Presentación sobre análisis estadístico de dos variables

1. Estadística Descriptiva
Lic. Carmen del Pilar Zelada Bilbao
ANALISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN
LINEAL SIMPLE

2. En esta unidad estudiaremos el comportamiento
estadístico conjunto de dos características o
variables estadísticas unidimensionales sobre un mismo
colectivo o población. Por ejemplo:
- Horas de estudio y calificaciones en alumnos de
bachillerato.
- Calificaciones en matemáticas y lenguaje para los
mismos alumnos.
- Dinero gastado en publicidad y dinero obtenido por las
ventas de cierta empresa.

3. Variable estadística bidimensional es el conjunto de pares de valores
de dos caracteres o variables estadísticas unidimensionales X e Y
sobre una misma población.
La variable estadística bidimensional se representa por el símbolo
(X, Y) y cada uno de los individuos de la población viene caracterizado
por la pareja (xi, yi), en el cual xi representa los datos, valores o
marcas de clase x1, x2, ..., xn de la variable X; e yi representa los
datos, valores o marcas de clase y1, y2, ..., ym de la variable Y.
Se denominan distribuciones bidimensionales a las tablas estadísticas
bidimensionales formadas por todas las frecuencias absolutas de
todos los posibles valores de la variable estadística bidimensional
(X, Y).

4. Las tablas estadísticas bidimensionales pueden ser:
a) Simples.
b) De doble entrada.
a) Las tablas estadísticas bidimensionales simples
adoptan la siguiente forma:

5. b) Las tablas estadísticas bidimensionales de doble
entrada adoptan la siguiente forma:

6. Peso Estat Peso Estat Peso Estat Peso Estat Peso Estat
42 146 52 148 62 154 69 172 78 172
45 148 52 156 62 156 71 149 79 175
46 148 55 158 65 156 71 156 80 158
46 149 55 158 65 158 71 156 80 165
46 149 55 159 65 160 72 158 82 166
48 156 58 162 65 162 73 164 82 171
48 158 58 162 67 162 73 164 85 172
49 161 59 165 68 164 75 165 85 172
50 147 60 148 68 168 76 166 85 175
50 147 60 148 69 168 78 170 86 179
Se dispone de una tabla de pesos y estaturas de un
grupo de 50 individuos, a partir de la misma elaborar
una tabla de distribución Bidimensional

7. Estatura 140 - 150
Y1
150 - 160
Y2
160 - 170
Y3
170 - 180
Y4 fi.
Peso Marca 145 155 165 175
40 - 50 X1 45 5 2 1 0 8
50 - 60 X2 55 3 4 3 0 10
60 - 70 X3 65 2 4 6 1 13
70 - 80 X4 75 1 3 4 3 11
80 - 90 X5 85 0 1 2 5 8
f.j 11 14 16 9 50

8. Estatura 140 - 150
Y1
150 - 160
Y2
160 - 170
Y3
170 - 180
Y4
Peso Marca 145 155 165 175
40 - 50 X1 45 5 2 1 0 8
50 - 60 X2 55 3 4 3 0 10
60 - 70 X3 65 2 4 6 1 13
70 - 80 X4 75 1 3 4 3 11
80 - 90 X5 85 0 1 2 5 8
11 14 16 9 50

9. La covarianza y el coeficiente de
correlación
COVARIANZA
La covarianza de una variable bidimensional es la media aritmética
de los productos de las desviaciones de cada una de las variables
respecto a sus medias respectivas.
La covarianza se representa por sxy o σxy.
La covarianza indica el sentido de la correlación entre las
variables
Si σxy > 0 (+) la correlación es directa. Si X entonces Y
Si σxy < 0 (-) la correlación es inversa. Si X entonces Y

10. Estatura 140 - 150
Y1
150 - 160
Y2
160 - 170
Y3
170 - 180
Y4
Peso Marca 145 155 165 175 f
40 - 50 X1 45 5 2 1 0 8
50 - 60 X2 55 3 4 3 0 10
60 - 70 X3 65 2 4 6 1 13
70 - 80 X4 75 1 3 4 3 11
80 - 90 X5 85 0 1 2 5 8
f 11 14 16 9 50

11. (45 ∗ 145 ∗ 5 + 45 ∗ 155 ∗ 2 + 45 ∗ 165 ∗ 1 + 45 ∗ 175 ∗ 0 + 55 ∗ 145 ∗ 3 + 55 ∗ 155 ∗ 4 + 55 ∗ 165 ∗ 3 + 55 ∗ 175 ∗ 0
50
+ 65 ∗ 145 ∗ 2 + 65 ∗ 155 ∗ 4 + 65 ∗ 165 ∗ 6 + 65 ∗ 175 ∗ 1 + 75 ∗ 145 ∗ 1 + 75 ∗ 155 ∗ 3 + 75 ∗ 165 ∗ 4 + 75 ∗ 175 ∗ 3
50
85∗145∗0+85∗155∗1+85∗165∗2+85∗175∗5)
50
- 65,2*159,6
=
524350
50
- 10405,92
= 10487 - 10405,92
= +81,08 Correlación directa
32625 13950 7425 0 54000
23925 34100 27225 0 85250
18850 40300 64350 11375 134875
10875 34875 49500 39375 134625
0 13175 28050 74375 115600
524350

12. X
Estatura
Y
140 - 150
Y1
150 - 160
Y2
160 - 170
Y3
170 - 180
Y4
Peso Marca 145 155 165 175 fi. Xi*fi.
40 - 50 X1 45 5 2 1 0 8 360
50 - 60 X2 55 3 4 3 0 10 550
60 - 70 X3 65 2 4 6 1 13 845
70 - 80 X4 75 1 3 4 3 11 825
80 - 90 X5 85 0 1 2 5 8 680
f.j 11 14 16 9 50 3260
Yi´*f.j 1595 2170 2640 1575 7980
𝑋 =
𝑋𝑖`∗𝑓𝑖.
𝑛
= 65,2
𝑌 =
𝑌𝑖`∗𝑓,𝑗
𝑛
= =7980/50 = 159,6
3260
50
=

13. Los valores de dos variables X e Y se distribuyen
según la tabla siguiente:
Y/X 0 2 4 fi. Xifi.
1 2 1 3 6 6
2 1 4 2 7 14
3 2 5 0 7 21
f.j 5 10 5 20 41
Yj*f.j 0 20 20 40
𝑋 =41/20 = 2,05 𝑌 = 40/20 = 2
𝜎𝑥𝑦 =
0+2+12+0+16+160+30+0
20
-2.05*2=
𝜎𝑥𝑦 =
76
20
-2.05*2
𝜎𝑥𝑦 = 3,8 – 4,1
𝜎𝑥𝑦 = - 0,3 Correlación es Inversa

14. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto
de las desviaciones típicas de ambas variables.
El coeficiente de correlación lineal se expresa mediante la letra r.
El coeficiente de correlación lineal es un número real comprendido entre −1 y 1.
−1 ≤ r ≤ 1
Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a −1 la correlación es
fuerte e inversa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime r a −1.
Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 1 la correlación es
fuerte y directa, y será tanto más fuerte cuanto más se aproxime a 1.
Si el coeficiente de correlación lineal toma valores cercanos a 0, la correlación es
débil. 0,65 - 0,85 0,05 -0,22 0,0008 - 0,065

15. Ejemplos
Las notas de 12 alumnos de una clase en Matemáticas y Física son las siguientes:
Matemáticas 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8 10 10
Física 1 3 2 4 4 4 6 4 6 7 9 10
Hallar el coeficiente de correlación de la distribución e interpretarlo.
xi yi
2 1
3 3
4 2
4 4
5 4
6 4
6 6
7 4
7 6
8 7
10 9
10 10
72 60
Σ(𝑋𝑖 − 𝑋 ) 2
𝑛
σx =
Σ(𝑌𝑖 − 𝑌 ) 2
𝑛
σy =
=
Σ𝑋𝑖𝑌𝑖
𝑛
- 𝑋 𝑌

16. 1º Hallamos las medias aritméticas.
2º Calculamos la covarianza.
=
Σ𝑋𝑖
𝑌𝑖
𝑛
- 𝑋 𝑌
3º Calculamos las desviaciones estandar(típicas)
Σ(𝑋𝑖 − 𝑋 ) 2
𝑛
σx = Σ(𝑌𝑖 − 𝑌 ) 2
𝑛
σy =
xi yi xi ·yi Xi - X Yi - Y (Xi -X)2
(Yi -Y)2
2 1 2 -4 -4 16 16
3 3 9 -3 -2 9 4
4 2 8 -2 -3 4 9
4 4 16 -2 -1 4 1
5 4 20 -1 -1 1 1
6 4 24 0 -1 0 1
6 6 36 0 1 0 1
7 4 28 1 -1 1 1
7 6 42 1 1 1 1
8 7 56 2 2 4 4
10 9 90 4 4 16 16
10 10 100 4 5 16 25
72 60 431 72 80
σx =
72
12
= 2,45 σy = 80
12
= 2,58

17. 𝑟 =
5,92
(2,45∗2,58)
= 0,936
correlación es fuerte y directa

18. 𝑋 =
𝑋𝑖`∗𝑓𝑖.
𝑛
=
3260
50
= 65,2
Σ(𝑋𝑖 − 𝑋 ) 2 𝑓𝑖
𝑛
σx =
8498
50
= 13,04
σx =
Marca X fi. (xi -X) (xi -X)2 (xi -X)2*fi Marca Y f.j (yi -Y) (yi -y)2 (yi -y)2*fi
45 8 -20,2 408,04 3264,3 145 11 -14,6 213,16 2344,8
55 10 -10,2 104,04 1040,4 155 14 -4,6 21,16 296,24
65 13 -0,2 0,04 0,52 165 16 5,4 29,16 466,56
75 11 9,8 96,04 1056,4 175 9 15,4 237,16 2134,4
85 8 19,8 392,04 3136,3 5242
50 8498
𝑌 =
𝑌𝑖`∗𝑓,𝑗
𝑛
= 7980
50
= 159,6
Σ(𝑌𝑖 − 𝑌 ) 2 𝑓𝑖
𝑛
σy =
5242
50
= 10,24
σy =

19. 𝑟 =
81,08
(13,04∗10,24)
= 0,607
correlación es fuerte y directa

20. En una clase compuesta por 30 alumnos, se ha hecho un estudio sobre el número de
horas diarias de estudio X y el número de suspensos Y, obteniéndose los siguientes
resultados Determinar el coeficiente de correlación
X Y 0 1 2 3 4 5 Totales f.j
0 0 0 0 0 1 2 3
1 0 0 2 2 1 0 5
2 2 8 5 0 1 0 16
3 1 2 1 0 0 0 4
4 2 0 0 0 0 0 2
Totales fi. 5 10 8 2 3 2 30

21. = 57/30 = 1,9
Xi fi. xi*fi
0 3 0 3,61 10,83
1 5 5 0,81 4,05
2 16 32 0,01 0,16
3 4 12 1,21 4,84
4 2 8 4,41 8,82
30 57 28,7
(𝑋𝑖 − 𝑋 ̅ ) 2
(𝑋𝑖 − 𝑋 ̅ ) 2
*fi
𝑋 =
𝑋𝑖`∗𝑓𝑖.
𝑛
=
𝑋 =
𝑋 =
57
30
=
𝜎 =
Σ(𝑥𝑖 − 𝑥 ) 2 𝑓𝑖
𝑛
=
28,7
30
= 0,98
Yj f.j Yi*fi
0 5 0 16,2
1 10 10 6,4
2 8 16 0,32
3 2 6 2,88
4 3 12 14,52
5 2 10 20,48
30 54 60,8
(𝑦𝑖 − 𝑌 ̅ ) 2
*fi
𝑌 =
𝑦𝑖`∗𝑓𝑖.
𝑛
= 54/30 = 1,8
𝜎 =
Σ(𝑦𝑖 − 𝑦 ) 2 𝑓, 𝑗
𝑛 𝜎 =
60,8
30
𝜎 = 2,026 = 1,42

22. X Y 0 1 2 3 4 5 Totales
0 0 0 0 0 1 2 3
1 0 0 2 2 1 0 5
2 2 8 5 0 1 0 16
3 1 2 1 0 0 0 4
4 2 0 0 0 0 0 2
Totales 5 10 8 2 3 2 30
0 0 0 0 0 0 0
0 0 4 6 4 0 14
0 16 20 0 8 0 44
0 6 6 0 0 0 12
0 0 0 0 0 0 0
70
=
70
30
− 1,9 ∗ 1,8 = 2,33 − 3,42 = - 1,09
𝑟 =
−1,09
(0,98∗1,42)
= −0,783
correlación es fuerte e inversa