Simulación

1. ¿Qué es un sistema?
Es un conjunto de partes inter-relaciondas.
Existe en un medio ambiente separado por sus límites.
Persigue un objetivo.
Dependen del observador.
Límite del
sistema
Parte del
sistema
Relación

2. DEFINICIONES
ENTIDAD
⚫ Representa flujos de entrada y salida al
sistema. Pueden ser clientes, piezas
manufacturadas
ESTADO DEL SISTEMA
⚫ Condición que guarda el sistema bajo estudio
en un momento dado.

3. DEFINICIONES
EVENTO
⚫ Cambio del estado actual de un sistema:
entrada o salida de una entidad, finalización
de un proceso, daño de un equipo
LOCALIZACIONES
⚫ Todos aquellos lugares donde una pieza
puede detenerse para ser transformada o
esperar a serlo ej. Almacenes, bandas
transportadoras, maquinas

4. DEFINICIONES
RECURSOS
⚫ Dispositivos, diferentes a las localizaciones,
necesarios para llevar a cabo una operación,
ej montacargas, personas que realizan
inspecciones o manipulan piezas
ATRIBUTOS
⚫ Características de las entidades, color,
modelo, peso, tamaño, etc

5. DEFINICIONES
VARIABLES
⚫ Condiciones cuyos valores se crean o
modifican con ecuaciones lógicas o
matemáticas, pueden ser continuas o
discretas.
Reloj de la simulación
Contador de tiempo de la simulación

6. Propiedades de los sistemas
Sinergia.
⚫ Es la unión de fuerzas o energías que se
constituye en un todo mayor a la suma
algebraica de las partes.
Entropía
⚫ Es un proceso mediante el cual un sistema
tiende a consumirse o morir. No tiene
intercambio de energía consumida, los lleva a
la degradación degeneración y desintegración.

7. Tipos de modelos
estocástico
determinístico
estático dinámico
curso
tiempo-continuo
tiempo-discreto

8. • Estocástico. Uno o más parámetros aleatorios. Entradas fijas produce
salidas diferentes
• Determinístico. Entradas fijas producen salidas fijas
• Estático. Estado del sistema como un punto en el tiempo
• Dinámico. Estado del sistema como cambios en el tiempo
• Tiempo-continuo. El modelo permite que los estados del sistema
cambien en cualquier momento.
• Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en
momentos discretos del tiempo.
.

9. Estocástico - Determinístico
Estocástico (*)
también conocidos como modelos
probabilísticos, algún elementó no seconoce
con anticipación, incorporando así la
incertidumbre.
Método analítico: usa probabilidadespara
determinar la curva de distribución de
frecuencias
Determinístico
Son aquellos donde los datos se conocen
con certeza, es decir, quecuando el
modelo sea analizado setiene disponible
toda la informaciónnecesaria para la toma
de decisiones.
Método numérico: algún método de
resolución analítica

10. Modelo Determinístico
⚫ Un Modelo determinístico es un modelo matemático donde las
mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas,
no contemplándose la existencia del azar ni el principio de
incertidumbre. Está estrechamente relacionado con la creación de
entornos simulados a través de simuladores para el estudio de
situaciones hipotéticas, o para crear sistemas de gestión que
permitan disminuir la incertidumbre.
La inclusión de mayor complejidad en las relaciones con una
cantidad mayor de variables y elementos ajenos al modelo
determinístico hará posible que éste se aproxime a un modelo
probabilístico o de enfoque estocástico.
⚫ Ejemplo: la planificación de una línea de producción, asignación de
las salas de clases en una universidad.

11. Modelo Estocástico
⚫ Un modelo es estocástico cuando al menos una variable del mismo
es tomada como un dato al azar y las relaciones entre variables se
toman por medio de funciones probabilísticas. Sirven por lo
general para realizar grandes series de muestreos, quitan mucho
tiempo en el computador son muy utilizados en investigaciones
científicas.
Para lograr modelar correctamente un proceso estocástico es
necesario comprender numerosos conceptos de probabilidad y
estadística.
Dentro del conjunto de procesos estocásticos se encuentran, por
ejemplo, el tiempo de funcionamiento de una máquina entre avería
y avería, su tiempo de reparación y el tiempo que necesita un
operador humano para realizar una determinada operación
⚫ Ejemplo: filas de espera, administración de proyectos y pronóstico

12. Continuo - Discreto
• Continuo El estado de las variables cambia
continuamente como una función del
tiempo e = f (t)
• Discreto (*) El estado del sistema cambia
en tiempos discretos del tiempo e = f(nT)
• Método analítico: usa razonamiento de
matemáticas deductivas para definir y
resolver el sistema
• Método numérico: usa procedimientos
computacionales para resolver el modelo
matemático. Estático - Dinámico
• Estático Si el estado de las variables no cambian
mientras se realiza algún cálculo f [ nT ] = f [
n(T+1) ]
• Dinámico (*) Si el estado de las variables puede
cambiar mientras se realiza algún cálculo f [ nT ] ≠
f [ n(T+1)

13. Proceso Estocástico
La familia de variables aleatorias (v.a) que
representan el estado del sistema, en el momento
del tiempo T.
⚫ Notación:
El conjunto de valores que puede tomar la
variable aleatoria se llama “espacio de
estados”(espacio muestral) y se denota por “S”.
El conjunto de valores que pueden tomar el
índice i se le denomina “espacio paramétrico” y
se denota por “T”
22

14. Clasificación de procesos
estocásticos
⚫ El espacio de estados “S” puede ser continuo o discreto
⚫ El espacio paramétrico “T” puede ser continuo o discreto
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S T Discreto Continuo
Discreto Serie estocástica
con espacio de
estados discreto
Proceso
estocástico con
espacio de
estados discreto
Continuo Serie estocástica
con espacio de
estados continuo
Proceso
estocástico con
espacio de
estados continuo

15. Ejemplos
Número de accidentes automovilísticos en Gye en
día
Xt = Número de accidentes automovilísticos
en el Gye en el día t.
S = { 0 , 1 , … , M } Número de
accidentes que pueden suceder Discreto
T = { 0 , 1 , 2 , 3 }Día en el que sucedieron
Discreto
24

17. Teoría general de sistemas
FEEBACK
ENTRADA PROCESO SALIDA

18. Teoría general del sistema
FEEBACK
Variables
Independientes PROCESO
Variables
dependientes

19. Premisas de TGS
Los sistemas están constituidos por elementos.
Estos elementos tienden o deben tener cierta
estructuración, homogeneidad o dependencia, lo
que les permiten interactuar entre sí.
Los elementos deben alcanzar un fin
La TGS se fundamenta en tres premisas básicas:
➢ Los sistemas existen dentro de sistemas.
➢ Los sistemas son abiertos.
➢ Las funciones de un sistema dependen de su
estructura.

20. Qué es la simulación?
⚫ Representación analítica de
sistemas apoyada en
herramientas matemáticas y
computacionales que permiten
evaluar el impacto de cambios en
diferentes variables así como la
elección de los recursos y óptimos
para el proceso analizado.

21. Introducción a la simulación
La construcción de modelos arranca desde el renacimiento, el
uso moderno de la palabra simulación data de 1940, cuando los
científicos Von Neuman y Ulan que trabajaban en el proyecto
Montecarlo, durante la Segunda Guerra Mundial resolvieron
problemas de reacciones nucleares cuya solución experimental
sería muy cara y el análisis matemático demasiado complicado.
En años recientes, el advenimiento de nuevos y mejores
desarrollos en el área de la computación ha traído consigo
innovaciones igualmente importantes en los terrenos de la toma
de decisiones y el diseño de procesos y productos. En este
sentido, una de las técnicas de mayor impacto es la simulación.

22. Tipos de Sistemas
Físicos o
Concretos
Abstractos
Compuestos por equipos, por maquinaria y por
objetos y cosas reales. Pueden ser descritos en
términos cuantitativos de desempeño.
Compuestos por conceptos, planes, hipótesis e
ideas. Aquí, los símbolos representan atributos y
objetos, que muchas veces sólo existen en el
pensamiento de las personas.

23. Sistemas según su naturaleza
⚫ Sistemas cerrados: Son los sistemas que
no presentan intercambio con el medio
ambiente que los rodea, pues son
herméticos a cualquier influencia ambiental.
No reciben ninguna influencia del ambiente,
y por otro lado tampoco influencian al
ambiente.
⚫ Sistemas abiertos: Son los sistemas que
presentan relaciones de intercambio con el
ambiente, a través de entradas y salidas.
Los sistemas abiertos intercambian materia
y energía regularmente con el medio
ambiente. Son eminentemente adaptativos.

24. Definiciones
⚫ Sistema
⚫ Conjunto de elementos que se interrelacionan para funcionar como un
todo. Puede estar abierto o cerrado
⚫ Sistemas deterministas o estocásticos.
⚫ Ejm: Sistema de atención a clientes
⚫ Entidad
⚫ Representación de los flujos de entrada a un sistema; éste es el
elemento responsable de que el estado del sistema cambie.
⚫ Ejm: Clientes en cola/ piezas en inventario
⚫ Estado del sistema
⚫ Es la condición que guarda el sistema bajo estudio en un momento
determinado. Fotografía del sistema
⚫ Se compone de variables o características de operación puntuales y
acumuladas, o promedio.
⚫ Ejm: #piezas/h, tiempo de la entidad en el sistema

25. Definiciones
⚫ Evento
⚫ Es un cambio en el estado actual del sistema
⚫ Actuales y futuros
⚫ Ejm: finalización de proceso, parada de maquina
⚫ Localizaciones
⚫ Son todos aquellos lugares en los que la pieza puede detenerse para
ser transformada o esperar a serlo
⚫ Ejm: almacenes, bandas, maquinas
⚫ Recursos
⚫ Son aquellos dispositivos necesarios para llevara cabo una operación.
⚫ Ejm: montacargas, persona inspeccionando, herramienta que no es del
puesto específico.
⚫ Atributo
⚫ Un atributo es una característica de una entidad.
⚫ Ejm: color, peso

26. Definiciones
⚫ Variable
⚫ Son condiciones cuyos valores se crean y modifican por medio de
ecuaciones matemáticas y relaciones lógicas. Pueden ser continuas
(ejemplo, el costo promedio de operación de un sistema) o discretas
(ejemplo, el número de unidades que deberá empacarse en un
contenedor).
⚫ Reloj de la simulación
⚫ Es el contador de tiempo de la simulación, y su función consiste en
responder preguntas tales como cuánto tiempo se ha utilizado el modelo
en la simulación, y cuánto tiempo en total se quiere que dure esta
última.
⚫ Los tipos de reloj son el reloj de simulación absoluto, que parte de
cero y termina en un tiempo total de simulación definido, y el reloj de
simulación relativo, que sólo considera el lapso de tiempo que
transcurre entre dos eventos.
⚫ Ejm: tiempo proceso de una pieza

27. ⚫ Un taller recibe ciertas piezas, mismas que son acumuladas en un
almacén temporal en donde esperan a ser procesadas. Esto ocurre
cuando un operario transporta las piezas del almacén a un torno.
Desarrolle un modelo que incluya el número de piezas que hay en
el almacén esperando a ser atendidas en todo momento, y el
número de piezas procesadas en el torno. Las piezas tienen 3
tamaños. Identifique sistema, entidad, estado, eventos, localización,
recurso, atributo, variables, reloj de simulación.
1:10 min

28. ⚫ Sistema: las piezas, el almacén temporal, el operario, el torno.
⚫ Entidades: las piezas, que representan los flujos de entrada al
sistema del problema bajo análisis.
⚫ Estado del sistema:
piezas procesadas - 4 unidades
piezas por procesar - 13 unidades
⚫ Eventos: Descanso del operario o la salida de una pieza tras ser
procesada por el torno. Evento futuro: la llegada de la siguiente
pieza al sistema
⚫ Localizaciones: Almacén al que llegan las piezas, así como el
torno en donde esto ocurrirá.
⚫ Recursos: Operario que transporta las piezas del almacén al torno.

29. ⚫ Atributos: Las piezas son de tres tamaños diferentes.
⚫ Variables: El número de piezas en el almacén y el número de
piezas procesadas en el torno.
⚫ Reloj de la simulación: La simulación lleva 1 hora 10 minutos.

30. Estáticos Simulación de Monte Carlo
Dinámico Variable tiempo
Tipos de m
Físicos
.
Matemáticos
Determinísticos
Eventos Discretos
.
Eventos Continuos
No aleatorio
Por ejemplo, si las cajas empleadas en un
proceso contienen siempre 5 productos,
cada vez que se añada una caja al
inventario éste se incrementará en 5
unidades. Si, por el contrario, se da una
distribución de probabilidad en el proceso
de manera que algunas cajas contienen 3
productos, otras 4 y así por el estilo, el
inventario se modificará según el número
de piezas de cada caja y, en consecuencia,
será necesario un modelo estocástico. En
el caso de la simulación de eventos
discretos hablaremos de modelos
matemáticos, discretos, dinámicos, y que
pueden incluir variables determinísticas y
probabilísticas.
Probabilísticos Estocástico = v. aleatorio
odelos de simulación
Modelo es la representación real de un sistema

31. Definiciones
⚫ Replica
⚫ Ocurre cuando se ejecuta el modelo en una ocasión, los valores que se
obtienen de las variables y parámetros al final del tiempo de simulación
generalmente serán distintos de los que se producirán si lo volvemos a
correr usando diferentes números pseudo-aleatorios.
⚫ Estado transitorio y Estado estable
⚫ ET ocurre al principio de la simulación; por
ejemplo, en el arranque de una planta,
cuando no tiene material en proceso: el
último de los procesos estará inactivo hasta
que el primer cliente llegue, y si el tiempo
de simulación es bajo, su impacto sobre la
utilización promedio de este proceso será
muy alto, lo cual no ocurriría si el modelo se
simulara lo suficiente para lograr una
compensación EE.

32. Para qué modelar
⚫ Entendimiento
⚫ Aprendizaje
⚫ Mejoramiento
⚫ Optimización
⚫ Toma de decisiones

33. Desventajas
• No es herramienta de
optimización
• Se requiere tiempo
• Dominar software de
simulación
• Conocer el impacto sin
hacerlo realidad
• Mejora el conocimiento
del proceso actual
permitiendo cambios.
• Más económico que
realizar los cambios.
• Mejores escenarios
• Medio de capacitación
para toma de
decisiones
• Como se comportará un
proceso luego de
mejorarlo
Ventajas

34. Elementos claves para el éxito
⚫ Tamaño insuficiente de la corrida. Debe haber
estabilidad en las variables aleatorias.
⚫ Variable(s) de respuesta mal definida(s)
⚫ Errores al establecer las relaciones entre las variables
aleatorias. Llevar a su capacidad total.
⚫ Errores al determinar el tipo de distribución asociado a
las variables aleatorias del modelo
⚫ Falta de un análisis estadístico de los resultados
⚫ Uso incorrecto de la información obtenida
⚫ Falta o exceso de detalle en el modelo

35. Etapas de la simulación
Definición del
Sistema
Determinación de
los escenarios
para el análisis
Análisis de
sensibilidad
Generación del
modelo
simulación base
Generación del
modelo final
Documentación
del modelo,
sugerencias y
conclusiones
Recolección y
análisis de Datos
Validación del
modelo
Generación del
modelo
preliminar
Verificación del
modelo

36. Aplicaciones de la simulación
Mediante técnicas de simulación es posible desarrollar de
manera teórica casos relacionados con:
⚫ Producción
⚫ Logística
⚫ Distribución
⚫ Servicio al cliente
⚫ Construcción
⚫ Militar
⚫ Salud
⚫ Economía y Finanzas
⚫ Y muchos otros campos

37. Qué se necesita para simular?
Aplicación de
herramientas
de ingeniería
Modelación
• Qué pasa si? • Técnicas
analíticas
• Programas
especializados
• Identificación
del proceso
• Identificación
de variables
involucradas
Problema Muestreo

38. Análisis de la
situación
Experimentación
Pasos para una campaña de
simulación
Inicio
Representación
real?
N
S
Modificación del
modelo?
S Más
experimentos?
N
S
N
Es válido?
S
Fin
Análisis de
resultados
Construcción
del modelo
Recolección
de datos
N
Implementación
Documentación

39. Cuándo modelar y cuándo no?
⚫ Cuándo NO
⚫ Cuando el problema se puede resolver fácilmente
de manera analítica
⚫ Cuando es demasiado costosa la simulación
⚫ Cuando no se tienen datos reales de las
observaciones o estas están incompletas
⚫ Cuando la situación actual cambia con el tiempo y
no podemos proyectarla
⚫ Cuándo SI
⚫ Todos los demás casos

40. Métodos para la simulación
⚫ Métodos analíticos: Según el tamaño y complejidad del proceso,
es posible utilizar sencillos desarrollos matemáticos para resolver
un problema de simulación. Entre ellas encontramos:
⚫ Teoría de Colas
⚫ Teoría de Redes
⚫ Sistemas Dinámicos
⚫ Algoritmos de mayor elaboración
⚫ Métodos computacionales: Cuando un sistema es relativamente
grande o contiene una serie de excepciones en las variables, se
vuelve compleja su resolución analítica y por tanto se hace
indispensable la utilización de un programa especializado.
⚫ En general todo lenguaje y programa que permita generar números
aleatorios
⚫ Lenguajes: C, Fortran, Pascal, Basic, Siman, Visual Slam, SimScript, etc.
⚫ Hojas de cálculo en general
⚫ Programas especializados (aplicaciones de los lenguajes ya mencionados)

41. Simulación
Generación de números
aleatorios

42. Introducción
⚫ Los números aleatorios son un ingrediente básico para
simular casi cualquier sistema discreto. La gran mayoría de
programas contienen una subrutina de generación que facilita
su utilización.
⚫ Si se trata de un lenguaje de programación, es necesario
generar un número aleatorio y de estos partir para la
generación de variables aleatorias.
⚫ A continuación se explican las técnicas básicas para la
generación de números aleatorios y posteriormente técnicas
para la generación de variables aleatorias a partir de estos
números

43. Propiedades de los números
aleatorios
⚫ Toda serie de números aleatorios R1, R2, … Rn, debe
cumplir con dos propiedades fundamentales,
Uniformidad e Independencia. Esto a su vez significa
que:
⚫ Si se grafican los números aleatorios en el intervalo [0,1] y este
es dividido a su vez en n clases ó subintervalos de igual
magnitud, el número esperado de observaciones en cada
intervalo es de N/n donde N es el número total de
observaciones.
⚫ La probabilidad de observar un valor en un intervalo particular es
independiente del valor inmediatamente anterior.

44. Generación de números
pseudo-aleatorios
⚫ Si hablamos de Pseudo generar, queremos decir que
esta generación es falsa por naturaleza.
⚫ Siempre que utilizamos una técnica para generar
números aleatorios, significa a su vez que hay una
ecuación o fórmula que permite dicha generación por
tanto es pronosticable de alguna manera (ejemplo,
revisar los números decimales de PI).
⚫ Para evitar estos inconvenientes, se acuden a
generaciones computacionales que eviten estos
problemas, no obstante, analizaremos solo un método
matemático que a su vez tiene dos composiciones.

45. Números Pseudo Aleatorios

46. Técnicas para determinar los
números aleatorios
⚫ No congruenciales
⚫ Algoritmo de Cuadrados medios
⚫ Algoritmo de Productos medios
⚫ Algoritmo de Multiplicador constante
⚫ Congruenciales
⚫ Algoritmo Lineal
⚫ Algoritmo Multiplicativo
⚫ Algoritmo Aditivo
⚫ No lineales
▪ Blum, Blum y Shub
▪ Congruencial cuadratico

47. Algoritmo de productos
Algoritmo de cuadrados
medios
Requiere 2 semillas de D dígitos que se
multiplican
1.Seleccione 2 semillas x0 y x1 con D>3
2.Y0= x0*x1 x2= los dígitos del centro
3.Yi= xi*xi+1 xi+2= los dígitos del centro
⚫Si no es posible obtener los D dígitos del centro
añadir ceros a la izquierda

49. Similar al algoritmo de productos medios
1.Seleccionar una semilla x0(D>3)
2.Seleccionar una constante “a”
3.Y0= a*x0 x1= los D dígitos del centro
4.Yi= a*xi xi+1= los D dígitos del centro
5.Repetir hasta obtener los r deseados

50. Técnica de congruencia lineal
Este método propuesto inicialmente por Lehmer (1951) produce unasecuencia
de enteros X1, X2,… entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relación:
Xi+1 = (aXi + c)mod m, i = 0,1,2...
⚫ El valor inicial X0, es llamado semilla, a es el multiplicador, c es el
incremento y m el módulo
⚫ La selección de los valores para a, c, m y X0 afectan las
propiedades estadísticas y el ciclo de vida, deben ser > 0
⚫ “mod(m)”es el residuo de la expresión (aXi+c)/m. (módulo hace
referencia al remanente ó decimal producto de la división, así pues
si decimos que 143mod100, debemos dividir 143 entre 100
obteniendo 1.43, lo que quiere decir que su módulo es 43).
⚫ Los números enteros aleatorios en el intervalo [0,1], son generados
por la siguiente relación:

51. m=2 g
a=1+4k
k debe ser entero
c relativamente primo a m
g debe ser entero
Algoritmo congruencial lineal
⚫ Para lograr el máximo periodo de vida n, debe
cumplir los siguientes parámetros:
⚫ Se considera un periodo de vida máximo
N=m=2 g

52. Algoritmo congruencial Multiplicativo

53. Algoritmo Congruencial aditivo
⚫ Requiere una secuencia previa de n números enteros x1,
x2, x3,…xn para generar una nueva secuencia de
números aleatorios que empiezan en xn+1, xn+2,…
⚫ La ecuación recursiva es:

54. Algoritmo congruencial no lineal
Cuadrático

55. ⚫ Ocurre cuando el cuadrático tiene:
a=1, b=0 y c=0
Algoritmo de Blum, Blum y Shub

56. Propiedades entre números aleatorios
⚫

57. Concepto: Independencia
⚫ Propiedad muy importante, e implica que los
números aleatorios no deben tener correlación
entre sí, es decir, deben ser independientes, de
manera que puedan dispersarse uniformemente
dentro de todo el espectro de valores posibles.
Valores uniformemente dispersos

58. Pruebas para números
aleatorios

59. Se plantean las siguientes hipótesis
Consiste en determinar el promedio de los n números que contiene el
conjunto ri
Se calculan los límites de aceptación inferior y superior con las
ecuaciones:

60. Prueba de varianza
Consiste en verificar si los números aleatorios generados
tienen una varianza de 1/12, de tal forma que la hipótesis
queda expresada como:
⚫ Paso 1. Calcular la varianza de los números generados
V(x).
⚫ Paso 2. Calcular los límites superior e inferior de
aceptación.
⚫ Paso 3. Si V(x) se encuentra entre los valores de los
límites, aceptamos la hipótesis nula y los números
aleatorios tiene una varianza estadísticamente igual a
1/12.