi ni xi
2
100 – 115 107.5 25 2687.5 288906.25
115 – 130 122.5 30 3675 450187.5
130 – 145 137.5 35 4812.5 661718.75
145 – 170 157.5 75 11812.5 1860468.75
170 – 180 175 20 3500 612500
180 – 190 185 15 2775 513375
200 29262.5 4387156.25
1 29262.5
: 146.3125
200
k
i i
i
n x
Media x
n
== = =
∑
2
22 21 4387156.25
146.3125 528.4336
200
k
i i
i
n x
x
n
σ == − = − =
∑
528.4336 22.9876 22.99σ = = ≈

25. e) Porcentaje de mujeres con presión sistólica
entre: 2yx xσ σ± ±
Presión ni fi Fi
100 – 115 25 0.125 0.125
115 – 130 30 0.15 0.275
130 – 145 35 0.175 0.45
145 – 170 75 0.375 0.825
170 – 180 20 0.1 0.925
180 – 190 15 0.075 1
n = 200 1
0.125
10011 15 123.32 20.82 %
0.15
5k
k
kP ×
−
= + = ⇒ =
123.32
169.3
146.31; 22.99 169.3; 123.32x x xσ σ σ= = → + = − =
2 192.29; 2 100.33 100%x xσ σ+ = − = → ≈
0.45
10014 25 169.3 81.45 %
0.375
5k
k
kP ×
−
= + = ⇒ =
81.45 % – 20.82 % = 60.63 %

26.  6.- Los datos siguientes representan el peso en gramos de
un grupo de animales.
1.- Representar el histograma y la curva de
distribución.
2.- Obtener:
a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil.
b) Porcentaje de animales con un peso inferior
a 197 gramos.
c) Coeficiente de variación.
d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento.
Peso ni
175 – 180 2
180 – 185 6
185 – 190 9
190 – 200 15
200 – 205 11
205 – 210 4
210 – 215 3
n = 50

27. 1.- Histograma
Peso ni hi= ni /ai fi Fi
175 – 180 2 0.4 0.04 0.04
180 – 185 6 1.5 0.12 0.16
185 – 190 9 1.8 0.18 0.34
190 – 200 15 1.5 0.30 0.64
200 – 205 11 2.2 0.22 0.86
205 – 210 4 0.8 0.08 0.94
210 – 215 3 0.6 0.06 1
50 1
175 180 185 190 200 205 210
1.8
ni
1.5
0.4
0.8
215
2.2
0.6

28. 1.- Curva de distribución.
Peso ni hi= ni /ai fi Fi
175 – 180 2 0.4 0.04 0.04
180 – 185 6 1.5 0.12 0.16
185 – 190 9 1.8 0.18 0.34
190 – 200 15 1.5 0.30 0.64
200 – 205 11 2.2 0.22 0.86
205 – 210 4 0.8 0.08 0.94
210 – 215 3 0.6 0.06 1
50 1
1
0.64
175 180 185 210190 200
0.86
0.94
0.34
205 215
0.04
0.16

29. a) La moda, la mediana y el 3º Cuartil
Peso ni hi= ni /ai fi Fi
175 – 180 2 0.4 0.04 0.04
180 – 185 6 1.5 0.12 0.16
185 – 190 9 1.8 0.18 0.34
190 – 200 15 1.5 0.30 0.64
200 – 205 11 2.2 0.22 0.86
205 – 210 4 0.8 0.08 0.94
210 – 215 3 0.6 0.06 1
50 1
Moda
Fi = 0.5
Fi = 0.75
( ) ( )
( )
( ) ( )
1
1
1 1
2.2 1.5
200 5 201.666
2.2 1.5 2.2 0.8
i i
i i
ii i i
h h
Mo
h h h h
e a
×
−
−
− +
−
= + =
− + −
−
= + =
− + −
1
1
1
0.5 0.342 190 10 195.333
0.30
i
i i
i
F
Me
f
e a ×
−
−
−
−
= + = + =
1
75 1
75
0.75 0.64100 200 5 202.5
0.22
i
i i
i
F
f
P e a
−
×− =
−
−
= + + =

30. b) Porcentaje de animales con un peso
inferior a 197 gramos
1
1
0.34
100 100190 10 197
0.30
i
k ii
i
k k
F
e a
f
P ×
−
−
− −
= + = + = ⇒
( )197 190 0.30
0.34 0.55 55 %
100 10
k
k
×−
= + = =⇒
Peso ni fi Fi
175 – 180 2 0.04 0.04
180 – 185 6 0.12 0.16
185 – 190 9 0.18 0.34
190 – 200 15 0.30 0.64
200 – 205 11 0.22 0.86
205 – 210 4 0.08 0.94
210 – 215 3 0.06 1
50 1
197

31. c) Coeficiente de variación
Peso xi ni ni xi ni xi
2
175 – 180 177.5 2 355 63012.5
180 – 185 182.5 6 1095 199837.5
185 – 190 187.5 9 1687.5 316406.25
190 – 200 195 15 2925-a 570375
200 – 205 202.5 11 2227.5 451068.75
205 – 210 207.5 4 830 172225
210 – 215 212.5 3 637.5 135468.75
50 9757.5 1908393.7
5
1 9757.5
: 195.15
50
k
i i
i
n x
Media x
n
== = =
∑
2
22 21 1908393.75
195.15 84.3525
50
k
i i
i
n x
x
n
σ == − = − =
∑
84.3525 9.1843σ = =
9.1843
. . 0.047
195.15x
C V
σ
= = =

32. d) Coeficientes de asimetría y aplastamiento
Peso xi ni ni (xi – )3
ni (xi – )4
175 – 180 177.5 2 – 10996.74425 194092.536
180 – 185 182.5 6 – 12145.70775 153643.203
185 – 190 187.5 9 – 4029.274125 30823.94706
190 – 200 195 15 – 0.050625 0.007593
200 – 205 202.5 11 4367.719125 32102.73557
205 – 210 207.5 4 7534.6115 93052.45202
210 – 215 212.5 3 15668.22112 271843.6365
50 398.775 775558.5178
x
( )
3
1
3
398.775
7.9755
50
k
i i
i
n x x
n
µ
−
== = =
∑
( )
4
1
4
775558.5178
15511.17036
50
k
i i
i
n x x
n
µ
−
== = =
∑
3
1 3
7.9755
0.01029
774.7082
µ
γ
σ
= = =
4
2 4
15511.17036
3 3 0.8199
7115.15303
µ
γ
σ
= − = − = −
x

33.  7.- Se esta estudiando el tiempo de supervivencia en
horas de 100 ratones después de una inyección con una
sustancia toxica.
a) Representar el histograma y la curva de
distribución.
b) Obtener la moda y los cuartiles
c) Determinar el numero de ratones con un tiempo
de supervivencia inferior a 35 horas.
d) Determinar el numero de ratones con un tiempo
de supervivencia superior a 55 horas.
e) Determinar el numero de ratones con un tiempo
de supervivencia comprendido entre 35 y 55 horas
Tiempo de
Supervivencia
ni
20 – 30 15
30 – 40 30
40 – 45 25
45 – 50 20
50 – 60 10
n = 100

34. Tiempo de
Supervivencia
ni hi= ni /ai
20 – 30 15 1.5
30 – 40 30 3
40 – 45 25 5
45 – 50 20 4
50 – 60 10 1
n = 100
a) Histograma
1.5
3
4
hi
1
5
20 30 40 45 50 60

35. a) Curva de distribución
Tiempo de
Supervivencia
ni fi Fi
20 – 30 15 0.15 0.15
30 – 40 30 0.30 0.45
40 – 45 25 0.25 0.70
45 – 50 20 0.20 0.90
50 – 60 10 0.10 1
n = 100 1
1
0.45
20 30 40 45 50 60
0.70
0.90
0.15

36. b) Obtener la moda y los cuartiles
Xi ni hi= ni /ai fi Fi
20 – 30 15 1.5 0.15 0.15
30 – 40 30 3 0.3 0.45
40 – 45 25 5 0.25 0.70
45 – 50 20 4 0.2 0.90
50 – 60 10 1 0.1 1
100
( )
( ) ( )
5 3
40 5 43.333
5 3 5 4
×
−
= + =
− + −
Moda
Fi = 0.25
Fi = 0.50
Fi = 0.75
1
1
0.5 0.5 0.45
40 5 41
0.25
i
i i
i
F
Me
f
e a ×−
−
− −
= + = + =
1
75 1
0.75 0.75 0.7
45 5 46.25
0.2
i
i i
i
F
f
P e a− ×− =
− −
= + + =
1
25 1
0.25 0.25 0.15
30 10 33.333
0.3
i
i i
i
F
f
P e a− ×− =
− −
= + + =
( ) ( )
1
1
1 1
i i
i i
ii i i
h h
Mo
h h h h
e a
−
−
− +
−
= + =
− + −

37. c) Nº ratones con tiempo de supervivencia inferior a 35
Xi ni hi= ni /ai fi Fi
20 – 30 15 1.5 0.15 0.15
30 – 40 30 3 0.30 0.45
40 – 45 25 5 0.25 0.70
45 – 50 20 4 0.20 0.90
50 – 60 10 1 0.10 1
100
d) Nº ratones con tiempo de supervivencia superior a 55
35
55
0.15
10030 10 35 30 %
0.30
k
k
kP ×
−
= + = ⇒ =
0.90
10050 10 55 95 %
0.10
k
k
kP ×
−
= + = ⇒ =
Nº ratones con T.de supervivencia < 35 = 30
Nº ratones con T.de supervivencia < 55 = 95 ⇒
Nº ratones con T.de supervivencia > 55 = 5
e) Nº ratones con tiempo de supervivencia comprendido
entre 35 y 55
Nº ratones: 35 < T. S. < 55 = 95 – 30 = 65

38. a) Coeficientes de variación de cada grupo
1 1.3
0.17 ; 0.2
6 6.5
A B
A B
A BC V C V
x x
σ σ
= = = = = =
0.9 0.8
0.18 ; 0.2
5 4
C D
C D
C DC V C V
x x
σ σ
= = = = = =
b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?
El coeficientes de variación del grupo A es el más
pequeño ⇒ El grupo A es el más homogeneo
1; 1.3 ; 0.9 ; 0.8A B C Dσ σ σ σ= = = =
 8.- Un Curso esta dividido en 4 grupos, de los cuales
tenemos los siguientes datos sobre las notas de Estadística.
Se pide:
a) Obtener los coeficientes de variación de cada
grupo.
b) ¿Qué grupo resulta más homogéneo?
Grupo Nota Media Varianza
A
B
C
D
6
6.5
5
4
1
1.69
0.810
0.64