El documento aborda conceptos fundamentales de campos electromagnéticos, centrándose en álgebra vectorial, sistemas de coordenadas y productos vectoriales. Se presentan definiciones y ejemplos de vectores, campos escalares y vectoriales, así como la utilización de productos punto y cruz. Además, se discuten transformaciones entre diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo cilíndricas y esféricas.

1. CAMPOS ELECTROMAGN ÉTICOS TEMA 1 – AN ÁLISIS VECTORIAL Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez Ciclo Nov 2009 – Ene 2010 San Cristóbal, RD

2. TABLA DE CONTENIDO ESCALARES Y VECTORES ÁLGEBRA DE VECTORES EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS EL PRODUCTO PUNTO EL PRODUCTO CRUZ OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

3. ESCALARES Y VECTORES El t érmino escalar se refiere a una cantidad cuyo valor puede representarse con un simple número real (positivo o negativo), por tanto, sólo posee magnitud. Ejemplos : tiempo, masa, distancia, temperatura, potencial eléctrico, población. Un vector es una cantidad que posee tanto magnitud como dirección. Ejemplos : velocidad, fuerza, desplazamiento, intensidad de campo eléctrico. Un campo es una función que especifica una cantidad particular en cualquier parte de una región. Ejemplos de Campos Escalares : distribución de la temperatura en un edificio, intensidad del sonido en un teatro, potencial eléctrico en una región. Ejemplos de Campos Vectoriales : fuerza gravitacional, velocidad de las gotas de lluvia en la atmósfera. 1

4. ÁLGEBRA VECTORIAL VEAMOS ALGUNAS REGLAS: La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo. La suma vectorial satisface las propiedades conmutativa y asociativa, es decir: A + B = B + A A + ( B + C ) = ( A + B ) + C La sustracción A – B se puede expresar como A + (- B ). El signo y la dirección del segundo vector se invierten, y se aplica la primera regla. 2 Vectores Coplanares

5. ÁLGEBRA VECTORIAL VEAMOS ALGUNAS REGLAS (CONT.): Los vectores pueden multiplicarse por escalares. Si el escalar es positivo, entonces: el vector cambia de magnitud pero no de dirección. Si el escalar es negativo, entonces: la dirección del vector se invierte. La división de un vector por un escalar consiste en la multiplicación por el recíproco de dicho escalar. Dos vectores son iguales si su diferencia es cero, es decir: A = B si A – B = 0. 3 La multiplicación de un vector por un escalar también tiene las propiedades asociativa y distributiva, es decir: ( r + s )( A + B ) = r ( A + B ) + s ( A + B ) ( r + s )( A + B ) = r A + r B + s A + s B

6. EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR O CARTESIANO 4 Un sistema de coordenadas cartesianas de la mano derecha. Si los dedos doblados de la mano derecha indican la dirección de giro por medio de la cual el eje x se haría coincidir con el eje y, el pulgar muestra la dirección del eje z. Localización de los puntos P(1,2,3) y Q(2,-2,1). Elemento diferencial de volumen en coordenadas cartesianas; dx, dy y dz son, en general, diferenciales independientes. Un punto P se representa mediante las coordenadas ( x,y,z ). Los intervalos de las variables de las coordenadas x , y y z van desde -∞ hasta + ∞. Sistema Ortogonal

7. COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS 5 Un vector A posee tanto magnitud como dirección. La magnitud de A es un escalar, el cual se escribe A o | A |. Un vector unitario a A a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya dirección sigue la dirección de A , esto es: Siendo Normalmente, el vector unitario se denota utilizando uno de estos símbolos: u A , a A , 1 A o simplemente a . Si se tiene en cuenta que | a A |= 1, A se puede expresar: A = A a A Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas así: ( A x , A y , A z ) o A x a x + A y a y + A z a z .

8. COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT.) 6 Componentes vectoriales x , y y z del vector r . Los vectores unitarios del sistema de coordenadas cartesianas tienen magnitud unitaria y se dirigen hacia donde aumentan los valores de las respectivas variables. El vector R PQ es igual al vector diferencia r Q - r P .

9. COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT.) 7 Ejemplo 1.1: Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2,-2,-1). Solución: Se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G. G = 2 a x – 2 a y – a z Se determina la magnitud de G . Se expresa el vector unitario deseado como el cociente,

10. COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS (CONT.) 8 D1.1 Dados los puntos M(-1,2,1), N(3,-3,0) y P(-2,-3,-4), encontrar: R MN R MN + R MP |r M | a MP | 2 r P – 3 r N | Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: 4 a x – 5 a y – a z 3 a x – 10 a y – 6 a z 2.45 -0.14 a x – 0.7 a y – 0.7 a z 15.56

11. EL PRODUCTO PUNTO 9 Dados dos vectores A y B, el Producto Punto o Producto Escalar, se define: El producto escalar obedece a la ley conmutativa, esto es: La expresión se lee : A punto B . Ej. de producto punto: El signo del ángulo no afecta el término coseno

12. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.) 10 El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva, como se muestra a continuación: Sean los vectores A y B : El producto produce la suma de 9 términos escalares, y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios. Como el ángulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90° en coordenadas cartesianas, entonces se cumple que: Resultando que:

13. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.) 11 Una aplicación del producto punto consiste en encontrar la componente de un vector en una dirección dada. Por ejemplo, la componente escalar del vector B en la dirección del vector unitario a , se expresa: La componente tiene signo positivo si se cumple que: y negativo cuando: Por otro lado, para obtener la componente vectorial de B en la dirección de a , se multiplica la componente escalar por del vector B por a . La componente escalar de B en la dirección del vector unitario a es B·a La componente vectorial de B en la dirección del vector unitario a es (B·a)a

14. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.) 12 Ejemplo 1.2: Considere el campo vectorial G = y a x – 2.5x a y + 3 a z y el punto Q(4,5,2). Se desea encontrar : G en Q; La componente escalar de G en Q en la direcci ón de ; La componente vectorial de G en Q en la dirección de a N ; Y el ángulo θ Ga entre G ( r Q ) y a N . Solución: Se sustituyen las coordenadas del punto Q en la expresión G . G ( r Q ) = 5 a x – 10 a y + 3 a z Luego se encuentra la componente escalar. Utilizando el producto punto se tiene,

15. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.) 13 Ejemplo 1.2 (Cont.) : Solución: Se obtiene la componente vectorial, multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la dirección a N . Y el ángulo entre G ( r Q ) y a N se obtiene

16. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.) 14 D1.3 Los tres vértices de un triángulo se encuentran en A(6,-1,2), B(-2,3,-4) y C(-3,1,5), encontrar: R AB R AC El ángulo θ BAC en el vértice A La proyección vectorial de R AB en R AC Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: -8 a x + 4 a y – 6 a z -9 a x + 2 a y + 3 a z 53.6° -5.94 a x + 1.319 a y + 1.979 a z

17. EL PRODUCTO CRUZ 15 Dados dos vectores A y B, el Producto Cruz o Producto Vectorial, se define: En este caso el subíndice N hace referencia a la normal . La expresión se lee : A cruz B . El producto cruz es un vector, cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A , B y el seno del ángulo más pequeño entre A y B . La dirección de está en la dirección del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B .

18. EL PRODUCTO CRUZ (CONT.) 16 El producto cruz no es conmutativo, puesto que : De lo anterior se verifica que: A continuación se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas: Este resultado se puede expresar en la forma: Más Fácil, Verdad!

19. EL PRODUCTO CRUZ (CONT.) 17 D1.4 Un triángulo se define por tres puntos: A(6,-1,2), B(-2,3,-4) y C(-3,1,5), encontrar: R AB x R AC El área del triángulo Un vector unitario perpendicular al plano en el cual se localiza el triángulo. Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: 24 a x + 78 a y + 20 a z 42.0 0.286 a x + 0.928 a y + 0.238 a z

20. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] 18 Representación de un punto P : En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z . recibe el nombre de ángulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy , y z es igual en el sistema cartesiano. Intervalos En coordenadas cilíndricas, un vector A se puede expresar: o La magnitud de A es Je, Je, … ¿Cuál es la unidad de a φ ? Vectores Unitarios : Los vectores unitarios a ρ , a φ , y a z son mutuamente perpendiculares, por tanto se cumple:

21. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 19 Muestra las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas cil índricas circulares. Los tres vectores unitarios de un sistema cilíndrico circular. Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas cilíndricas circulares; d ρ , ρ d φ y dz son elementos de longitud. ¿Cuáles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en ( c) ? ¿Y el volumen?

22. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 20 Transformación Escalar De la figura se deduce que: Transformación Escalar De la figura se deduce que:

23. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 21 Transformación de un Vector Unitario De las figuras se deduce que: Ejercicio para la casa: Expresar ecuaciones de transformación en notaci ón matricial.

24. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 22 Ejemplo 1.3: Transformar el vector B = y a x –x a y + z a z en coordenadas cilíndricas. Solución: Se determinan las nuevas componentes Luego,

25. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 23 D1.5 Dé las coordenadas cartesianas del punto C ( ρ =4.4, φ =-115°, z=2). Dé las coordenadas cilíndricas del punto D(x=-3.1, y=2.6, z=-3). Especifique la distancia de C a D. Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: C(x=-1.860, y=-3.99, z=2) D( ρ =4.05, φ =140.0°, z=-3) 8.36

26. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 24 D1.6 Transformar a coordenadas cilíndricas: F = 10 a x - 8 a y + 6 a z , en el punto P(10,-8,6). G = (2x +y ) a x – (y-4x) a y , en el punto Q( ρ , φ ,z). Dar las componentes cartesianas del vector H = 20 a ρ - 10 a φ + 3 a z en el punto P(x=5, y=2, z=-1). Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: 12.81 a ρ + 6 a z (2 ρ cos 2 φ - ρ sin 2 φ + 5 ρ sin φ cos φ ) a ρ + (4 ρ cos 2 φ - ρ sin 2 φ - 3 ρ sin φ cos φ ) a φ H x = 22.3, H y = -1.857, H z = 3

27. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFÉRICAS ] 25 Representación de un punto P : En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P. (llamado colatitud) es el ángulo entre el eje z y el vector de posición P, y se mide desde el eje x (igual que el ángulo azimutal en las coordenadas cilíndricas). Intervalos En coordenadas esféricas, un vector A se puede expresar: o La magnitud de A es Je, Je, … ¿ Qu é sólido de revolución formamos con θ = Constante? Vectores Unitarios : Los vectores unitarios a r , a θ , y a φ son mutuamente perpendiculares, por tanto se cumple:

28. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFÉRICAS ] (CONT.) 26 Muestra las tres coordenadas esféricas. Las tres superficies mutuamente perpendiculares de un sistema de coordenadas esféricas. Los tres vectores unitarios de unas coordenadas esféricas: a r x a θ x a φ . Elemento diferencial de volumen en un sistema de coordenadas esféricas. ¿Cuáles son las superficies del elemento diferencial que se muestra en ( c) ? ¿Y el volumen?

29. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFÉRICAS ] (CONT.) 27 Transformación Escalar Transformación Escalar

30. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFÉRICAS ] (CONT.) 28 Relación entre Vectores Unitarios Ejercicio para la casa: Expresar ecuaciones de transformación en notaci ón matricial.

31. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFÉRICAS ] (CONT.) 29 Ejemplo 1.4: Transformar el vector G = (xz/y) a x en coordenadas esféricas. Solución: Se determinan las nuevas componentes Cont. Punto anterior: Luego,

32. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 30 D1.7 Dados los puntos, C(-3,2,1) y D(r=5, θ =20°, φ =-70°), encontrar: Las coordenadas esféricas en C. Las coordenadas cartesianas de D. La distancia desde C hasta D. Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: C(r = 3.74, θ = 74.5°, φ = 146.3° D(x = 0.585, y = -1.607, z = 4.7) 6.29

33. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 31 D1.8 Convierta los vectores siguientes a coordenadas esféricas en los puntos dados: 10 a x en el punto P(x=-3, y=2, z=4). 10 a y en el punto Q( ρ =5, φ =30°, z=4). 10 a z en el punto M(r=4, θ =110 °, φ =120°). Ejercicio para realizar en el salón. Respuestas: -5.57 a r – 6.18 a θ – 5.55 a φ 3.90 a r + 3.12 a θ + 8.66 a φ -3.42 a r – 9.40 a θ

34. GRACIAS POR SU ATENCIÓN