1) El documento define vectores en R2 y R3, incluyendo su representación geométrica como segmentos dirigidos y su representación algebraica como pares o ternas ordenadas. 2) Describe operaciones básicas con vectores como suma, escalar y productos escalar y vectorial. 3) Explica conceptos como vectores unitarios, paralelismo, ángulo entre vectores y fórmulas para calcular productos escalar y vectorial en términos de componentes.

1. VECTORES EN R2 y R3
ALGEBRA LINEAL

2. 2
Definamos el vector como un
segmento de recta dirigido.
Sean P y Q dos puntos del
espacio. El segmento de recta
dirigido PQ, es el segmento de
recta que va del punto inicial P
al punto final Q.
Definición 1: (Definición geométrica de un vector)
VECTORES

3. 3
A
B
R = A+B
B
R = A+B
A
Método del triángulo
OPERACIONES CON VECTORES
Adición de vectores
x
z
y
Método del
paralelogramo.

4. 4
Definición 2: (Definición algebraica de un vector)
Un vector v en el plano XY es un par ordenado de
números reales (a,b), donde a y b se llaman
componentes del vector.
(a,b) v= (a,b) se llama vector
de posición, cuyo punto
inicial es el origen (0,0)

y
x
VECTORES EN EL PLANO (R2)

5. 5
Dirección del vector (a,b): ángulo
medido en radianes, que forma el vector
con el semieje positivo de las X (abscisas).

2
2
b
a
v 


0
a
,
a
b
tan 


Magnitud de un vector: Se denota por v

 2
0 

v= (a,b)
con:

6. 6
EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3
El conjunto de todas las ternas ordenadas de números
reales recibe el nombre de espacio numérico
tridimensional, y se denota por R3. Cada terna
ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio
numérico tridimensional.
x y
z
plano xz
plano yz
plano xy
orígen
SISTEMA DE
COORDENADAS
CARTESIANAS

7. 7
VECTOR EN R3
2
3
2
2
2
1 a
a
a
a 



p(a1,a2,a3)
z
x
y
a

a1
a2
a3
módulo de a :
vector a = (a1,a2,a3) de R3

8. 8
Vector Tridimensional Operaciones básicas
a

b

b
a



a

a
t

)
,
,
( 3
2
1 ta
ta
ta
a
t 

)
,
,
( 3
3
2
2
1
1 b
a
b
a
b
a
b
a 






Producto de un escalar con un vector
Suma de dos vectores
Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y
sentido 3
3
2
2
1
1 ,
, b
a
b
a
b
a
b
a 







9. 9
)
1
,
0
,
0
(
)
0
,
1
,
0
(
)
0
,
0
,
1
( 

 k
y
j
,
i



Vectores unitarios:
Son aquellos cuya norma es igual a la unidad.
Nota: En R3 existen tres vectores que nos permiten
representar cualquier otro vector como una
combinación lineal de ellos. Se les llaman vectores
canónicos y se representan por
a
a
a
a
a
a
ua 


 )
,
,
( 3
2
1


1

u


10. 10
VECTORES UNITARIOS i, j, k
x
z
y
i
j
k
Los vectores i, j y k son unitarios y están
dirigidos en la dirección de los ejes x, y y z
respectivamente.

11. 11
Paralelismo de vectores
Dos vectores son paralelos entre sí si todas sus
componentes son proporcionales. Ejemplo:
Definición
)
,
,
( 3
2
1 a
a
a
u 

)
,
,
( 3
2
1 b
b
b
v 

Dado:
v
u


// k
b
a
b
a
b
a



3
3
2
2
1
1
v
k
u




12. 12
PRODUCTO ESCALAR

cos
v
u
v
u







u

v

Donde: º
º
180
0 

 rad
0 



o

13. 13
1. El producto escalar de dos vectores es
un número real.
OBSERVACIONES:
2. Si los vectores son perpendiculares
el producto escalar es cero y viceversa.
3. a . a = a 2

14. 14
Producto escalar en términos de
componentes.
Se define:
• En R2, sean:
)
b
;
a
(
v
)
b
;
a
(
u 
 ;
2
1
2
1 b
b
a
a
v
u 


Se define:
• En R3, sean:
)
c
;
b
;
a
(
v
;
)
c
;
b
;
a
(
u 2
2
2
1
1
1 

2
1
2
1
2
1 c
c
b
b
a
a
v
u 




15. 15
Sean y dos vectores cualesquiera que forman
un ángulo . El producto vectorial se
define como un vector que tiene:
u

v

 v
u



Magnitud:
Dirección: Perpendicular al plano que forman

sen
v
u


v
y
u


PRODUCTO VECTORIAL
NOTA: Este producto sólo se da para vectores en R3

16. 16
Regla de la mano derecha

u

v

v
u



u
v




17. 17
PRODUCTO VECTORIAL EN TÉRMINOS
DE LAS COMPONENTES.
)
b
a
b
a
,
c
a
c
a
,
c
b
c
b
(
v
u 1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1 






)
c
;
b
;
a
(
v
y
)
c
;
b
;
a
(
u
Sean 2
2
2
1
1
1 

Se define al Producto Vectorial
como:
v
u

18. 18
OJO
Existe un recurso nemotécnico para recordar
la fórmula del producto vectorial, el cual
emplea la notación de determinante:
k
j
i
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
b
a
b
a
c
a
c
a
c
b
c
b
v
u 





2
2
2
1
1
1
c
b
a
c
b
a
k
j
i Es decir puede
desarrollarse
como un
determinante
Observe que la primera fila contiene vectores y no
números reales