El documento resume diferentes tipos de problemas de optimización no lineal y sus métodos de solución. Describe la optimización no restringida, linealmente restringida, convexa, separable, geométrica y dinámica, así como la programación no convexa. Para cada tipo explica brevemente las características y algunos algoritmos comúnmente usados.

1. Optimización de Sistemas y Funciones
Programación No Lineal
Autores: Jose Fernández
Farid Manchola

2. Optimización no restringida
Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la
función objetivo es sencillamente.
Maximizar f(x)
Los siguientes algoritmos se utilizan comúnmente para este tipo de modelo:
- Quasi-Newton: utiliza un procedimiento mixto cuadrática y cúbica de búsqueda de
línea y la fórmula broyden-fletcher-goldfarb-shanno (BFGS) para la actualización de
la aproximación de la matriz hessiana.
- Nelder-Mead: utiliza un algoritmo de búsqueda directa que utiliza sólo los valores de
función (no requiere derivados) y se ocupa de las funciones objetivo no lisos.
- Trust-región: se utiliza para problemas no lineales sin restricciones y especialmente
útil para los problemas a gran escala donde la raleza o la estructura pueden ser
explotadas

3. Optimización linealmente restringida
Se caracterizan por restricciones que se ejecutan por completo a la programación
lineales, de manera que todas las funciones de restricción gi (x) son lineales. Pero la
función objetivo es no lineal. El problema se simplifica mucho si solo se tiene que
tomar en cuenta una función no lineal junto con una región factible de programación
lineal. Se han desarrollado varios algoritmos especiales basados, en una extensión del
método simplex para analizar la función objetivo no lineal.
Programación convexa
La programación convexa abarca una amplia clase de problemas, entre ellos como
casos especiales, están todos los tipos de modelos anteriores cuando ƒ(x) es cóncava.
Las suposiciones son
1.- ƒ(x) es cóncava.
2.- cada una de las gi(x) es convexa.
Esta suposición son suficientes para asegurarse que un máximo local es un máximo
global, se vera que las condiciones necesarias y suficientes para obtener tal solución
optima son una generalización natural de las condiciones que se acababan de
exponer para la optimización no restringida y su extensión a la inclusión de
restricciones de no negatividad.

4. Programación separable
Una función F(x1, x2,… Xn) es separable si se puede expresar como la suma de n
funciones de una sola variable F1(x1),F2(x2),…Fn(xn), es decir, F(x1,x2,…xn)-
F1(x1)+F2(x2)+….+Fn(xn). Un caso especial de programación separable ocurre
cuando las funciones gj
i(xi) son convexas, resultando así un espacio convexo de
solución; además la función Fi(xi) es convexa en caso de minimización y cóncava en
caso de maximización)
No existe un algoritmo único para solucionar problemas de programación convexa;
en general los algoritmos conocidos se pueden clasificar así:
- Algoritmos de gradiente: en estos casos se modifica de alguna manera el
procedimiento de búsqueda del gradiente para evitar que la trayectoria de
búsqueda penetre la frontera de restricción.
- Algoritmos secuenciales no restringidos: incluye los métodos de función de
penalización y de función barrera ; estos algoritmos convierten el problema de
optimización restringida original en una sucesión de problemas de optimización
no restringida.
- Algoritmos de aproximación secuencial: incluye métodos de aproximación lineal
y aproximación cuadrática; estos algoritmos sustituyen la función objetivo no
lineal por una sucesión de aproximaciones lineales o cuadráticas.

5. Programación geométrica
La programación geométrica soluciona un caso especial de problemas de Programación
No Lineal.
Este método resuelve al considerar un problema dual asociando los siguientes dos tipos
de programación no lineal:
- Problema geométrico no restringido:
- Problema geométrico restringido

6. Programación geométrica
La programación geométrica surge cuando la función objetivo y funciones de
restricción son de la siguiente forma:
Donde:
En tales casos, las ci y aij representan las constantes físicas y ja xj son las variables de
diseño, estas funciones por lo general no son cóncavas ni convexas, por lo que las
técnicas de programación convexa no se pueden aplicar directamente a estos
problemas de programación geométrica.

7. Programación Dinámica
La programación dinámica encuentra la solución óptima de un problema con n
variable descomponiéndolo en n etapas, siendo cada etapa un subproblema de
una sola variable. Sin embargo, como la naturaleza de la etapa difiere de acuerdo
con el problema de optimización, la programación dinámica no proporciona los
detalles de cómputo para optimizar cada etapa.
Existen 3 modelos diferentes de programación dinámica.
- Problema de diligencia (stagecoach problem)
- Problema de la mochila (snapsack problem)
- Programación de producción e inventarios (production and inventory
scheduling)

8. Programación no convexa
La programación no convexa incluye todos los problemas de programación no
lineal que no satisfacen las suposiciones de programación convexa. En este caso,
aun cuando se tenga éxito en contar un máximo local, no hay garantía de que sea
también un máximo global. Por lo tanto, no se tiene un algoritmo que garantice
encontrar una solución optima para todos estos problema; pero si existen algunos
algoritmos bastantes adecuados para encontrar un máximo locales, en especial
cuando las formas de las funciones no lineales no se desvían demasiado de
aquella que se supusieron para programación convexa.