Este documento describe conceptos relacionados con distribuciones de probabilidad binomial y Poisson. Explica las fórmulas para calcular la probabilidad de éxitos en una distribución binomial y la varianza en distribuciones binomiales y de Poisson. Además, presenta ejemplos numéricos de cálculos de probabilidades para estas distribuciones.

1. Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que
transformar la variable X que sigue una
distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga
una distribución N (0, 1).
Cálculo de probabilidades en distribuciones
normales
La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k),
siendo z la variable tipificada.
Estas probabilidades nos dan la función de
distribución Φ (k).
Φ (k) = P (z ≤ k)

2.  Determine el área bajo la curva normal
 Ala derecha de z= -0.85.
 Entre z = 0.40 y z = 1.30.
 Entre z =0.30 y z = 0.90.
 Desde z = - 1.50 hasta z =-0.45

 Estos resultados se obtuvieron con las tablas anexas
al final de los problemas
 A – 1 – 0.1977 = 0.8023
 B – 0.9032 – 0.6554 = 0.2478
 C – 0.8159 – 0.3821 = 0.4338
 D – 0.0668 + (1 – 0.3264) = 0.7404


3.  2- Las puntuaciones de una prueba estandarizada se distribuyen
normalmente con media de 480 y desviación estándar de 90.
 ¿Cual es la proposición de puntuaciones mayores a 700?
 ¿Cual es el 25º? ¿Percentil de las puntuaciones?
 Si la puntuación de alguien es de 600. ¿En que percentil se
encuentra?
 ¿Qué proporción de las puntuaciones se encuentra entre 420 y 520?
 µ = 480 σ = 90

 A - Z = (700-480)/90 = 2.44 el área a la derecha de Z es 0.0073
 B – la puntuación de z en el 25 º percentil -0.67
 El 25 º percentil es entonces 480 - 0.67 (90) = 419.7
 C – z = (600-480)/90 = 1.33 el área a la derecha de z es 0.9082
 Por lo que una puntuación de 600 esta en el percentil 91
 D - z = (420 - 480)/90 = - 0.67
 Z = (520 – 480)/90 = 0.44
 El área entre z = - 0.67 y z = 0.44 es 0.6700 – 0.2514 = 0.4186

4.  La resistencia de una aleación de aluminio se distribuye
normalmente con media de 10 giga pascales (Gpa) desviación
estándar de 1.4 Gpa.
 ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de esta aleación
tenga resistencia mayor a 12 GPa?
 Determine el primer cuartil de la resistencia de esta aleación.
 Determine el 95º. Percentil de la resistencia de esta aleación.
 RESULTADOS
 µ = 10 σ = 1.4
 A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43 es 1 –
0.9236 = 0.0764
 B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67
 El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062 Gpa.
 C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645
 El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303 Gpa.

5.  La penicilina es producida por el hongo penicillium,
que crece en un caldo, cuyo contenido de azúcar
debe controlarse con cuidado. La concentración
optima e azúcar es de 4.9 mg/mL. Si la concentración
excede los 6 mg/mL, el hongo muere y el proceso
debe suspenderse todo el día
 A) ¿Si la concentración de azúcar en tandas de caldo
se distribuye normalmente con media 4.9 mg/mL y
desviación estándar 0.6 mg/mL en que proporción
de días se suspenderá el proceso?

6.  B) El distribuidor ofrece vender caldo con una
concentración de azúcar que se distribuye
normalmente con medida de 5.2 mg/mL y
desviación estándar de 0.4 mg/mL ¿este caldo surtirá
efectos con menos días de producción perdida?
 RESULTADOS
 (6 – 4.9)/0.6 =1.83 1 – 0.9664 =
0.0336

 Z = (6 – 5.2)/0.4 = 2.00 1 – 0.9772 = 0.0228
 Con este caldo el proceso se suspendería el 2.28% de
los días

7.  5- El volumen de las llantas llenadas por cierta maquina se
distribuye con media de 12.05 onzas y desviación estándar de
0.03 onzas.
 ¿Qué proporción de latas contiene menos de 12 onzas?
 La medida del proceso se puede ajustar utilizando calibración.
¿En que valor debe fijarse la media para que el 99% de las
latas contenga 12 onzas o mas?
 Si la media del procesos sigue siendo de 12.05 onzas. ¿En que
valor debe fijarse la media para que el 99% de las latas
contenga 12 onzas o mas?

 RESULTADOS
 (12 – 12.05)/0.03 = -1.67 la proporción es 0.0475

 Z= -2.33 entonces -2.33=(12 - µ)/0.03 despejando µ = 12 .07
onzas

 – 2.33 = (12-12.05)/ σ despejando σ = 0.0215 onzas


8.  En estadística, la distribución binomial es una
distribución de probabilidad discreta que mide el
número de éxitos en una secuencia de n ensayos de
Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad
fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.
 Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser
dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A
uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad
de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q
= 1 - p. En la distribución binomial el anterior
experimento se repite n veces, de forma independiente, y
se trata de calcular la probabilidad de un determinado
número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de
hecho, en una distribución de Bernoulli.

9.  UNA DE LAS FORMULAS PARA EL BINOMIAL

El resultado obtenido en cada prueba es
independiente de los resultados obtenidos
anteriormente, esto es que el valor de la
probabilidad de cada prueba no se afecta por
pruebas anteriores, ni afecta pruebas futuras.

La probabilidad del suceso "éxito" es constante, la
representamos por p, y no varía de una prueba a
otra. La probabilidad de el suceso "fracaso" es 1- p y
la representamos por q .
 El experimento consta de un número n de pruebas.
De la “n” pruebas , calculamos la probabilidad de
“k” éxitos.


10.  Consideremos el siguiente juego, la apuesta a un
número al arrojar un dado. Consideraremos un
"éxito" si sale el número que eligimos, y un "fracaso"
si sale otro número.
 Tenemos que:
 p = 1/6
 q = 1-p = 5/6
 Si hacemos una sola prueba donde P(k) es la
probabilidad de k exitos.
 tenemos que:
 n=1
 P(0) = q = 5/6
 P(1) = p = 1/6

11.  .- La concentración de partículas en una suspensión es 2 por mL. Se
agita por completo la concentración, y posteriormente se extraen 3
mL. Sea X el numero de partículas que son retiradas. Determine.

 a) P(X=5)
 b) P(X≤2)
 c) μX
 d) σx

 a) P(X=5)= e-6 *
 P(X=5)= 2.478752177x10-3 *

 P(X=5)= 2.478752177x10-3 * 64.8

 P(X=5)= 0.160623141


12. 
 b) P(X≤2)
 P(X=0)= e-6 * P(X=1)= e-6 *
 P(X=0)= 2.478752177x10-3 * P(X=1)= 2.478752177x10-3 *

 P(X=0)= 2.478752177x10-3 * 1 P(X=1)=
2.478752177x10-3 * 6

 P(X=0)= 2.478752177x10-3 P(X=1)= 0.014872513


 P(X=2)= e-6 * P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
 P(X=2)= 2.478752177x10-3 * P(X≤2)=
2.478752177+0.014872513+
 0.044617539
 P(X=2)= 2.478752177x10-3 * 18

 P(X=2)= 0.044617539 P(X≤2)= 0.061968804


13.  una variable aleatoria X tiene una distribucion
binomial y una variable Y tiene una distribucion de
Poisson. Tanto X como Y tienen medias iguales a 3.
¿Es posible determinar que variable aleatoria tiene
la varianza mas grande? Elija una de las siguientes
respuestas:
 i) Sí, X tiene la varianza mas grande.
 ii) Sí, Y tiene la varianza mas grande
 iii) No, se necesita conocer el numero de ensayos,
para X.
 iv) No, se necesita conocer la probabilidad de éxito,
p, para X.
 v) No, se necesita conocer el valor de λ para Y.

14.  Fórmula para determinar la varianza en una
distribución binomial:
 σ2x= (1-p)
 σ2x= (1-3)
 σ2x= -2
 Formula para determinar la varianza en una
distribución Poisson:
 σ2y= λ
 σ2y= 3
 Respuesta:
 ii) Sí, Y tiene la varianza más grande

15.  suponga que 0.03 % de los contenedores plásticos
producidos en cierto proceso tiene pequeños agujeros
que los dejan inservibles. X representa el numero de
contenedores en una muestra aleatoria de 10 000 que
tienen este defecto. Determine:

 a) P(X=3)
 b) P(X≤2)
 c) P(1≤X<4)
 d) μX
 e) σx
 a) P(X=3)= e-3*
 P(X=3)= 0.049787068 *
 P(X=3)= 0.049787068 * 4.5
 P(X=3)= 0.0224041807

16. 
 b) P(X≤2)
 P(X=0)= e-3 * P(X=1)= e-3 *
 P(X=0)= 0.049787068 * P(X=1)= 0.049787068 *

 P(X=0)= 0.049787068 * 1 P(X=1)= 0.049787068 * 3

 P(X=0)= 0.049787068 P(X=1)= 0.149361205


 P(X=2)= e-3* P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
 P(X=2)= 0.049787068 * P(X≤2)=
0.049787068+0.149361205+
 0.149361205
 P(X=2)= 0.049787068 * 4.5

 P(X=2)= 0.0224041807 P(X≤2)=0.42319008


17.  c) P(X<2)
 P(X=1)= e-3 * P(X=2)= e-3*
 P(X=1)= 0.049787068 * P(X=2)= 0.049787068 *

 P(X=1)= 0.049787068 * 3 P(X=2)= 0.049787068 *
4.5


 P(X=1)= 0.149361205 P(X=2)= 0.0224041807


 P(X=3)= e-3* P(X<2)= P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
 P(X=3)= 0.049787068 * P(X<2)=
0.149361205+0.224041807+
 0.224041807
 P(X=3)= 0.049787068 * 4.5

 P(X=3)= 0.0224041807 P(X<2)= 0.597444819


18.  d) μX
 μX= 3

 e) σx
 σx=
 σx= 1.732030808

19.  .- el
numero de mensajes recibidos por el tablero
computado de anuncios es una variable aleatoria de
Poisson con una razón media de ocho mensajes por hora.

 a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco
mensajes en una hora?
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban diez mensajes
en 1.5 horas?
 c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres
mensajes en 11/2 horas?

 a) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban cinco
mensajes en una hora?
 P(X=3)= e-8*
 P(X=3)= 3.354626279x10-4 *

 P(X=3)= 3.354626279x10-4 * 273.0666667

 P(X=3)= 0.09160366

20. 
 b) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban
diez mensajes en 1.5 horas?
 P(X=10)= e-12*
 P(X=10)= 6.144212353x10-6 *

 P(X=10)= 6.144212353x10-6 * 17062.76571

 P(X=10)= 0.104837255

21. 
 c) ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban menos de tres
mensajes en 11/2 horas?
 P(X=0)= e-12* P(X=1)= e-12*
 P(X=0)= 6.144212353x10-6 * P(X=1)= 6.144212353x10-6 *

 P(X=0)= 6.144212353x10-6 * 1 P(X=1)= 6.144212353x10-6 *
12


 P(X=0)= 6.144212353x10-6 P(X=1)= 7.373054824x10-5

 P(X=2)= e-12* P(X<3)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)
 P(X=2)= 6.144212353x10-6 * P(X<3)= 6.144212353x10-6 +
 7.373054824x10-5 +
 P(X=2)= 6.144212353x10-6 * 72 4.423832894x10-4 =

 P(X=2)= 4.423832894x10-4 P(X<3)= 5.2225805x10-4


22.  La distribución gamma se puede caracterizar del modo
siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un evento
generado por un proceso de Poisson de media lambda, la
variable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener n
ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con
parámetros a= n lambda(escala) y p=n (forma). Se denota
 Gamma(a,p).

 Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza
el estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de
vida).
 Esta distribución presenta como propiedad interesante la
“falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las
teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera
(por ejemplo en una consulta médica “tiempo que transcurre
hasta la llegada del segundo paciente”).

23.  Ejercicio 1
 El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue
una distribución de
 Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que
transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.
 Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que
transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una
distribución Gamma (6, 2).
 Solución:
 Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
 Gamma (a p)

 a : Escala
 60000
 p : Forma
 20000
 Punto X
 10000es 0,98.

24.  Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes
que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un
hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y
p=7,81, calcúlese:

 1. El tiempo medio de supervivencia.
 2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia
es menor que 0,1.
 Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

 Gamma (a,p)
 a : Escala 0,8100
 p : Forma 7,8100
 Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
 Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
 Punto X 14,2429
 Media 9,6420
 Varianza 11,9037
 Moda 8,4074
 El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10
años.

25.  En teoría de probabilidad y estadística, la
distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de una
frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que
ocurra un determinado número de eventos durante
cierto periodo de tiempo.
 Fue descubierta por Siméon-Denis Poisson, que la
dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la
probabilité des jugements en matières criminelles et
matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los
juicios en materias criminales y civiles).

26.  Aquí se muestran las formulas para determinar la media, la
varianza y la desviación.

 Media
 μ= λ

 Varianza
 σ2 =λ

 Desviación típica
 σ=λ




27.  La duración de un ventilador, en horas , que se usa
en un sistema computacional tiene una
distribución de Weibull con
 ¿Cuáles la probabilidad de que un ventilador dure
mas de 10 000 horas?
 P(T>10 000 ) =1 –(1-=0.3679

 ¿Cuál es la probabilidad de que un ventilador dure
menos de 5000 horas?
 P(t<5000) =P(T


28.  En el articulo “Parameter Estimation with Only
One Complete Failure Observation”se modela
la duración en horas, de cierto tipo de cojinete
con la distribución de Weibull con parámetros
 Determine la probabilidad de que un cojinete
dure mas de 1000 horas

29.  Determine la probabilidad de que un cojinete
dure menos de 2000 horas
 P(T<2000)= P(T
 La función de riesgo se definio en el ejercicio 4
¿Cuál es el riesgo en T=2000 horas?
 h(t) =

30. 
 Sea T- ~ t(4,0.5)
 Determinar

 b) Determinar

 c) Determinar P(T
 P(T
 = 1- e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e –(0.5)(1) - e (0.5)(1)
 =1- 0.60653 -0.30327 -0.075816 -0.012636
 =0.000175

31.  d) Determinar P(T
 P(T
 = e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e –(0.5)(3) - e (0.5)(3)
 =0.22313 + 0.33470+0.25102 +0.12551
 =0.9344

32. 
 En el articulo “Parameter Estimation with Only One
Complete Failure Observation”se modela la duracion
en horas, de cierto tipo de cojinete con la distribucion
de Weibull con parámetros
 Determine la probabilidad de que un cojinete dure mas
de 1000 horas
 Determine la probabilidad de que un cojinete dure
menos de 2000 horas
 P(T<2000)= P(T
 La función de riesgo se definio en el ejercicio 4 ¿Cuál es
el riesgo en T=2000 horas?
 h(t) =

33. Gracias por su
atención.