Este documento presenta una investigación sobre derivadas e integrales. Explica que la derivada es la pendiente de la tangente a una curva en un punto, mientras que la integral es el área bajo la curva entre dos puntos. Detalla propiedades de la derivada, como la suma, producto y cociente de funciones, así como métodos de integración como por partes o sustitución. Finalmente, concluye que esta investigación ayuda a comprender mejor las propiedades fundamentales de la derivada y la integral definida.

1. INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR
DE PANUCO
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES
ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD 1
“INVESTIGACION DERIVADAS E INTEGRALES”
ANEL VERONICA SOSA MEJIA
ME. JOSE SAHID NAVARRO MEZA
S401
22 FEBRERO 2016

2. DERIVADA
La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la curva de dicha
función, en el punto de coordenadas P( x, y )
.PROPIEDADES DE LA DERIVADA
1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede
concluir que la función f(x) es continua en el punto p.
2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas
de las dos funciones tomadas individualmente.
3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es
igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma
función.
4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.
5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.
6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la
multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y
la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función.
7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de
la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia
reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de
la potencia.
8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo
que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la
derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con
la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí
el valor de la función no debería ser igual a cero.

3. REGLA DE LA CADENA
Es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones.
La regla de la cadena se aplica cuando se tiene que derivar una función con varios
términos y que está este elevado a n números.
FORMULAS DE DERIVACION
Las formulas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de
la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza una formula
u otra.
Derivada de una constante por una función
La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de
la constante por la derivada de la función.
Derivada de una suma
La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de
dichas funciones. Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean
positivos o negativos.
Derivada de un cociente
La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por
el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por
el cuadrado del denominador.

4. Máximos y mínimos
Los máximos y mínimos de una función, son los valores más grandes (máximos) o
más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro
de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función
en su totalidad (extremo global o absoluto).
Aplicaciones de la derivada
1. Tasa de Variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas.
Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de
variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto.
2. Punto Crítico: El Punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que
incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto
crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en absoluto.
3. Determinación de Valores Mínimos y Máximos: Este proceso se denomina
optimización. Existen una serie de problemas que requieren la determinación
de los valores mínimos y máximos de alguna función tal como la
determinación del menor costo, aproximación del menor tiempo, cálculo de
mayor ganancia, etc.
4. Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el
método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una ecuación
en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución encontremos
una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación.
5. Aplicaciones en el Ámbito Del Comercio: Existe una gran cantidad de lugares
en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el objetivo final
del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las pérdidas, la
teoría de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para evaluar la respuesta
correcta y así aumentar la productividad total del comercio.

5. 6. Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física. En este utilizamos
una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier función
general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación de la recta
tangencial al gráfico de cualquier función lineal.
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de
orden superior, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en
el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la
derivada se le llama segunda derivada.
EJEMPLOS:

7. DERIVADAS IMPLICITAS
una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la “y”
sino que la relación entre “x” y “y” viene dada por una ecuación de dos incógnitas
cuyo segundo miembro es cero.
CARACTERISTICAS
Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de
la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la
variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función
de la variable independiente:
Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto
de x: .
Si consideramos es una función en términos de la variable
independiente x y es una función en términos de la variable dependiente y,
dado que , entonces para obtener la derivada:

8. DERIVADAS PARCIALES
Una derivada parcial es la derivada respecto a cada una de esas variables
manteniendo las otras como constantes.
Donde es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
O bien que es la primera derivada respecto a la variable y
así sucesivamente.
PROBLEMA DEL ESTUDIO DE LA INTEGRAL
El problema esencial del Cálculo integral es calcular áreas de superficies,
particularmente el área bajo la gráfica de una función; de manera más sencilla,
sumar áreas de rectángulos. Varios conceptos son descritos como el producto de
dos variables; por ejemplo: trabajo, como fuerza por distancia; fuerza como el
producto de la presión por el área; masa como densidad por volumen. Si cada uno
de los factores que componen el producto se asocian con cada uno de los ejes
coordenados; el producto se asocia en el plano con una área que puede ser
calculada a través de una integral.
¿QUE ES LA INTEGRAL?
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral es igual al área limitada entre
la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x=b.

9. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de la
función continua f(x) es la propia f(x).
F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son
operaciones inversas.
Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original
EJEMPLO:.

10. USO DE LAS FORMULAS DE INTEGRACION
Formulas básicas de integración
 La integral de “n” numero siempre será nx + C.
 La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C)
 La integral de X elevado a “n” numero será Xn+1, lo que se haga en la
exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla
establecida.
 La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural
de variable mas C. La formula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene
constante ni variable pero sí un 1 imaginario.
 La integral de un producto se puede separar siempre y cuando no se altere
su ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que ser 3
productos necesariamente para usar la formula

11. METODOS DE INTEGRACION
Integración por cambio de variable
Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el
resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.
Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio
de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:
Integración por partes
Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden expresarse
como un producto de una función por la derivada de otra. Sean u y v dos funciones
continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables, entonces:
u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx
Integrales racionales
En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que
del denominador, si no fuera así se dividiría.

12. ¿QUE ES LA INTEGRAL DEFINIDA?
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas
limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de
sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b].
EJEMPLOS:
¿QUE ES UNA INTEGRAL MULTIPLE?
Una integral múltiple es una integral definida aplicada a funciones de más de una
variable real,
CONCLUSION:
En este trabajo se realizo una gran investigación de lo que son las derivadas e
integrales así como también lo que es el teorema fundamental del calculo que nos
dice que la integral y la derivada son operaciones inversas, la derivada es la
pendiente de la recta tangente a la curva de dicha función y la integral es el area
limitada bajo una curva. Esta investigación es de gran ayuda para comprender mejor

13. las propiedades de la derivada e integral así mismo las formulas básicas que se
utilizan. Una dificultad en esta investigación fue que no toda la información estaba
en los libros que consulte por eso mismo tuve que recurrir a páginas de Internet. El
aprendizaje que se obtuvo fue de gran ayuda para entrar de lleno a las ecuaciones
diferenciales y así poder comprender mejor el curso.
REFERENCIAS:
PERCEY F. SMITH WllLlAM RAYMOND lONG lEY. (2009). Calculo Diferencial e
Integral. México: LIMUSA.
http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/perez-calculo1.pdf
http://www.vitutor.com/fun/4/derivada.html
http://www.vitutor.com/integrale.html
Dennis G. Ziil. (2008). Matematicas Avanzadas para Ingenieria. Mexico: Mc Graw
Hill.